Ondas: superposicion

La forma de la ecuación diferencial de onda pone de manifiesto una propiedad interesante de las ondas, que es bastante distinta del comportamiento de un flujo de partículas clasicas .Supongamos que las funciones de onda $\psi _{1}$ y $\psi _{2}$ sean soluciones separadas de la ecuación de onda; de ello se deduce que también $\psi _{1}+\psi _{2}$ representa una solución.

Esto se denomina Principio de superposición y podra demostrarse facilmente puesto que tiene que ser cierto que

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}$ y ${\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Sumando estos resulatdos

${\frac {\partial \psi _{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial \psi _{2}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{1}}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi _{2}}{\partial t^{2}}}$

Por lo tanto

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(\psi _{1}+\psi _{2})$

que establece que efectivamente $\psi _{1}+\psi _{2}$

es una solución. Esto quiere decir que cuando dos ondas separadas llegan al mismo sitio en el espacio en donde se superponen, se sumaran o se sustraeran simplemente.

La perturbación rseultante en cada punto de la zona de superposición es la suma algebraica de las ondas constituyentes individuales en ese punto.Una ves que hayan pasado por el área donde las ondas coexisten, cada cual saldra y se alejara, quedando inalterada por el encuentro.

Examinemos detenidamente las dos ondas coexistentes en la figura 1.En cada punto(es decir, cada valor de kx, sumamos simplemente $\psi _{1}+\psi _{2}$, pudiendo cualquieran de los dos ser positivo o negativo.

Figura 1.

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Recuerde que dondequiera que una componente de la onsda sea cero (por ejemplo, $\psi _{1}=0$ la perturbación resultante equivaldrá al valor de la otra componente de la onda distinto de cero ($\psi _{2}$)y aquellas dos curvas se cruzaran en ese punto

Por otra,$\psi =0$ dondequiera que las dos ondas constituyentes tengan la misma magnitud y signos opuestos (por ejemplo, en kx=+2.67

Las siguientes figuras( 2 a 5) muestran cómo el resultado de la superposición de dos ondas de amplitud casi igual depende de la diferencia de ángulo de fase entre ellas.En la figura 2 las dos ondas constituyentes tienen la misma fase;es decir, su diferencia de ángulo de fase es cero, por lo tanto se dicen que están en fase;suben y bajan al paso, reforzándoce recíprocamente. La onda compuesta que tiene una amplitud considerable, es sinusoidal con la misma frecuencia y longitud de onda de las ondas componentes.

Figura 2.

Si seguimos la secuencia de los diagramas, vemos que la amplitud resultante disminuye al aumentar la diferencia de ángulo de fase, hasta que en la figura 5 casi desaparece al acercarse dicha diferencia a $\pi$

Figura 3.

En 3 $\psi _{1}$ va por delante de $\psi _{2}$ en $\pi /3$

Figura 3.

En 4 $\psi _{1}$ va por delante de $\psi _{2}$ en $2\pi /3$

Figura 3.

En 5 $\psi _{1}$ y$\psi _{2}$ están desfasadas en $\pi$ y casi se anulan mutuamente

Sea $\psi _{1}(r,t)$,$\psi _{2}(r,t)$,..........,$\psi _{n}(r,t)$

soluciones individuales de la ecuación diferencial de onda tridimensional. ${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$

Cualquier combinación lineal de éstas será, a su ves, una solución. Por lo tanto

$\psi (r,t)=\sum _{i=1}^{n}C_{i}\psi _{i}(r,t)$

satisface la ecuación de onda, donmde los coeficientes $C_{i}$ son simplemente constantes arbitrarías.Esta propiedad denominada Principio de superposició.

Esta propiedad denominada Principio de superposición sugiere que la perturbación resultante en cualquier punto de un medio es la suma algebraica de sus ondas consecutivas separadas.

Suma de ondas de la misma frecuencia

Existen unos cuantos métodos equivalentes de sumar matemáticamente dos o más ondas superpuestas que tienen la misma frecuencia y longitud de onda.

El método algebraico

Una solución de la ecuación diferencial de onda puede escribirse de la siguiente forma

$E(x,t)=E_{0}sen[\omega t-(kx+\varepsilon )]$

Donde $E_{0}$ es la amplitud de la perturbación armónica que se propaga a lo largo del eje x positivo. Para separar las partes de espacio y tiempo de la fase, sea

$\alpha (x,\varepsilon )=-(kx+\varepsilon )\qquad (1)$

tal que $E(x,t)=E_{0}sen[\omega t+\alpha (x,\varepsilon )]$ Supongamos entonces que tenemos dos ondas de esta clase $E_{1}=E_{01}sen(\omega t+\alpha _{1})$

y $E_{2}=E_{02}sen(\omega t+\alpha _{2})$

ambas con la misma frecuencia y velocidad, coexistiendo en el espaci.La perturbación resultante es la superposición lineal de estas dos ondas:

$E=E_{1}+E_{2}$

Al desarrollar las ecuaciones

$E=E_{01}(sen(\omega t)\cos(\alpha _{1})+cos(\omega t)sen(\alpha _{1}))+E_{02}(sen(\omega t)cos(\alpha _{2})+cos(\omega t)sen(\alpha _{2})$

La perturbación total queda entonces Al separar los términos que dependen del tiempo, la misma se transforma en $E=(E_{01}cos\alpha _{1}+E_{02}cos\alpha _{2})sen\omega t+(E_{01}sen\alpha _{1}+E_{02}sen\alpha _{2})cos\omega t$

Ya que los términos entre paréntesis son constantes en el tiempo, sea

$E_{0}cos\alpha =E_{01}cos\alpha _{1}+E_{02}cos\alpha _{2}$ y $E_{0}sen\alpha =E_{01}sen\alpha _{1}+E_{02}sen\alpha _{2}$ Elevemos al cuadrado al cuadrado y sumemos las ecuaciones para obtener

$E_{0}^{2}=E_{01}^{2}+E_{02}^{2}+2E_{01}E_{02}cos(\alpha _{2}-\alpha _{1})$ y dividamos la ecuación para tener $tan\alpha ={\frac {E_{01}sen\alpha _{1}+E_{02}sen\alpha _{2}}{E_{01}cos\alpha _{1}+E_{02}cos\alpha _{2}}}$

La perturbación total queda entonces

$E=E_{0}\cos \alpha sen\omega t+E_{0}sen\alpha cos\omega t$

$E=E_{0}sen(\omega t+\alpha )$

El método complejo

A menudo es matemáticamente oportuno recurrir a la representación compleja cuando hay que examinar la superposición de perturbaciones armónica.La onda