Ondas: probs c2 mov osc

De luz-wiki

vibraciones y ondas problemas capítulo 2 Óptica - Hecht

2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (\(\lambda=580nm\)) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas \(\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}\), es decir, \(\displaystyle{10GHz}\) y \(\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})\)?

Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir

\(ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}\)

Una microonda con frecuencia de \(\displaystyle{10 GHz}\) tiene una longuitud de onda de

\(\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}\)

Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán

\(\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:28 17 mar 2014 (UTC)


2.2 La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de $3x10^{8}\frac{m}{s}$.Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de $5x10^{14}Hz$.Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de$60Hz.$


Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:

\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\]

o la ecuación:

\[\lambda=600nm\]

que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:


\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].

Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 02:15 17 mar 2014 (UTC)


2.3

Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$ pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$. Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.

Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$


$v=f\cdot\lambda$


$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$


$v=300\frac{m}{s}$

Mario Moranchel (discusión) 06:29 18 mar 2014 (UTC)


2.4

Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda 1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia, el periodo y la longitud de

onda de las olas?

Los datos dados en el problema, son los siguientes:

t = 1.5s, l = 4.5m,

Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.

De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:

\[ \nu=\frac{1}{\tau} \]


Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:

\[ \nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz \]


Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:

\[ \tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau \]


De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición: $v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$

Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.

Ana Alarid (discusión) 01:46 12 mar 2014 (UTC)


2.5

Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$

¿Cual sera la frecuencia de la vibración?


Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.

$v=f\cdot\lambda$


$f=\frac{v}{\lambda}$


$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$


$f=1.22\times10^{-3}Hz$

Mario Moranchel (discusión) 06:42 18 mar 2014 (UTC)


2.6 Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440 Hz que se toca en dicho instrumento?

Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$ y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$

Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos a la ecuación

\[ \upsilon=\nu\lambda \]


De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$

Haciendo el despeje la ecuación queda:

\[ \lambda=\frac{\upsilon}{\nu} \]


Sustituimos nuestros datos

\[ \lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}} \]


Y obtendremos que \[ \lambda=0.0034m \]


Usuario:Daniel Olvera Moreno ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)


2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$

La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.

Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:

$Periodo$ \begin{equation} \tau=\frac{\lambda}{v}.... (i) \end{equation} donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.

$Frecuencia$ \begin{equation} \nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii) \end{equation} donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.

De $(ii)$ despejamos $\omega$

\begin{equation} \omega=\nu 2\pi ....(iii) \end{equation}

También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$

Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$

\begin{equation} \nu=\frac{1}{\tau} ....(iv) \end{equation}

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\tau} \end{equation}

Sustituyendo $(i)$ en $\tau$

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}} \end{equation}

Por lo tanto:

\begin{equation} \omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v) \end{equation}


Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:13 23 mar 2014 (UTC)


2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por

\(\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}\)

Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo

Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro

\(\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}\)

de donde es inmediatos su amplitud A=0.02m y número de onda \(k=157m^{-1}\), por lo que su longuitud de onda esta dada por:

\(\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}\)

su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:

\(\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}\)

Finalmente, su periodo esta dado por:

\(\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 17:56 26 mar 2014 (UTC)


2.13 Usando las funciones de onda

\(\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \)

\(\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \)

determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.

Solución:

Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada

\(\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right) \)

Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son\[A=8\pi \]

\(kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1} \)

\(wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s} \)

Entonces para \(\psi\) el inciso:

a)

\(A=8\pi \)

b)

\(f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz \)

c)

\(v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s} \)

d)

\(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m \)

e)

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s \)

f)

Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.


Para \(\psi_{2}\) tenemos:

a)

\(A=\frac{1}{2.5} \)

b)

\(f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz \)

c)

\(v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s} \)

d)

\(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m \)

e)

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s \)

f)

Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.

--MISS (discusión) 23:59 20 jun 2013 (CDT)



2.13 Usando las funciones de onda

\[ \psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \]


y

\[ \psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \]


determine en cada caso los valores de a)frecuencia, b)longitud de onda, c) periodo, d) amplitud, e)velocidad de fase, f) dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos y x en metros.

1)Primero analizaremos la ecuación de onda para el primer caso

\[ \psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \]


Observamos que la ecuación es de la forma

\[ \psi=A\sin2\pi\left(kx\pm\nu t\right) \]


De donde se puede ver que

\[ \nu=3t=3s^{-1} \]


\[ A=4m \] \[ k=0.2 \]


Con estos valores podemos encontrar lo demás utilizando algunas ecuaciones

Para obtener le longitud de onda usamos: \[ \lambda=\frac{1}{k} \]


Sustituyendo k \[ \lambda=\frac{1}{0.2}=5m \]


Para el periodo: \[ \tau=\frac{1}{\nu} \]


Entonces: \[ \tau=\frac{1}{3}s \]


Para encontrar la velocidad de fase \[ V=-\frac{\frac{\partial\varphi}{\partial t}}{\frac{\partial\varphi}{\partial x}} \]


Como la fase es \[ \varphi=\left(kx\pm\nu t\right) \]


Donde \[ \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(kx\pm\nu t\right)=\nu \]


y \[ \frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kx\pm\nu t)=k \]


Por lo tanto \[ V=-\frac{-3}{2}=15\frac{m}{s} \]


Por ultimo, para saber la dirección de la onda observamos el signo de la fase y esto nos indica que

\[ \rightarrow(fase-) \]


la onda tiene dirección hacia la derecha.

2) Para el segundo caso

\[ \psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \]


Vemos que ahora le ecuación es de la forma \[ \psi_{2}=A\sin\left(kx\pm\omega t\right) \]


De donde se puede observar que: \[ A=\frac{1}{2.5}m \] \[ k=7x=7m \] \[ \omega=3.5 \]


Para obtener la frecuencia utilizamos \[ \omega=2\pi\nu \]


Despejamos

\[ \nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi} \]


Para el valor de la longitud de onda \[ \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{7} \]


Para el periodo \[ \tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{\frac{3.5}{2\pi}}=\frac{2\pi}{3.5} \]


Ahora bien, si queremos encontrar la velocidad de fase de nuevo se utilizara \[ V=-\frac{\frac{\partial\varphi}{\partial t}}{\frac{\partial\varphi}{\partial x}} \]


Donde \[ \frac{\partial\varphi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\left(kx\pm\omega t\right)=\omega \]


y \[ \frac{\partial\varphi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kx\pm\nu t)=k \]


Entonces \[ V=-\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=2\frac{m}{s} \]


Por ultimo , la dirección de la fase es

\[ \leftarrow(fase+) \]


La onda tiene dirección hacia la izquierda.

--Daniel Olvera Moreno 09:55 21 mar 2014 (CDT)


2.14 Demuestre que, \(\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))\) es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.

Demostración

De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}\)

La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}\)

La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}\)

Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene

\(\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}\)

Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 21:17 17 mar 2014 (UTC)


2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud \(10^{3}V/m\) , periodo \(2.2x10^{-15}s\) ,y velocidad \(3x10^{8}m/s\) .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de \(10^{3}V/m\) en t=0 y x=0.

R\[\tau=2.2x10^{-15}s\]


sabiendo que \(\nu=\frac{1}{\tau}\)


\(\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz\)


obtenemos la longitud de onda con \(v=\nu\lambda\)


es decir \(\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}\)


\(\lambda=6.6x10^{-7}m\)


obtenemos K de la formula \(k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}\)


Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es

\(\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]\)


sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.

\(\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]\)

- --Leticia González Zamora (discusión) 15:27 20 jun 2013 (CDT)


2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.


$\;$

De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$.

Perfil11.png

De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con cierta velocidad para ester perfil esta dada por \[ y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}} \] el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda o dirección negativa del $eje\; x$.

La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se muestra a continuación.

Perfil123.png

Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.


Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 05:46 26 mar 2014 (UTC)


2.19 ¿La siguiente función en la que $A$ es una constante, $\psi(y,t)=(y-vt)A$ representa una onda? Explique su raznamiento.

$\;$

Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las condiciones de una ecuación de onda, donde \[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0 \]


y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo, \[ \psi(y,0)=Ay, \] por lo que no puede representar un perfil de onda.

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 06:50 22 mar 2014 (UTC)



2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí \(Z=f_{(x,y)}\),\(x=g_{(t)}\) y \(y=h_{(t)}\) Entonces\[\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}\]


Derivar la ecuacion: (2.34)

\(\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35\)


En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.

\(\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi\)


Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”

\(\Psi_{(y,t)}=\psi\)


Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)

\(\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}\)


De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo\[\frac{\delta\psi}{\delta t}=0\]


Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.

\(0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\)


Despejando\[\frac{\delta y}{\delta t}=v\]


\(v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\)


La cual es la ecuacion 2.34. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:48 5 jul 2013 (CDT)

El problema yo lo realice de la siguiente manera:

2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$, $y=h(t)$, entonces:

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Derive la ecuación (2.34)

Sabemos que la ecuación (2.34) es:

\[ \pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


Ya que sabemos que

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Luego:

\[ \left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi} \]


Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve

\[ \text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}} \]


Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$, asi:

\[ \frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:

\[ \pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


--Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)


2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad de dicha onda.

Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos lo siguiente:

\[ \psi(x,t)=Asen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt)) \]


Luego:

\[ -\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v \]


Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.

Del problema (2.21) tenemos que por definición:

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}} \]

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)


2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.

Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: \begin{equation} \psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon); \end{equation} donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.

A continuación escribimos las condiciones iniciales:

\begin{equation} \psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III) \end{equation}


Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.

\begin{equation} A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)] \end{equation}

Simplificamos

\begin{equation} =Acos(\varepsilon)=0 \end{equation}

Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor \begin{equation} \varepsilon=\frac{\pi}{2} \end{equation}

Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:

\begin{equation} Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2} \end{equation}

Así \begin{equation} A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1 \end{equation}

Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:

\begin{equation} \psi(z,0)=sen(kz+\pi/2) \end{equation}

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 01:37 23 mar 2014 (UTC)


2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas viajeras:

(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$

(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$

(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$

(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$

Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:

$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$ es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las características de una.

Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera, ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.

Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente, hacia la izquierda.

Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$ no cumple con la definición de onda viajera.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)


2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir:

$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por definición.

Luego:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$

Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$

Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)


2.32 Demuetre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.

Solución:

Sea z perteneciente a los complejos


$z=a+ib$


y su conjugado


$z^{\star}=a-ib$


entonces:


$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$


$z-z^{\star}=2ib$

Dividimos entre $2i$


$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$


$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$


que es la parte imaginaria del número complejo z.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:43 18 mar 2014 (CDT)


2.34

Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.

Solución:

De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$ es el Laplaciano para ambas ecuaciones.

Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.

Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.

$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$

Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:52 18 mar 2014 (CDT)


2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$), dividida por el momento de la partícula.

Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una velocidad de 1 m/s con la de la luz.

Tenemos que:

\[ \lambda=\frac{h}{p} \]


Para la piedra tenemos entonces que:

\[ \lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m \]


Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces, comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)