Ondas: probs c2 mov osc

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vibraciones y ondas problemas capítulo 2 Óptica - Hecht

2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (\(\lambda=580nm\)) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas \(\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}\), es decir, \(\displaystyle{10GHz}\) y \(\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})\)?

Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir

\(ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}\)

Una microonda con frecuencia de \(\displaystyle{10 GHz}\) tiene una longuitud de onda de

\(\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}\)

Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán

\(\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:28 17 mar 2014 (UTC)


2.2 La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de $3x10^{8}\frac{m}{s}$.Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de $5x10^{14}Hz$.Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de$60Hz.$


Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:

\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\]

o la ecuación:

\[\lambda=600nm\]

que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:


\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].

Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 02:15 17 mar 2014 (UTC)



2.4

Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda 1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia, el periodo y la longitud de

onda de las olas?

Los datos dados en el problema, son los siguientes:

t = 1.5s, l = 4.5m,

Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.

De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:

\[ \nu=\frac{1}{\tau} \]


Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:

\[ \nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz \]


Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:

\[ \tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau \]


De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición: $v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$

Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.

Ana Alarid (discusión) 01:46 12 mar 2014 (UTC)


2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por

\(y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x \)

Calcule a) amplitud,b) frecuencia,c) longitud de onda y su periodo

Solución:

la expresión anterior se puede expresar como

\(y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x\Rightarrow y=\left(0.02\right)\sin\left(157x\right)\cdots\cdots\cdots\left(1\right) \)

Entonces la expresión general de una función de onda es\[y\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm\omega t\right)\cdots\cdots\cdots\left(2\right) \]

Para pasar la ec 1 a la exprsión 2 hay que partir de la velocidad para calcular el termino \(\omega t\), entonces\[v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow\omega=vk=\left(1.2\frac{m}{s}\right)\left(157m^{-1}\right)=188.4\frac{rad}{s} \]

por lo tanto nuestra ecuación 1 queda como\[y\left(x,t\right)=\left(0.02\right)\sin\left(157x+188.4t\right)\cdots\cdots\cdots\left(3\right) \]

entonces comparando 2 con 3,tenemos que:

a)

\(A=0.02\)

b)

\(f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{188.4\frac{rad}{s}}{2\pi}=29.98\thickapprox30Hz \)

c)

\(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{30Hz}=0.04m \)

d)

\(T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{188.4\frac{rad}{s}}=0.03s \)


--MISS (discusión) 01:09 21 jun 2013 (CDT)





2.13 Usando las funciones de onda

\(\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \)

\(\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \)

determine en cada caso los valores de a)amplitud,b)frecuencia,c)velocidad de fase,d)longitud de onda,e)periodo,f)dirección del movimiento. El tiempo se expresa en segundos s y x en metros.

Solución:

Para resolver este problema comparamos la expresión de la función de onda dada

\(\psi\left(x,t\right)=A\sin\left(kx\pm wt\right) \)

Donde A es la amplitud, k es una constante, w se le denomina frecuencia angular (w = kv) de la igualdad observamos que los valores de los diferentes parámetros son\[A=8\pi \]

\(kx=0.2x\Rightarrow k=0.2m^{-1} \)

\(wt=3\Rightarrow w=3\frac{rad}{s} \)

Entonces para \(\psi\) el inciso:

a)

\(A=8\pi \)

b)

\(f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.47\approx0.5Hz \)

c)

\(v=\frac{\omega}{k}=\frac{3\frac{rad}{s}}{0.2m^{-1}}=15\frac{m}{s} \)

d)

\(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{15\frac{m}{s}}{0.5Hz}=30m \)

e)

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3\frac{rad}{s}}=2.09\approx2.1s \)

f)

Como el signo entre kx y wt es negativo está indicando que la propagación de la onda es hacia la derecha.


Para \(\psi_{2}\) tenemos:

a)

\(A=\frac{1}{2.5} \)

b)

\(f=\frac{\omega}{2\pi}\Rightarrow f=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{2\pi}=0.55\approx0.6Hz \)

c)

\(v=\frac{\omega}{k}=\frac{3.5\frac{rad}{s}}{7m^{-1}}=0.5\frac{m}{s} \)

d)

\(\lambda=\frac{v}{f}=\frac{0.5\frac{m}{s}}{0.6Hz}=0.8m \)

e)

\(\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f\Rightarrow T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{3.5\frac{rad}{s}}=1.79\approx1.8s \)

f)

Como el signo entre kx y wt es positivo está indicando que la propagación de la onda es hacia la izquierda.

--MISS (discusión) 23:59 20 jun 2013 (CDT)



2.14 Demuestre que, \(\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))\) es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.

Demostración

De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}\)

La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}\)

La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}\)

Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene

\(\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}\)

Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 21:17 17 mar 2014 (UTC)


2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud \(10^{3}V/m\) , periodo \(2.2x10^{-15}s\) ,y velocidad \(3x10^{8}m/s\) .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de \(10^{3}V/m\) en t=0 y x=0.

R\[\tau=2.2x10^{-15}s\]


sabiendo que \(\nu=\frac{1}{\tau}\)


\(\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz\)


obtenemos la longitud de onda con \(v=\nu\lambda\)


es decir \(\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}\)


\(\lambda=6.6x10^{-7}m\)


obtenemos K de la formula \(k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}\)


Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es

\(\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]\)


sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.

\(\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]\)

- --Leticia González Zamora (discusión) 15:27 20 jun 2013 (CDT)




2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en t=0 por

\(y(x,t)\mid_{t=0}=\frac{c}{2+x^{2}} \)

donde C es una constante. Dibuje el perfil de la onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad v en la dirección negativa de x, como función del tiempo t. si v= 1 m/s, dibuje el perfil en t=2s.

a) Perfil1.png

Donde graficamos con C=1, se podría graficar con "c" igual a cualquier valor, dándonos un máximo siempre a c/2, pero con la misma forma de la gráfica.

b) Al graficar el perfil anterior notamos que la fase no incluia a la velocidad por estar al tiempo t=0, sin embargo para cualquier tiempo se le restaría a la x, la velocidad multiplicado por el tiempo. Ahora bien para hacer que se mueva en la dirección negativa simplemente a la "x" simplemente le sumaríamos a la velocidad por el tiempo\[y(x,t)=\frac{c}{2+(x+vt)^{2}} \]

c)Perfil2.png

--Ignacio Peralta Martínez (discusión) 01:43 6 jul 2013 (CDT)



2.21Comenzando por el siguiente teorema: sí \(Z=f_{(x,y)}\),\(x=g_{(t)}\) y \(y=h_{(t)}\) Entonces\[\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}\]


Derivar la ecuacion: (2.34)

\(\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35\)


En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.

\(\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi\)


Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”

\(\Psi_{(y,t)}=\psi\)


Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)

\(\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}\)


De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo\[\frac{\delta\psi}{\delta t}=0\]


Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.

\(0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\)


Despejando\[\frac{\delta y}{\delta t}=v\]


\(v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\)


La cual es la ecuacion 2.34. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:48 5 jul 2013 (CDT)