Diferencia entre revisiones de «Ondas: probs c2 mov osc»

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--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:57 30 mar 2015 (CDT)vibraciones y ondas
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''''''Texto en negrita''''''--[[Usuario:Jose de jesus|Jose de jesus]] ([[Usuario discusión:Jose de jesus|discusión]]) 18:57 30 mar 2015 (CDT)vibraciones y ondas
 
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht
 
problemas capítulo 2 Óptica - Hecht
 
==Problema 2.1==
 
==Problema 2.1==
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[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)
 
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 02:15 17 mar 2014 (UTC)
 
----
 
----
==Problema 2.3==
+
==Problema 2.2 (E.Hecht 5ta Edición)==
 +
'''Show that the function'''
 +
\begin{equation}\label{eq:1}
 +
\psi (y,t)=(y-4t)^{2}
 +
\end{equation}
  
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$
+
'''is a solution of the differential wave equation. In what direction does it travel?'''
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''
 
  
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$
+
Para resolver este problema, debemos tener presente que le Ecuación de Onda es de la forma
 
  
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$
+
\begin{equation}\label{eq:2}
+
\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}}
 +
\end{equation}
  
$v=f\cdot\lambda$
+
Para comprobar, comenzamos realizando la primer derivada de la función (Ecuación \ref{eq:1}) respecto a $y$
 
  
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$
+
\begin{equation}
+
\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}((y-4t)^{2})=2(y-4t)=2y-8t
 +
\end{equation}
  
$v=300\frac{m}{s}$
+
Ahora derivamos el resultado anterior para así obtener la segunda derivada respeto a la variable $y$
  
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)
+
\begin{equation}
----
+
\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}})=\frac{\partial}{\partial{y}}(2y-8t)=2
 +
\end{equation}
  
== Problema 2.4==
+
Realizamos el mismo procedimiento para llegar a la segunda derivada de la Ecuación \ref{eq:1} pero ahora respecto a la variable $t$
  
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''
+
\begin{equation}
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''
+
\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}=\frac{\partial}{\partial{t}}((y-4t)^{2})=2(y-4t)(-4)=-8(y-4t)=32t-8y
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''
+
\end{equation}
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''
 
'''el periodo y la longitud de '''
 
  
'''onda de las olas?'''
+
\begin{equation}
 +
\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}}=\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}})=\frac{\partial}{\partial{t}}(32t-8y)=32
 +
\end{equation}
  
Los datos dados en el problema, son los siguientes:
+
Como se observa en la Ecuación \ref{eq:2} solo nos hace falta obtener la variable $v$, pero como vemos, esta se obtiene  despejandola para finalmente llegar a la siguiente expresión
  
t = 1.5s, l = 4.5m,
+
\begin{equation}
 +
v^{2}=\frac{\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}}}{\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}}
 +
\end{equation}
  
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.
+
Sustituimos los datos de las segundas derivadas que habíamos encontrado y vemos que la $v^{2}=16$.
  
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:
+
Realizando la sustitución de los datos, encontramos
  
\[
+
\begin{equation}
\nu=\frac{1}{\tau}
+
2=\frac{1}{16}(32)=2
\]
+
\end{equation}
  
 +
que la función es solución de la ecuación de onda.
  
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:
+
La onda viaja de izquierda a derecha ya que la función (Ec.\ref{eq:1}) tiene un signo menos.
  
\[
+
[[Usuario:Misa cabca|Misa cabca]] ([[Usuario discusión:Misa cabca|discusión]]) 10:24 27 oct 2020 (CDT)
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz
 
\]
 
  
  
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:
+
==Problema 2.3==
  
\[
+
'''Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau
+
'''pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$.''' '''Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.'''
\]
 
  
 +
Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$
 +
  
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:
+
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$
+
  
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.
+
$v=f\cdot\lambda$
 +
 +
 
 +
$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$
 +
 +
 
 +
$v=300\frac{m}{s}$
  
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)
+
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:29 18 mar 2014 (UTC)
 
----
 
----
  
==Problema 2.5==
+
== Problema 2.4==
  
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m
+
'''Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen'''
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$
+
'''una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con'''
+
'''un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda'''
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''
+
'''1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia,'''
 +
'''el periodo y la longitud de '''
  
 +
'''onda de las olas?'''
  
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$
+
Los datos dados en el problema, son los siguientes:
 
  
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.
+
t = 1.5s, l = 4.5m,
  
$v=f\cdot\lambda$
+
Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.
 
  
$f=\frac{v}{\lambda}$
+
De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:
 
  
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$
+
\[
+
\nu=\frac{1}{\tau}
 +
\]
  
$f=1.22\times10^{-3}Hz$
 
  
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)
+
Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:
----
 
  
==Problema 2.6==
+
\[
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''
+
\nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''
+
\]
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''
 
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''
 
  
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$
 
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$
 
  
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos
+
Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:
a la ecuación
 
  
 
\[
 
\[
\upsilon=\nu\lambda
+
\tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau
 
\]
 
\]
  
  
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere
+
De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición:
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$
+
$v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$
  
Haciendo el despeje la ecuación queda:
+
Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.
  
\[
+
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 01:46 12 mar 2014 (UTC)
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}
+
----
\]
 
  
 +
==Problema 2.5==
  
Sustituimos nuestros datos
+
'''Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m
 +
'''recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$
 +
 +
'''¿Cual sera la frecuencia de la vibración?'''
  
\[
 
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}
 
\]
 
  
 +
Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$
 +
  
Y obtendremos que
+
De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.
\[
 
\lambda=0.0034m
 
\]
 
  
 +
$v=f\cdot\lambda$
 +
  
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)
+
$f=\frac{v}{\lambda}$
 +
 +
 
 +
$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$
 +
 +
 
 +
$f=1.22\times10^{-3}Hz$
  
 +
[[Usuario:Mario Moranchel|Mario Moranchel]] ([[Usuario discusión:Mario Moranchel|discusión]]) 06:42 18 mar 2014 (UTC)
 
----
 
----
==Problema 2.7==
 
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''
 
  
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación  armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.
+
==Problema 2.6==
 +
'''Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la'''
 +
'''piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua'''
 +
'''pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440'''
 +
'''Hz que se toca en dicho instrumento?'''
  
De esta forma el periodo de la perturbación es:
+
Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$
 +
y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$
  
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math>
+
Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos
 +
a la ecuación
  
Entonces la frecuencia es:
+
\[
 +
\upsilon=\nu\lambda
 +
\]
  
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math>
 
  
 +
De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere
 +
de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$
  
 +
Haciendo el despeje la ecuación queda:
  
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)
+
\[
 +
\lambda=\frac{\upsilon}{\nu}
 +
\]
  
----
 
==Problema 2.8==
 
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$
 
  
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.
+
Sustituimos nuestros datos
  
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:
+
\[
 +
\lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}}
 +
\]
  
$Periodo$
 
\begin{equation}
 
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)
 
\end{equation}
 
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.
 
  
$Frecuencia$
+
Y obtendremos que
\begin{equation}
+
\[
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)
+
\lambda=0.0034m
\end{equation}
+
\]
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.
 
  
De $(ii)$ despejamos $\omega$
 
  
\begin{equation}
+
[[Usuario:Daniel Olvera Moreno]] ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)
\omega=\nu 2\pi ....(iii)
 
\end{equation}
 
  
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$
+
----
 +
==Problema 2.7==
 +
'''Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?'''
  
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$
+
De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación  armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.
  
\begin{equation}
+
De esta forma el periodo de la perturbación es:
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)
 
\end{equation}
 
  
\begin{equation}
+
<math> \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s</math>
\omega= \frac{2\pi}{\tau}
 
\end{equation}
 
  
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$
+
Entonces la frecuencia es:
  
\begin{equation}
+
<math> f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz </math>
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}
 
\end{equation}
 
  
Por lo tanto:
 
  
\begin{equation}
 
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)
 
\end{equation}
 
  
 +
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 18:16 27 mar 2014 (UTC)
  
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)
+
----
 +
==Problema 2.8 (Hecht 5ta edición)==
 +
'''Compute the wavelength of ultrasound waves with a frequency of 500 MHz in air. The speed of sound in the air is 342 m/s.'''
 +
 
 +
Para este caso, la resolución del problema es fácil ya que solo aplicamos la Ecuación \ref{eq:last} y solamente aplicamos sustitución de datos.
 +
 
 +
\begin{equation}\label{eq:last}
 +
v=f * \lambda
 +
\end{equation}
 +
 
 +
Por lo tanto, despejando la $\lambda$ llegamos a la Ecuación \ref{eq:last1}.
 +
 
 +
\begin{equation}\label{eq:last1}
 +
\lambda= \frac{v}{f}
 +
\end{equation}
  
----
+
Sustituyendo los datos.
  
==Problema 2.9 ==
+
\begin{equation}
 +
\lambda= \frac{343}{500000000}
 +
\end{equation}
  
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$
+
Por lo tanto llegamos a la solución de que la longitud de onda del ultrasonido es de: 0.000000686 m.
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$
 
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo
 
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de
 
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las
 
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$
 
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de
 
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion
 
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$
 
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,
 
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce
 
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?
 
  
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]
+
[[Usuario:Misa cabca|Misa cabca]] ([[Usuario discusión:Misa cabca|discusión]]) 20:31 16 nov 2020 (CST)
  
{| class="wikitable" style="text-align:center"
+
==Problema 2.8==
|-
+
'''2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$
! $ \theta $
+
 
! $-\frac{\pi}{4}$
+
La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.
! $-\frac{\pi}{4}$
+
 
! $ 0 $
+
Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:
! $ \frac{\pi}{4}$
+
 
! $ \frac{\pi}{2}$
+
$Periodo$
! $ \frac{3\pi}{4}$
+
\begin{equation}
! $ \pi $
+
\tau=\frac{\lambda}{v}.... (i)
! $ \frac{5\pi}{4}$
+
\end{equation}
! $ \frac{3\pi}{2}$
+
donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.
! $ \frac{7\pi}{4}$
+
 
! $ 2\pi$
+
$Frecuencia$
|-
+
\begin{equation}
| $ \sin(\theta) $
+
\nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii)
| $ -1 $
+
\end{equation}
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.
| $ 0 $
+
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
De $(ii)$ despejamos $\omega$
| $ 1 $
+
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
\begin{equation}
| $ 0 $
+
\omega=\nu 2\pi ....(iii)
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
\end{equation}
| $ -1 $
+
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$  
| $ 0 $
+
 
|-
+
Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$
| $ \cos(\theta) $
+
 
| $ 0 $
+
\begin{equation}
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
\nu=\frac{1}{\tau} ....(iv)
| $ 1 $
+
\end{equation}
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ 0 $
+
\begin{equation}
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
\omega= \frac{2\pi}{\tau}
| $ -1 $
+
\end{equation}
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ 0 $
+
Sustituyendo $(i)$ en $\tau$
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ 1 $
+
\begin{equation}
|-
+
\omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}}
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $
+
\end{equation}
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ -1 $
+
Por lo tanto:
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ 0 $
+
\begin{equation}
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
\omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v)
| $ 1 $
+
\end{equation}
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
 
| $ 0 $
+
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 11:13 23 mar 2014 (UTC)
| $ -1 $
+
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
----
|-
+
 
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $
+
==Problema 2.9 ==
| $ 0 $
+
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$
| $ -1 $
+
corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
, en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo
| $ 0 $
+
de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
$\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las
| $ 1 $
+
funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
, y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de
| $ 0 $
+
estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
$\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$
| $ -1 $
+
. en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular,
 +
en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce
 +
a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?
 +
 
 +
[[Archivo:Grafica2.9.png|700px|thumb|left|Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha ]]
 +
 
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|-
 
|-
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $
+
! $ \theta $
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
+
! $-\frac{\pi}{4}$
| $ 0 $
+
! $-\frac{\pi}{4}$
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
! $ 0 $
| $ -1 $
+
! $ \frac{\pi}{4}$
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
+
! $ \frac{\pi}{2}$
 +
! $ \frac{3\pi}{4}$
 +
! $ \pi $
 +
! $ \frac{5\pi}{4}$
 +
! $ \frac{3\pi}{2}$
 +
! $ \frac{7\pi}{4}$
 +
! $ 2\pi$
 +
|-
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| $ \sin(\theta) $
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| $ -1 $
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ 0 $
 
| $ 0 $
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
Línea 344: Línea 371:
 
| $ 0 $
 
| $ 0 $
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ -1 $
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 0 $
 
|-
 
|-
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $
+
| $ \cos(\theta) $
 
| $ 0 $
 
| $ 0 $
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
Línea 357: Línea 387:
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
| $ 1 $
 
| $ 1 $
|}
+
|-
 
+
| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ -1 $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ 0 $
 
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| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ 1 $
 
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| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ 0 $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ -1 $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $
 
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| $ 0 $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
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| $ -1 $
 
+
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$
+
| $ 0 $
+
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ 1 $
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)
+
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ 0 $
 
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| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ -1 $
 
+
|-
 
+
| $ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $
----
+
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ 0 $
==Problema 2.9(Hecht 1ra edición) ==
+
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ -1 $
'''Considere una onda luminosa teniendo una velocidad de fase de $3\times10^{8}\frac{m}{s}$ y una frecuencia de $6\times10^{14}Hz.$ Encontrar: la frecuencia angular, el valor del número de propagación $k$, la longitud de onda y comprobar que esta onda se encuentre dentro del espectro de luz visible. ¿Qué desplazamiento de fase ocurre en un punto dado a $10^{-6}s$, y cuántas ondas han pasado hasta ese momento?
+
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 
+
| $ 0 $
SOLUCIÓN:
+
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 1 $
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 0 $
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
|-
 +
| $ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $
 +
| $ 0 $
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 1 $
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 0 $
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ -1 $
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 0 $
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
 +
| $ 1 $
 +
|}
 +
 
  
Consideramos la ecuación de la propagación de onda:
 
  
\[
 
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t+\varepsilon)
 
\]
 
  
  
donde \varepsilon=0 dado que consideraremos que la fase inicial
 
$\varepsilon$ es nula. Por lo que:
 
  
\[
 
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t)......(1)
 
\]
 
  
  
Para obtener el valor del número de propagación consideramos que la
 
velocidad de fase $V_{\phi}=\frac{\omega}{k}\Longrightarrow k=\frac{\omega}{V_{\phi}}$
 
y sabemos que $\omega=2\pi\upsilon$ donde $\upsilon$ es la conocida
 
frecuencia por lo que substituyendo tendremos:
 
  
\[
 
\omega=2\pi(6\times10^{14})=12\times10^{14}\pi\frac{rad}{seg}
 
\]
 
  
  
Y por lo tanto:
 
  
\[
 
k=\frac{\omega}{V_{\phi}}=\frac{12\times10^{14}\pi}{3\times10^{8}}=4\times10^{6}\pi
 
\]
 
  
  
De aquí sabremos que la longitud de onda $\lambda$ dada por \lambda=\frac{2\pi}{k}
 
será:
 
  
\[
 
\lambda=\frac{2\pi}{4\times10^{6}\pi}=500\times10^{-9}=500nm
 
\]
 
  
  
y como en el espectro monocromático la luz visible va desde los 400nm
 
hasta los 700nm, aproximadamente, se comprueba entonces que esta onda
 
está dentro el rango del espectro visible de la luz.
 
  
Para calcular el desplazamiento de fase recurrimos la ec.(1) donde
+
Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$
el tiempo es dado y donde ya conocemos la frecuencia:
+
  
\[
+
--[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 20:37 29 mar 2015 (CDT)
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t)
 
\]
 
  
  
Y el desplazamiento de fase es $x=(V_{\phi})(t)=(3\times10^{8})(10^{-6})=3\times10^{2}$
 
  
Para calcular el número de ondas que han pasado en ese tiempo, simplemente
 
calculamos para $\omega$; si sabemos cuanto pasa en un segundo sólo
 
multiplicamos $\omega$ por $10^{-6}seg$, así:
 
  
\[
 
(12\times10^{14}\pi)(10^{-6})=12\times10^{8}
 
\]
 
que es el número de ondas que han pasado en ese intervalo de tiempo.
 
  
 +
----
  
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 01:34 30 mar 2015 (CDT)
+
==Problema 2.9(Hecht 1ra edición) ==
  
 +
'''Considere una onda luminosa teniendo una velocidad de fase de $3\times10^{8}\frac{m}{s}$ y una frecuencia de $6\times10^{14}Hz.$ Encontrar: la frecuencia angular, el valor del número de propagación $k$, la longitud de onda y comprobar que esta onda se encuentre dentro del espectro de luz visible. ¿Qué desplazamiento de fase ocurre en un punto dado a $10^{-6}s$, y cuántas ondas han pasado hasta ese momento?
  
 +
SOLUCIÓN:
  
 +
Consideramos la ecuación de la propagación de onda:
 +
 +
\[
 +
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t+\varepsilon)
 +
\]
  
----
 
==Problema 2.10==
 
  
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$
+
donde \varepsilon=0 dado que consideraremos que la fase inicial
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos
+
$\varepsilon$ es nula. Por lo que:
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$
 
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$
 
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.
 
  
{| class="wikitable" style="text-align:center"
+
\[
|-
+
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t)......(1)
! $ x $
+
\]
! $-\frac{\lambda}{2}$
+
 
! $-\frac{\lambda}{4}$
+
 
! $ 0 $
+
Para obtener el valor del número de propagación consideramos que la
! $\frac{\lambda}{4}$
+
velocidad de fase $V_{\phi}=\frac{\omega}{k}\Longrightarrow k=\frac{\omega}{V_{\phi}}$
! $\frac{\lambda}{2}$
+
y sabemos que $\omega=2\pi\upsilon$ donde $\upsilon$ es la conocida
! $\frac{3\lambda}{2} $
+
frecuencia por lo que substituyendo tendremos:
! $ \lambda $
+
 
|-
+
\[
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $
+
\omega=2\pi(6\times10^{14})=12\times10^{14}\pi\frac{rad}{seg}
| $ -\pi $
+
\]
| $ -\frac{\pi}{2}$
+
 
| $ 0 $
+
 
| $ \frac{\pi}{2}$
+
Y por lo tanto:
| $ \pi $
+
 
| $ \frac{3\pi}{2}$
+
\[
| $ 2\pi$
+
k=\frac{\omega}{V_{\phi}}=\frac{12\times10^{14}\pi}{3\times10^{8}}=4\times10^{6}\pi
|-
+
\]
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$
+
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
+
 
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
+
De aquí sabremos que la longitud de onda $\lambda$ dada por \lambda=\frac{2\pi}{k}
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
será:
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
 
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
+
\[
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
+
\lambda=\frac{2\pi}{4\times10^{6}\pi}=500\times10^{-9}=500nm
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
\]
|-
+
 
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$
+
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
y como en el espectro monocromático la luz visible va desde los 400nm
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
+
hasta los 700nm, aproximadamente, se comprueba entonces que esta onda
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
+
está dentro el rango del espectro visible de la luz.
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
|-
 
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$
 
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
|-
 
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$
 
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 
|}
 
  
Ejercicio Resuelto por
+
Para calcular el desplazamiento de fase recurrimos la ec.(1) donde
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)
+
el tiempo es dado y donde ya conocemos la frecuencia:
----
+
 
 +
\[
 +
\psi(x,t)=Asen(kx-\omega t)
 +
\]
  
==Problema 2.11==
 
  
'''Make up a table with columns headed by values of $\omega \, t$ running from $t=-\tau /2$ to $t=+\tau$ in intervals of $t$ of $\tau/4$; of course $\omega=2\,\pi/\tau$. In each column place the corresponding values of $\sin(\omega\,t+\pi/4)$ and $\sin(\pi/4-\omega\,t)$ and plot these two functions. '''
+
Y el desplazamiento de fase es $x=(V_{\phi})(t)=(3\times10^{8})(10^{-6})=3\times10^{2}$
  
Se realiza la tabla usando $\omega=2\,\pi/\tau$ en el argumento de cada función.
+
Para calcular el número de ondas que han pasado en ese tiempo, simplemente
 +
calculamos para $\omega$; si sabemos cuanto pasa en un segundo sólo
 +
multiplicamos $\omega$ por $10^{-6}seg$, así:
  
{| class="wikitable" style="width:60%; height:200px"  align="center" border="2" cellpadding="2"
+
\[
|-
+
(12\times10^{14}\pi)(10^{-6})=12\times10^{8}
!width="75"|$t$ !!width="25"| $-\frac{\tau}{2}$ !!width="25"| $-\frac{\tau}{4}$ !!width="25"| $0$ !!width="25"| $\frac{\tau}{4}$ !!width="25"| $\frac{\tau}{2}$ !!width="25"| $\frac{3\tau}{4}$ !!width="25"| $\tau$
+
\]
|-
+
que es el número de ondas que han pasado en ese intervalo de tiempo.
! $\omega \, t$
 
| $-\pi$ || $-\frac{\pi}{2}$ || $0$ || $\frac{\pi}{4}$ || $\frac{\pi}{2}$ || $\frac{3\pi}{2}$ || $2\pi$
 
|-
 
! $\sin(\omega\,t+\frac{\pi}{4})$
 
| $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$
 
|-
 
! $\sin(\frac{\pi}{4}-\omega\,t)$
 
| $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$
 
|}
 
  
La gráfica se realizó en ''Mathematica 10.0''. El comando utilizado fue:
 
  
Plot[
+
--[[Usuario:A. Martín R. Rabelo|A. Martín R. Rabelo]] ([[Usuario discusión:A. Martín R. Rabelo|discusión]]) 01:34 30 mar 2015 (CDT)
{Sin[wt + Pi/4], Sin[Pi/4 - wt]}, {wt, -Pi, 2 Pi},
 
PlotStyle -> Thickness[.01], PlotLegends -> "Expressions",
 
AxesStyle -> {Directive[Black, 12, Thick], Directive[Black, 12, Thick]},
 
Ticks -> {Table[-Pi + n Pi/2, {n, 0, 6}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}},
 
TicksStyle -> Directive["Label", 18, Black, Thick],
 
GridLines -> {Table[-Pi + n Pi/4, {n, 0, 12}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}},
 
GridLinesStyle -> Directive[Dashed, GrayLevel[.76], Thickness[.0025]],
 
ImageSize -> Large
 
]
 
  
[[Image:Problema 2.11 Hecht wikiluz.png|thumb|Gráfica acorde a los datos de la tabla mostrada arriba.|left|800px]]
 
  
  
  
 +
----
 +
==Problema 2.10==
  
 +
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$
 +
correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos
 +
de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$
 +
. En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$
 +
y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.
  
 +
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 +
|-
 +
! $ x $
 +
! $-\frac{\lambda}{2}$
 +
! $-\frac{\lambda}{4}$
 +
! $ 0 $
 +
! $\frac{\lambda}{4}$
 +
! $\frac{\lambda}{2}$
 +
! $\frac{3\lambda}{2} $
 +
! $ \lambda $
 +
|-
 +
| $ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $
 +
| $ -\pi $
 +
| $ -\frac{\pi}{2}$
 +
| $ 0 $
 +
| $ \frac{\pi}{2}$
 +
| $ \pi $
 +
| $ \frac{3\pi}{2}$
 +
| $ 2\pi$
 +
|-
 +
| $$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
|-
 +
| $$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
|-
 +
| $$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$
 +
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
|-
 +
| $$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$
 +
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
| $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$
 +
|}
  
 +
Ejercicio Resuelto por
 +
[[Usuario:Rosario Maya|Rosario Maya]] ([[Usuario discusión:Rosario Maya|discusión]]) 00:05 30 mar 2015 (CDT)
 +
----
  
 +
==Problema 2.11==
  
 +
'''Make up a table with columns headed by values of $\omega \, t$ running from $t=-\tau /2$ to $t=+\tau$ in intervals of $t$ of $\tau/4$; of course $\omega=2\,\pi/\tau$. In each column place the corresponding values of $\sin(\omega\,t+\pi/4)$ and $\sin(\pi/4-\omega\,t)$ and plot these two functions. '''
  
 +
Se realiza la tabla usando $\omega=2\,\pi/\tau$ en el argumento de cada función.
  
 +
{| class="wikitable" style="width:60%; height:200px"  align="center" border="2" cellpadding="2"
 +
|-
 +
!width="75"|$t$ !!width="25"| $-\frac{\tau}{2}$ !!width="25"| $-\frac{\tau}{4}$ !!width="25"| $0$ !!width="25"| $\frac{\tau}{4}$ !!width="25"| $\frac{\tau}{2}$ !!width="25"| $\frac{3\tau}{4}$ !!width="25"| $\tau$
 +
|-
 +
! $\omega \, t$
 +
| $-\pi$ || $-\frac{\pi}{2}$ || $0$ || $\frac{\pi}{4}$ || $\frac{\pi}{2}$ || $\frac{3\pi}{2}$ || $2\pi$
 +
|-
 +
! $\sin(\omega\,t+\frac{\pi}{4})$
 +
| $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$
 +
|-
 +
! $\sin(\frac{\pi}{4}-\omega\,t)$
 +
| $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$ || $\frac{1}{\sqrt{2}}$
 +
|}
  
 +
La gráfica se realizó en ''Mathematica 10.0''. El comando utilizado fue:
 +
 +
Plot[
 +
{Sin[wt + Pi/4], Sin[Pi/4 - wt]}, {wt, -Pi, 2 Pi},
 +
PlotStyle -> Thickness[.01], PlotLegends -> "Expressions",
 +
AxesStyle -> {Directive[Black, 12, Thick], Directive[Black, 12, Thick]},
 +
Ticks -> {Table[-Pi + n Pi/2, {n, 0, 6}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}},
 +
TicksStyle -> Directive["Label", 18, Black, Thick],
 +
GridLines -> {Table[-Pi + n Pi/4, {n, 0, 12}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}},
 +
GridLinesStyle -> Directive[Dashed, GrayLevel[.76], Thickness[.0025]],
 +
ImageSize -> Large
 +
]
  
 +
[[Image:Problema 2.11 Hecht wikiluz.png|thumb|Gráfica acorde a los datos de la tabla mostrada arriba.|left|800px]]
  
  
Línea 602: Línea 672:
  
  
Problema hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 01:58 30 mar 2015 (CDT)
 
 
==Problema 2.12==
 
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''
 
 
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center>
 
 
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''
 
 
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro
 
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center>
 
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:
 
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center>
 
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:
 
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center>
 
Finalmente, su periodo esta dado por:
 
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center>
 
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)
 
----
 
 
----
 
== Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método ==
 
 
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:
 
 
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157/m\right)x
 
  </math>
 
 
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.
 
 
Solución
 
 
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:
 
 
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)
 
</math>
 
 
donde <math>A
 
</math> es la amplitud , y <math>\kappa
 
</math> el numero de onda (constante).
 
 
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:
 
 
: <math>\varPsi(x,0)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x
 
  </math>
 
 
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m
 
  </math> y <math>\kappa=157m^{-1}
 
</math>.
 
 
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}
 
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"
 
</math> se tiene:
 
 
: <math>\lambda
 
= \frac{2\pi}{\kappa}
 
  =\frac{2\pi}{157m^{-1}}
 
  = 0.0400 m </math>
 
 
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v
 
  = \nu\lambda
 
</math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"
 
</math> se tiene:
 
 
: <math>\nu
 
  =\frac{v}{\lambda}
 
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}
 
= 30 Hz </math>
 
 
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:
 
 
: <math>\tau
 
  = \frac{1}{\nu}
 
  = \frac{1}{30Hz}
 
= 0.033 s </math>
 
 
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)
 
 
==Problema 2.13==
 
 
'''2.13 Usando las funciones de onda'''
 
 
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)
 
</math>
 
 
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}
 
</math>
 
 
'''determine en cada caso los valores de
 
 
'''a)amplitud,'''
 
 
'''b)frecuencia, '''
 
 
'''c)velocidad de fase, '''
 
 
'''d)longitud de onda,'''
 
 
'''e)periodo,'''
 
  
'''f)dirección del movimiento. '''
 
  
  
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''
 
  
  
Solución:
 
  
Partimos de la ecuación de onda:
 
\[
 
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)
 
\]
 
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:
 
  
\[
 
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)
 
...(2)\]
 
  
Definimos a:
 
  
\[
 
\frac{k}{2\pi}=\chi
 
\]
 
\[
 
\frac{\omega}{2\pi}=\nu
 
\]
 
  
\[
 
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)
 
\]
 
De esta ecuación podemos identificar la:
 
  
Amplitud: $A$
 
  
Frecuencia: $\nu$
+
Problema hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 01:58 30 mar 2015 (CDT)
  
Número de onda: $\chi$
+
==Problema 2.12==
 +
'''2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por'''
  
Tambien sabemos que:
+
<center><math>\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}</math></center>
  
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$
+
'''Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo'''
  
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$
+
Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro
 +
<center><math>\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}</math></center>
 +
de donde es inmediatos su amplitud '''A=0.02m''' y número de onda '''<math>k=157m^{-1}</math>''', por lo que su longuitud de onda esta dada por:
 +
<center><math>\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}</math></center>
 +
su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:
 +
<center><math>\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}</math></center>
 +
Finalmente, su periodo esta dado por:
 +
<center><math>\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}</math></center>
 +
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 17:56 26 mar 2014 (UTC)
 +
----
  
 +
----
 +
== Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método ==
  
Con lo anterior, dada  $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$
+
2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:
  
a) Amplitud = 4 m
+
: <math> y=\left(0.02\right)\sin\left(157/m\right)x
 +
  </math>
  
b) Frecuencia = 3 Hz
+
Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.
  
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$
+
Solución
  
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$
+
Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:
  
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$
+
: <math>\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right)
 +
</math>
  
d) dirección del movimiento:
+
donde <math>A
 +
</math> es la amplitud , y <math>\kappa
 +
</math> el numero de onda (constante).
  
Hacia la derecha.
+
Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:
  
 +
: <math>\varPsi(x,0)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x
 +
  </math>
  
 +
a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud <math> A=0.02m
 +
  </math> y <math>\kappa=157m^{-1}
 +
</math>.
  
 +
b) Se tiene la relación <math>\kappa=\frac{2\pi}{lambda}
 +
</math>; despejando la longitud de onda <math>"\lambda"
 +
</math> se tiene:
  
 +
: <math>\lambda
 +
= \frac{2\pi}{\kappa}
 +
  =\frac{2\pi}{157m^{-1}}
 +
  = 0.0400 m </math>
  
Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $
+
c) Para la frecuencia se tiene la relación <math>v
 +
  = \nu\lambda
 +
  </math>; despejando la frecuencia <math>"\nu"
 +
</math> se tiene:
  
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$
+
: <math>\nu
 +
  =\frac{v}{\lambda}
 +
= \frac{1.2m/s}{0.0400m}
 +
= 30 Hz </math>
  
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$
+
d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:
  
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$
+
: <math>\tau
 +
  = \frac{1}{\nu}
 +
  = \frac{1}{30Hz}
 +
= 0.033 s </math>
  
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$
+
Elaborado por Ricardo García Hernández.--[[Usuario:Ricardo Garcia Hernandez|Ricardo Garcia Hernandez]] ([[Usuario discusión:Ricardo Garcia Hernandez|discusión]]) 00:25 30 mar 2015 (CDT)
  
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$
+
==Problema 2.13==
  
d) dirección del movimiento:
+
'''2.13 Usando las funciones de onda'''
  
Hacia la izquierda.
+
<math>\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right)
 +
</math>
  
 +
<math>\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5}
 +
</math>
  
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)
+
'''determine en cada caso los valores de
  
==Problema 2.14==
+
'''a)amplitud,'''
  
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.'''  
+
'''b)frecuencia, '''
  
'''Demostración'''
+
'''c)velocidad de fase, '''
  
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación
+
'''d)longitud de onda,'''
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center>
+
 
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por
+
'''e)periodo,'''
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por
 
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene
 
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.
 
  
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)
+
'''f)dirección del movimiento. '''
----
 
==Problema 2.15==
 
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.
 
  
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:
 
  
\[
+
'''El tiempo se expresa en segundos y x en metros.'''
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]
 
\]
 
  
\[
 
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]
 
\]
 
  
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:
+
Solución:
  
 +
Partimos de la ecuación de onda:
 
\[
 
\[
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0
+
\psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1)
 
\]
 
\]
 +
En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:
  
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.
+
\[
 +
\psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t)
 +
...(2)\]
  
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)
+
Definimos a:
  
----
+
\[
==Problema 2.16==
+
\frac{k}{2\pi}=\chi
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''
+
\]
 +
\[
 +
\frac{\omega}{2\pi}=\nu
 +
\]
  
R:
+
\[
 +
\psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3)
 +
\]
 +
De esta ecuación podemos identificar la:
  
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math>
+
Amplitud: $A$
 
  
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math>
+
Frecuencia: $\nu$
 
  
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math>
+
Número de onda: $\chi$
 
  
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math>
+
Tambien sabemos que:
 
  
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math>
+
Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$
 
 
  
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math>
+
Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$
 
  
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math>
 
 
  
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es
+
Con lo anterior, dada  $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$
  
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math>
+
a) Amplitud = 4 m
 
  
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.
+
b) Frecuencia = 3 Hz
  
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math>
+
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$
  
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)
+
d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$
----
 
==Problema 2.17==
 
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''
 
  
 +
e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$
  
$\;$
+
d) dirección del movimiento:
  
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el
+
Hacia la derecha.
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo
 
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$.  
 
  
[[Archivo:Perfil11.png]]
 
  
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad
 
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con
 
cierta velocidad para ester perfil esta dada por
 
\[
 
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}
 
\]
 
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda
 
o dirección negativa del $eje\; x$.
 
  
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se
 
muestra a continuación.
 
  
[[Archivo:Perfil123.png]]
 
  
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.
+
Para la función  $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $
  
 +
a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$
  
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)
+
b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$
  
----
+
c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$
==Problema 2.18==
 
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.
 
  
Partimos de la ecuación de la onda
+
d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$
  
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]
+
e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$
  
Evaluamos en $z=0$ y nos queda
+
d) dirección del movimiento:
  
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]
+
Hacia la izquierda.
  
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos
 
  
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]
+
Resuelto por: --[[Usuario:Luis Santos|Luis Santos]] ([[Usuario discusión:Luis Santos|discusión]]) 13:13 28 mar 2015 (CDT)
  
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que
+
==Problema 2.14==
  
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]
+
'''2.14 Demuestre que, <math>\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))</math> es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.'''
  
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.
+
'''Demostración'''
  
 +
De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación
 +
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}</math></center>
 +
La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por
 +
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 +
La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por
 +
<center><math>\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 +
Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene
 +
<center><math>\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}</math></center>
 +
Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.
  
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$
+
[[Usuario:Sabino|Pérez Córdoba Sabino]] ([[Usuario discusión:Sabino|discusión]]) 21:17 17 mar 2014 (UTC)
 +
----
 +
==Problema 2.15==
 +
'''2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por <math>y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]</math> entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.
  
 +
Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:
  
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$
+
\[
 +
\frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon]
 +
\]
 +
 
 +
\[
 +
\frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]
 +
\]
 +
 
 +
Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:
 +
 
 +
\[
 +
\ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0
 +
\]
  
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)
+
Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.
  
 +
[[Usuario:Brenda Pérez Vidal|Brenda Pérez Vidal]] ([[Usuario discusión:Brenda Pérez Vidal|discusión]]) 16:49 27 mar 2014 (UTC)
  
 
----
 
----
 +
==Problema 2.16==
 +
'''2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud <math>10^{3}V/m</math> , periodo <math>2.2x10^{-15}s</math> ,y velocidad <math>3x10^{8}m/s</math> .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de <math>10^{3}V/m</math> en t=0 y x=0.'''
  
== Problema 2.18 Hecht, Second Edition ==
+
R:
  
Given the traveling wave <math>\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)</math>, determine its direction of propagation. Calculate a few values of <math>\psi</math> and make a sketch of the wave at t=0, taking <math>a=25m^{-2}</math> and <math>b=9.0s^{-2}</math>. What is the speed of the wave?
+
<math>\tau=2.2x10^{-15}s</math>
Traduccion Dada la ecuación de onda <math>\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)</math>, determina la direccion de propagación. Calcule algunos valores de <math>\psi</math> y haz un bosquejo de la onda en t=0 dado  <math>a=25m^{-2}</math> y <math>b=9.0s^{-2}</math>. ¿Cual es la velocidad de la onda?
+
   
  
[[Imagen:graficaa1.jpg|200px|thumb|right|Grafica para t=0]]
+
sabiendo que <math>\nu=\frac{1}{\tau}</math>
[[Imagen:graficaa2.jpg|200px|thumb|right|Grafica para t=1]]
+
  
De las graficas de la derecha y no siendo una onda ondas armonicos en forma de coseno o seno, se ve que el la onda se va desplazando hacia la izquierda cuando en este caso t va desde t=0s hasta t =1s
+
<math>\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz</math>
Para la velocidad de onda se hace uso de la misma ecuacion diferencial de onda y se despeja de esta misma ecuacion la velocidad. Asi tenemos:
+
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}</math>:
 
<math>v^{2}=\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}</math>:
 
<math>v=\sqrt{\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}}</math>:
 
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\left(-18\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18t-30x\right)^{2}\right)</math>:
 
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\left(-50\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-30t-50x\right)^{2}\right)</math>
 
Factorizando el exponencialen las dos segundas derivadas se tiene:
 
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18+\left(-18t-30x\right)^{2}\right)</math>;
 
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-50+\left(-30t-50x\right)^{2}\right)</math>
 
que al hacer la divicion se elimina y ahora ademas factorizando del termino restante <math>3t+5x^{2}</math>:
 
<math>\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}</math>:
 
<math>=\frac{-18(1-2\left(3t+5x\right)^{2})}{-10(5+\left(3t+5x\right)^{2})}</math>
 
que finalmente resulta en que v=0.6 rad/s
 
  
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 17:38 30 mar 2015 (CDT) Hecho por Uziel Sanchez Gutierrez
+
obtenemos la longitud de onda con <math>v=\nu\lambda</math>
 +
  
----
+
es decir <math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}</math>
==Problema 2.19==
+
 
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$
 
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''
 
  
$\;$
+
<math>\lambda=6.6x10^{-7}m</math>
 +
  
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las
+
obtenemos K de la formula <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}</math>
condiciones de una ecuación de onda, donde
+
\[
 
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0
 
\]
 
  
 +
Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es
  
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,
+
<math>\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]</math>
\[
+
\psi(y,0)=Ay,
+
 
\]
+
sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.
por lo que no puede representar un perfil de onda.
 
  
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)
+
<math>\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]</math>
  
 +
- --[[Usuario:Leticia González Zamora|Leticia González Zamora]] ([[Usuario discusión:Leticia González Zamora|discusión]]) 15:27 20 jun 2013 (CDT)
 
----
 
----
 +
==Problema 2.17==
 +
'''2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.'''
  
==Problema 2.20==
 
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''
 
  
La ecuación (2.33) nos dice que:
+
$\;$
  
<math>
+
De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)
+
máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo
</math>
+
siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$.  
  
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:
+
[[Archivo:Perfil11.png]]
  
<math>
+
De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v
+
de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con
</math>
+
cierta velocidad para ester perfil esta dada por
 +
\[
 +
y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}}
 +
\]
 +
el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda
 +
o dirección negativa del $eje\; x$.
  
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):
+
La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se
 +
muestra a continuación.
  
<math>
+
[[Archivo:Perfil123.png]]
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)
 
</math>
 
  
Calculando ahora las derivadas:
+
Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.
  
<math>
 
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\}
 
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\
 
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]
 
</math>
 
  
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):
+
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 05:46 26 mar 2014 (UTC)
  
<math>
+
----
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}
+
==Problema 2.18==
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}
+
2.18 '''Determine la magnitud de la función de onda''' $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ '''en el punto''' $z=0$, '''cuanto''' $t=\frac{\tau}{2}$ '''y cuando '''$t=\frac{3\tau}{4}$.
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}
 
</math>
 
  
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):
+
Partimos de la ecuación de la onda
  
<math>
+
\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c
 
</math>
 
  
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.
+
Evaluamos en $z=0$ y nos queda
  
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)
+
\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]
----
 
  
==Problema 2.21==
+
sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos
  
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math>
+
\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]
y <math>y=h_{(t)}</math>
 
Entonces:
 
  
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math>
+
pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que
 
  
Derivar la ecuacion: (2.34)'''
+
\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]
  
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math>
+
Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.
 
  
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.
 
  
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math>
+
$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$
 
  
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”
 
  
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math>
+
y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$
 
  
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)
+
[[Usuario:Pedro Pablo Ramírez Martínez|Pedro Pablo Ramírez Martínez]] ([[Usuario discusión:Pedro Pablo Ramírez Martínez|discusión]]) 01:48 28 mar 2014 (UTC)
  
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math>
 
 
  
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:
+
----
  
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math>
+
== Problema 2.18 Hecht, Second Edition ==
 
  
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.
+
Given the traveling wave <math>\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)</math>, determine its direction of propagation. Calculate a few values of <math>\psi</math> and make a sketch of the wave at t=0, taking <math>a=25m^{-2}</math> and <math>b=9.0s^{-2}</math>. What is the speed of the wave?
 +
Traduccion Dada la ecuación de onda <math>\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)</math>, determina la direccion de propagación. Calcule algunos valores de  <math>\psi</math> y haz un bosquejo de la onda en t=0 dado  <math>a=25m^{-2}</math> y <math>b=9.0s^{-2}</math>. ¿Cual es la velocidad de la onda?
  
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math>
+
[[Imagen:graficaa1.jpg|200px|thumb|right|Grafica para t=0]]
+
[[Imagen:graficaa2.jpg|200px|thumb|right|Grafica para t=1]]
  
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math>
+
De las graficas de la derecha y no siendo una onda ondas armonicos en forma de coseno o seno, se ve que el la onda se va desplazando hacia la izquierda cuando en este caso t va desde t=0s hasta t =1s
+
Para la velocidad de onda se hace uso de la misma ecuacion diferencial de onda y se despeja de esta misma ecuacion la velocidad. Asi tenemos:
 +
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}</math>:
 +
<math>v^{2}=\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}</math>:
 +
<math>v=\sqrt{\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}}</math>:
 +
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\left(-18\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18t-30x\right)^{2}\right)</math>:
 +
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\left(-50\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-30t-50x\right)^{2}\right)</math>
 +
Factorizando el exponencialen las dos segundas derivadas se tiene:
 +
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18+\left(-18t-30x\right)^{2}\right)</math>;
 +
<math>\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-50+\left(-30t-50x\right)^{2}\right)</math>
 +
que al hacer la divicion se elimina y ahora ademas factorizando del termino restante <math>3t+5x^{2}</math>:
 +
<math>\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}</math>:
 +
<math>=\frac{-18(1-2\left(3t+5x\right)^{2})}{-10(5+\left(3t+5x\right)^{2})}</math>
 +
que finalmente resulta en que v=0.6 rad/s
  
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math>
+
--[[Usuario:Uziel Sanchez Gutierrez|Uziel Sanchez Gutierrez]] ([[Usuario discusión:Uziel Sanchez Gutierrez|discusión]]) 17:38 30 mar 2015 (CDT) Hecho por Uziel Sanchez Gutierrez
 
  
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)
+
----
 +
==Problema 2.19==
 +
'''2.19 ¿La siguiente función en la que''' $A$ '''es una constante,''' $\psi(y,t)=(y-vt)A$
 +
'''representa una onda? Explique su raznamiento.'''
  
El problema yo lo realice de la siguiente manera:
+
$\;$
 
 
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''
 
'''$y=h(t)$, entonces:'''
 
  
 +
Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las
 +
condiciones de una ecuación de onda, donde
 
\[
 
\[
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
+
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0
 
\]
 
\]
  
  
'''Derive la ecuación (2.34)'''
+
y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo,
 
 
Sabemos que la ecuación (2.34) es:
 
 
 
 
\[
 
\[
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}
+
\psi(y,0)=Ay,
 
\]
 
\]
 +
por lo que no puede representar un perfil de onda.
  
 +
[[Usuario:Luis Miguel Sánchez Mtz.|Luis Miguel Sánchez Mtz.]] ([[Usuario discusión:Luis Miguel Sánchez Mtz.|discusión]]) 06:50 22 mar 2014 (UTC)
  
Ya que sabemos que
+
----
 +
 
 +
==Problema 2.20==
 +
''' Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$ '''
  
\[
+
La ecuación (2.33) nos dice que:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
 
\]
 
  
 +
<math>
 +
\left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33)
 +
</math>
  
Luego:
+
pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como:
  
\[
+
<math>
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}
+
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v
\]
+
</math>
  
 +
y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas):
  
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es
+
<math>
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve
+
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32)
 +
</math>
  
\[
+
Calculando ahora las derivadas:
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}
 
\]
 
  
 +
<math>
 +
-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\}
 +
= 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\
 +
\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]
 +
</math>
  
\[
+
Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32):
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}
 
\]
 
  
 +
<math>
 +
\left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t}
 +
= \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}
 +
= - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}}
 +
</math>
  
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,
+
Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado):
asi:
+
 
 +
<math>
 +
v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c
 +
</math>
  
\[
+
donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}
 
\]
 
  
 +
[[Usuario:Ivan de Jesús Pompa García|Ivan de Jesús Pompa García]] ([[Usuario discusión:Ivan de Jesús Pompa García|discusión]]) 00:50 27 mar 2015 (CDT)
 +
----
  
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:
+
==Problema 2.21==
  
\[
+
'''2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí <math>Z=f_{(x,y)}</math>,<math>x=g_{(t)}</math>
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}
+
y <math>y=h_{(t)}</math>
\]
+
Entonces:
  
 +
<math>\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}</math>
 +
  
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:29 (CDT)
+
Derivar la ecuacion: (2.34)'''
  
----
+
<math>\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35</math>
==Problema 2.22==
+
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''
 
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''
 
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''
 
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''
 
'''de dicha onda.'''
 
  
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos
+
En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.
lo siguiente:
 
  
\[
+
<math>\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi</math>
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))
+
\]
 
  
 +
Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”
  
\[
+
<math>\Psi_{(y,t)}=\psi</math>
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))
+
\]
 
  
 +
Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)
  
\[
+
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}</math>
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))
+
\]
 
  
 +
De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo:
  
Luego:
+
<math>\frac{\delta\psi}{\delta t}=0</math>
 +
  
\[
+
Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v
+
 
\]
+
<math>0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}</math>
 +
 +
 
 +
Despejando: <math>\frac{\delta y}{\delta t}=v</math>
 +
 +
 
 +
<math>v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}</math>
 +
  
 +
La cual es la ecuacion 2.34. --[[Usuario:Andrés Arturo Cerón Téllez|Andrés Arturo Cerón Téllez]] ([[Usuario discusión:Andrés Arturo Cerón Téllez|discusión]]) 23:48 5 jul 2013 (CDT)
  
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que
+
El problema yo lo realice de la siguiente manera:
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.
 
  
Del problema (2.21) tenemos que por definición:
+
'''2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$,'''
 +
'''$y=h(t)$, entonces:'''
  
 
\[
 
\[
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}
+
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
 
\]
 
\]
  
  
\[
+
'''Derive la ecuación (2.34)'''
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}
 
\]
 
  
 +
Sabemos que la ecuación (2.34) es:
  
 
\[
 
\[
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}
+
\pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}
 
\]
 
\]
  
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)
+
 
 +
Ya que sabemos que
 +
 
 +
\[
 +
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}
 +
\]
  
  
----
+
Luego:
==Problema 2.23==
 
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize
 
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando
 
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''
 
  
Se utliza la siguuente definición de velocidad:
 
 
\[
 
\[
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)
+
\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi}
 
\]
 
\]
  
  
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:
+
Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es
 +
constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve
  
 
\[
 
\[
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}
+
\text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}
 
\]
 
\]
  
  
 
\[
 
\[
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}
+
\frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}
 
\]
 
\]
  
  
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:
+
Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$,
 +
asi:
  
 
\[
 
\[
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}
+
\frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}
 
\]
 
\]
  
  
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$
+
Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:
 +
 
 +
\[
 +
\pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}}
 +
\]
  
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)
 
----
 
==Problema 2.24==
 
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.'''
 
  
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo:  
+
--[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:29 (CDT)
\begin{equation}
 
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);
 
\end{equation}
 
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.
 
  
A continuación escribimos las condiciones iniciales:
+
----
 +
==Problema 2.22==
 +
'''2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que'''
 +
'''para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos'''
 +
'''calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$.'''
 +
'''Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad'''
 +
'''de dicha onda.'''
  
\begin{equation}
+
Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866      ....(I)
+
lo siguiente:
\end{equation}
 
  
\begin{equation}
+
\[
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2}    ....(II)
+
\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))
\end{equation}
+
\]
  
\begin{equation}
 
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0    ....(III)
 
\end{equation}
 
  
 +
\[
 +
\frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt))
 +
\]
  
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil  que se nos pide.
 
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.
 
 
 
\begin{equation}
 
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]
 
\end{equation}
 
  
Simplificamos
+
\[
 +
\frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt))
 +
\]
  
\begin{equation}
 
=Acos(\varepsilon)=0
 
\end{equation}
 
  
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor
+
Luego:
\begin{equation}
 
\varepsilon=\frac{\pi}{2}
 
\end{equation}
 
  
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:
+
\[
 +
-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v
 +
\]
  
\begin{equation}
 
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}
 
\end{equation}
 
  
Así
+
Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que
\begin{equation}
+
si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1
 
\end{equation}
 
  
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:
+
Del problema (2.21) tenemos que por definición:
  
\begin{equation}
+
\[
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)
+
\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}
\end{equation}
+
\]
  
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)
 
  
----
+
\[
==Problema 2.26==
+
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}
 +
\]
  
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''
 
'''viajeras:'''
 
  
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$
+
\[
 +
\frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}}
 +
\]
  
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$
+
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:36 (CDT)
  
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$
 
  
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$
+
----
 +
==Problema 2.23==
 +
'''2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize
 +
el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$''' '''para calcular su velocidad, comprobando
 +
luego su respuesta con la ecuación (2.3).'''
  
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:
+
Se utliza la siguuente definición de velocidad:
 +
\[
 +
\pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right)
 +
\]
  
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$
 
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las
 
características de una.
 
  
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,
+
Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.
 
  
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento
+
\[
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,
+
\psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}}
hacia la izquierda.
+
\]
  
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$
 
no cumple con la definición de onda viajera.
 
  
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:37 (CDT)
+
\[
----
+
\psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}}
==Problema 2.29==
+
\]
  
'''A Gaussian wave has the form $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$. Use the fact that $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$ to determine its speed and then verify your answer using Eq. $(2.34)$, $-\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t}=\pm \upsilon$ '''.
 
  
Como $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$, entonces...
+
Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:
  
\[ \psi(x,t) = A\,\exp[-a(b\,x + c\,t)^2]=A\,\exp\left[-a\,b^2(\,x + \frac{c}{b}\,t)^2\right]=f(x \mp \upsilon\,t) \]
+
\[
 +
v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b}
 +
\]
  
\begin{equation}\label{1} \Longrightarrow \quad \upsilon=\frac{c}{b} \end{equation}
 
  
Cuando $f(x - \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ positiva, y cuando $f(x + \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ negativa. Así, la onda $\psi(x,t)$ se mueve en la dirección $x$ negativa.
+
Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$
  
Si usamos la ecuación $(2.34)$, también obtenemos velocidad de fase, $\upsilon$, de la onda $\psi(x,t)$.
+
[[Usuario:Ana Alarid|Ana Alarid]] ([[Usuario discusión:Ana Alarid|discusión]]) 18:43 27 mar 2014 (UTC)
 +
----
 +
==Problema 2.24==
 +
'''2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.'''
  
\[
+
Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo:
-\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t} =  
+
\begin{equation}
-\frac{-2\,a\,c\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}}{-2\,a\,b\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}}
+
\psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon);
\]
+
\end{equation}
\begin{equation}\label{2} \Longrightarrow \quad \upsilon=-\frac{c}{b} \end{equation}
+
donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.
  
Diferente a como se hizo en la primera parte, cuando se usa la ecuación $(2.27)$,la onda se mueve en la dirección en que $x$ aumenta si el signo de $\upsilon$ es $+$, y la onda se mueve en la dirección en que $x$ disminuye si el signo de $\upsilon$ es $-$.
+
A continuación escribimos las condiciones iniciales:
Es decir, las velocidades de fase $\upsilon$ de las ec. $(1)$ y $(2)$ llevan la misma dirección y por lo tanto son iguales en el sentido físico y matemático.
 
  
[[Archivo:Onda 2.29 Hecht.gif|thumb|right|400px|Animación mostrando el avance de la función $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$ hacia la dirección de $x$ negativa. Los parámetros son $A=4$, $a=1$, $b=2$, $c=2.5$. Se observa que como $\upsilon=-\frac{5}{4}$ es negativo, entonces la onda se mueve a la izquierda.]]
+
\begin{equation}
 +
\psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866      ....(I)
 +
\end{equation}
  
 +
\begin{equation}
 +
\psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2}    ....(II)
 +
\end{equation}
  
 +
\begin{equation}
 +
\psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0    ....(III)
 +
\end{equation}
  
  
 +
Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil  que se nos pide.
 +
Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.
 +
 
 +
\begin{equation}
 +
A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)]
 +
\end{equation}
  
 +
Simplificamos
  
 +
\begin{equation}
 +
=Acos(\varepsilon)=0
 +
\end{equation}
  
 +
Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor
 +
\begin{equation}
 +
\varepsilon=\frac{\pi}{2}
 +
\end{equation}
  
 +
Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:
  
 +
\begin{equation}
 +
Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2}
 +
\end{equation}
  
 +
Así
 +
\begin{equation}
 +
A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1
 +
\end{equation}
  
 +
Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:
  
 +
\begin{equation}
 +
\psi(z,0)=sen(kz+\pi/2)
 +
\end{equation}
  
 +
[[Usuario:Angel Nahir Molina Guadarrama|Angel Nahir Molina Guadarrama]] ([[Usuario discusión:Angel Nahir Molina Guadarrama|discusión]]) 01:37 23 mar 2014 (UTC)
  
 +
----
 +
==Problema 2.26==
  
 +
'''2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas'''
 +
'''viajeras:'''
  
 +
(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$
  
 +
(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$
  
 +
(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$
  
 +
(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$
  
 +
Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:
  
 +
$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$
 +
es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las
 +
características de una.
  
 +
Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera,
 +
ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.
  
 +
Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento
 +
es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente,
 +
hacia la izquierda.
  
 +
Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$
 +
no cumple con la definición de onda viajera.
  
 +
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:37 (CDT)
 +
----
 +
==Problema 2.29==
  
 +
'''A Gaussian wave has the form $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$. Use the fact that $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$ to determine its speed and then verify your answer using Eq. $(2.34)$, $-\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t}=\pm \upsilon$ '''.
  
 +
Como $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$, entonces...
  
 +
\[ \psi(x,t) = A\,\exp[-a(b\,x + c\,t)^2]=A\,\exp\left[-a\,b^2(\,x + \frac{c}{b}\,t)^2\right]=f(x \mp \upsilon\,t) \]
  
Problema hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 04:59 30 mar 2015 (CDT).
+
\begin{equation}\label{1} \Longrightarrow \quad \upsilon=\frac{c}{b} \end{equation}
  
==Problmea 2.30==
+
Cuando $f(x - \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ positiva, y cuando $f(x + \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ negativa. Así, la onda $\psi(x,t)$ se mueve en la dirección $x$ negativa.
'''make up a table with columns headed by values of kx  runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath  that  the values of cos kx+pi  Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''
 
  
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde
+
Si usamos la ecuación $(2.34)$, también obtenemos velocidad de fase, $\upsilon$, de la onda $\psi(x,t)$.
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.
 
  
Solución:
+
\[
 +
-\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t} =
 +
-\frac{-2\,a\,c\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}}{-2\,a\,b\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}}
 +
\]
 +
\begin{equation}\label{2} \Longrightarrow \quad \upsilon=-\frac{c}{b} \end{equation}
  
 +
Diferente a como se hizo en la primera parte, cuando se usa la ecuación $(2.27)$,la onda se mueve en la dirección en que $x$ aumenta si el signo de $\upsilon$ es $+$, y la onda se mueve en la dirección en que $x$ disminuye si el signo de $\upsilon$ es $-$.
 +
Es decir, las velocidades de fase $\upsilon$ de las ec. $(1)$ y $(2)$ llevan la misma dirección y por lo tanto son iguales en el sentido físico y matemático.
  
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]
+
[[Archivo:Onda 2.29 Hecht.gif|thumb|right|400px|Animación mostrando el avance de la función $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$ hacia la dirección de $x$ negativa. Los parámetros son $A=4$, $a=1$, $b=2$, $c=2.5$. Se observa que como $\upsilon=-\frac{5}{4}$ es negativo, entonces la onda se mueve a la izquierda.]]
  
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]
 
  
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)
 
  
----
 
==Problmea 2.31==
 
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''
 
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''
 
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''
 
  
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir:
 
  
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por
 
definición.
 
  
Luego:
 
  
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$
 
  
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:
 
  
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$
 
  
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$
 
  
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$
 
  
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$
 
  
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$
 
  
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$
 
  
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$
 
  
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$
 
  
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$
 
  
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:38 (CDT)
 
----
 
==Problema 2.32==
 
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''
 
  
Solución:
 
  
Sea z perteneciente a los complejos
 
  
  
$z=a+ib$
 
  
  
y su conjugado
 
  
  
$z^{\star}=a-ib$
 
  
  
entonces:
 
  
 +
Problema hecho por [[Usuario:Adolfo Calderón Alcaraz|Adolfo Calderón Alcaraz]] ([[Usuario discusión:Adolfo Calderón Alcaraz|discusión]]) 04:59 30 mar 2015 (CDT).
  
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$
+
==Problmea 2.30==
 +
'''make up a table with columns headed by values of kx  runing from <math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> in intervals of x of <math>\frac{\lambda}{4}</math>. In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath  that  the values of cos kx+pi  Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi '''
  
 +
Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde
 +
<math>x=\frac{\lambda}{2}</math> to <math>x=\lambda</math> en intervalos de x de <math>\frac{\lambda}{4}</math>. En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.
  
 +
Solución:
  
$z-z^{\star}=2ib$
 
  
Dividimos entre $2i$
+
[[Archivo:tabla30.jpg|500px|thumb|center|]]
  
 +
[[Archivo:Graf30.jpg|400px|thumb|center|]]
  
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$
+
Problema resuelto por --[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 20:08 27 mar 2015 (CDT)
  
 +
----
 +
==Problmea 2.31==
 +
'''2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la'''
 +
'''magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular'''
 +
'''el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$'''
  
 +
Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir:
  
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$
+
$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por
 +
definición.
  
 +
Luego:
  
que es la parte imaginaria del número complejo z.
+
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$
  
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)
+
Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)
 
  
----
+
$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$
==Problema 2.34==
 
2.34
 
  
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''
+
$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$
  
Solución:
+
$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$
  
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$
+
$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.
 
  
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.
+
Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$
  
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.
+
$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$
  
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$
+
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$
  
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.
+
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$
  
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)
+
$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$
  
 +
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:38 (CDT)
 
----
 
----
==Problema 2.35==
+
==Problema 2.32==
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''
+
''' 2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.'''
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''
 
'''dividida por el momento de la partícula.'''
 
  
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''
+
Solución:
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''
 
  
Tenemos que:
+
Sea z perteneciente a los complejos
  
\[
 
\lambda=\frac{h}{p}
 
\]
 
  
 +
$z=a+ib$
  
Para la piedra tenemos entonces que:
 
  
\[
+
y su conjugado
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m
 
\]
 
  
  
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en
+
$z^{\star}=a-ib$
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,
 
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra
 
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la
 
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.
 
  
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:40 (CDT)
 
  
----
+
entonces:
==Problema 2.36==
 
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''
 
'''Solución''' :
 
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]
 
  
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:
 
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math>
 
Dado lo anterior podemos encontrar  el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>.
 
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:
 
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math>
 
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha.
 
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:
 
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math>
 
  
b)Calculando la velocidad de onda:
+
$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math>
 
  
c) Calculando la frecuencia y el periodo:
 
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math>
 
  
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math>
 
 
 
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)
 
----
 
  
[[categoría:Vibra]]
+
$z-z^{\star}=2ib$
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)
 
  
 +
Dividimos entre $2i$
  
----
 
==Problema Adicional==
 
  
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''
+
$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$
  
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)
 
</math>
 
  
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''
 
  
Solución:
+
$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$
  
Usando la ecuación
 
  
 +
que es la parte imaginaria del número complejo z.
  
\[
+
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:43 18 mar 2014 (CDT)
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)
+
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]] ([[Usuario discusión:Cesar Ivan Avila Vasquez|discusión]]) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)
\]
 
  
\[
+
----
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)
+
==Problema 2.34==
\]
+
2.34
  
La amplitud:
+
'''Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.'''
  
<math>A=0.3m</math>
+
Solución:
  
Longitud de onda
+
De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$
 +
es el Laplaciano para ambas ecuaciones.
  
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math>
+
Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.
  
<math>\lambda=4m</math>
+
Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.
  
Número de onda
+
$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$
  
<math>2k=0.5</math>
+
Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.
  
entonces
+
[[Usuario:Edgar Ortega Roano|Edgar Ortega Roano]] ([[Usuario discusión:Edgar Ortega Roano|discusión]]) 17:52 18 mar 2014 (CDT)
  
<math>k=\frac{0.5}{2}</math>
+
----
<math>k=0.25m^-1</math>
+
==Problema 2.35==
 +
'''2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada'''
 +
'''a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$),'''
 +
'''dividida por el momento de la partícula.'''
  
La velocidad de onda
+
'''Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una'''
<math>v=(2) (50)</math>
+
'''velocidad de 1 m/s con la de la luz.'''
<math>v=100 m/s</math>
 
  
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.
+
Tenemos que:
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)
 
  
 +
\[
 +
\lambda=\frac{h}{p}
 +
\]
  
----
 
==Problema 2.1 ==
 
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''
 
  
Solución:
+
Para la piedra tenemos entonces que:
  
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;
+
\[
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math>
+
\lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.
+
\]
La distancia $d$ recorrida por la onda es:
 
<math>d=k*\lambda</math>
 
  
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.
 
  
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:
+
Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en
 +
un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces,
 +
comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra
 +
es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la
 +
luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.
  
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math>
+
[[Usuario:Cesar Ivan Avila Vasquez|Cesar Ivan Avila Vasquez]]  23 Marzo 2014 21:40 (CDT)
  
despues convierto el espesor del papel en metros:
+
----
 +
==Problema 2.36==
 +
''' Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo.'''
 +
'''Solución''' :
 +
[[Archivo:Figure P.2.36.png|350px]]
  
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math>
+
a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es:
 +
<math>\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)</math>
 +
Dado lo anterior podemos encontrar  el número de onda K y la frecuencia <math>\omega</math>, donde <math>\epsilon</math> a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto <math>\epsilon =0 </math>.  
 +
De las expresiones para el numero de onda <math>K = \frac{2 \pi}{ \lambda}</math> y <math>\omega= \frac{2 \pi}{\tau}</math>, en donde <math>\tau</math> y <math>\lambda</math> son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como:
 +
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})</math>
 +
El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha.
 +
Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de <math>1.33x10^{-15}s</math>, dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es:
 +
<math>\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})</math>
  
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:
+
b)Calculando la velocidad de onda:
 +
<math>v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}</math>
  
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math>
+
c) Calculando la frecuencia y el periodo:
 +
<math>\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz</math>
  
despejando y sustituyendo tenemos:
+
<math>\tau= 1.33x 10^{-15} s</math>
 +
 
 +
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:16 22 mar 2015 (CDT)
 +
----
  
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math>
+
[[categoría:Vibra]]
 +
--[[Usuario:Pablo|Pablo]] ([[Usuario discusión:Pablo|discusión]]) 22:23 21 mar 2015 (CDT)
  
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$
 
  
 +
----
 +
==Problema Adicional==
  
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:
+
'''La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:'''
  
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math>
+
<math>\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right)
 +
</math>
  
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:
+
'''Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda. '''
  
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math>
+
Solución:
  
 +
Usando la ecuación
  
  
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)
+
\[
----
+
\psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right)
----
+
\]
== Problema 2.42  ==
 
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''
 
  
Solución:
+
\[
 +
\psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right)
 +
\]
  
 +
La amplitud:
  
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:
+
<math>A=0.3m</math>
  
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math>
+
Longitud de onda
  
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:
+
<math>0.5=\frac{2}{\lambda}</math>
  
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math>
+
<math>\lambda=4m</math>
  
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:
+
Número de onda
  
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:
+
<math>2k=0.5</math>
  
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math>
+
entonces
  
 +
<math>k=\frac{0.5}{2}</math>
 +
<math>k=0.25m^-1</math>
  
 +
La velocidad de onda
 +
<math>v=(2) (50)</math>
 +
<math>v=100 m/s</math>
  
 +
Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2.
 +
Resuelto por:--[[Usuario:Luis Velázquez|Luis Velázquez]] ([[Usuario discusión:Luis Velázquez|discusión]]) 10:56 26 mar 2015 (CDT)
  
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)
 
  
 
----
 
----
 +
==Problema 2.1 ==
 +
'''¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?'''
  
----
+
Solución:
  
== Problema adicional 2==
+
La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por;
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''
+
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}</math>
 +
Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda.
 +
La distancia $d$ recorrida por la onda es:
 +
<math>d=k*\lambda</math>
  
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''
+
Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.
  
 +
ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros:
  
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''
+
<math>\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m</math>
  
 +
despues convierto el espesor del papel en metros:
  
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''
+
<math>0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m</math>
  
 +
calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:
  
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$
+
:<math>d=k*\lambda_{amarillo}</math>
  
 +
despejando y sustituyendo tenemos:
  
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi;  f = 6\pi rad/s;  f= 3 Hz $ 
+
:<math>k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas</math>
  
El periodo  $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$
+
<math>\therefore</math> $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$
  
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $
 
  
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s.
+
para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$
 
  
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$
+
:<math>\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m</math>
  
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$
+
Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:
  
 +
:<math>\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m</math>
  
c) $\vartriangle x= 0.3 m$
 
  
  
$\delta_{1} = 6 \pi t  + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$
+
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 08:09 27 mar 2015 (CDT)
 +
----
 +
----
 +
== Problema 2.42  ==
 +
'''Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$. '''
  
$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$
+
Solución:
  
  
$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$
+
para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es:
  
Física General  10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.
+
<math>\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} </math>
  
 +
ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por:
  
--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González
+
<math>\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}</math>
 +
 
 +
la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por:
 +
 
 +
<math>\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)</math>:
 +
 
 +
<math>\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]</math>
  
  
  
==Problema 2.37==
 
  
Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>.
+
--[[Usuario:Luis Martínez|Luis Martínez]] ([[Usuario discusión:Luis Martínez|discusión]]) 17:05 27 mar 2015 (CDT)
  
 +
----
  
Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.
+
----
  
 +
== Problema adicional 2==
 +
'''Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:'''
  
De esta forma, lo podemos escribir como
+
'''a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.'''
  
  
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y
+
'''b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s '''
  
  
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math>
+
'''c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m'''
  
  
al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como
+
a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$
  
  
<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math>
+
Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi;  f = 6\pi rad/s;  f= 3 Hz $ 
  
 +
El periodo  $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$
  
o tambien
+
Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $
  
 +
b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s.
 +
$$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$
  
<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math>          donde  <math>a=cte</math>
+
Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$
 +
 
 +
Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$
 +
 
 +
 
 +
c) $\vartriangle x= 0.3 m$
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$\delta_{1} = 6 \pi t  + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$
 +
 
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$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$
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$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$
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Física General  10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.
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--[[Usuario:Esther Sarai|Esther Sarai]] ([[Usuario discusión:Esther Sarai|discusión]]) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González
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==Problema 2.37==
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Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud <math>A</math> y frecuencia <math>\omega</math> que se propaga en direccion positiva de <math>x</math>.
 +
 
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Primero se escribe un vector de posicion <math>\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z</math> que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto <math>(x,y,x)</math>.
 +
 
 +
 
 +
De esta forma, lo podemos escribir como
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 +
 
 +
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z</math> y
 +
 
 +
 
 +
<math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0</math> donde obligamos al vector <math>(\textbf{r}-\textbf{r}_{0})</math> a barrer un plano perpendicalar a <math>\hat{\mathbf{e}}_x</math>
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al ir adquiriendo su punto exremo <math>(x,y,z)</math> com <math>i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z</math> que se puede escribir tambien como
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<math>i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0</math>
 +
 
 +
 
 +
o tambien
 +
 
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<math>i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a</math>          donde  <math>a=cte</math>
  
  
Línea 1752: Línea 1834:
  
  
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math>
+
Tomemos la funcion <math>\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math>
 +
 
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 +
<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math>
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o  <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math>
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y la funcion armonica se puede escribir como
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<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math>
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Para que esta funcion sea cierta se debe tener que
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<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math>
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Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math>
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despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math>
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Se tiene entonces que
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<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math>
 +
 
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Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math>
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<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que
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<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math>
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Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.
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Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht
 +
 
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<math>\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}</math>
 
  
 +
==Problemas adicionales.- Movimiento ondulatorio==
  
o  <math>\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}</math>
+
'''Problema 1..-'''
 +
Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud de onda de la perturbacion. Si en el instante inicial la elongacion de un punto situado a 3 m del foco es $y = -2 mm$, determina la elongacion de un punto situado a 2,75 m del foco en el mismo instante.
  
 +
Periodo: $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{250}=4\times 10^{-3}$s
  
y la funcion armonica se puede escribir como
+
Frecuencia angular: $w=2\pi f= 500\pi$  $rad/s$
  
 +
Longitud de onda: $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{250}{250}=1m$
  
<math>\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}</math>
+
numero de onda: $k=\frac{2\pi}{\lambda}=2\pi$ $m^{-1}$
  
 +
En este caso y como los datos de vibracion no son los del foco, debe introducirse una fase inicial $\phi_0$ que se determina con las condiciones de vibracion del punto x = 3 m.
  
Para que esta funcion sea cierta se debe tener que
+
$y = A Cos(wt-kx+ \phi_0 ) =2 \times 10^{-3}
 +
Cos(500\pi t-2 \pi x+\phi_0)$
  
 +
Operando:
  
<math>e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}</math>
+
$y=2\times 10^{-3}Cos[2\pi(250t-x) + \phi_0]$
  
 +
Sustituyendo los datos de vibracion del punto considerado, resulta que:
  
Por consiguiente <math>\lambda i = 2\pi</math>
+
$y(x=3, t=0)=y=2\times 10^{-3}Cos[2π(250(0)-3) + ϕ0]=2\times 10^{-3}m \rightarrow Cos(-6\pi +\phi_0)=-1$
  
 +
Por lo que la fase inicial es: $\phi_0= \pi$ rad
  
despejando <math>i</math> se tiene <math>i= \frac{2\pi}{\lambda}</math>
+
La ecuacion general de la onda es:
  
 +
$y=2\times 10^{-3}Cos[2\pi(250t-x)+\pi]$
  
Se tiene entonces que
+
La elongacion del punto x = 2,75 m en el instante pedido es:
  
 +
$y(x=2.75, t=0)=y=2\times 10^{-3}Cos[2π(250(0)-2.75)+\pi]=Cos(6.5\pi)=0m$
  
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}</math>
+
'''Problema 2.-''' Un oscilador vibra con una frecuencia de 500 Hz y genera ondas que
 +
se propagan con una velocidad de 350 m/s.
  
 +
1. La separacion de dos puntos consecutivos que vibren con una diferencia
 +
de fase de 60
  
Para que esta funcion este orientada sobre el eje <math>x</math> solo se toma la coordenada <math>x</math> del vector <math>\vec{r}</math>
+
2. El intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados de vibracion
 +
consecutivos de un punto con una diferencia de fase de 180
 +
.
  
 +
3. Diferencia de fase en un instante cualquiera entre dos puntos separados
 +
por una distancia de 3,15 m.
  
<math>\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math> asi que
+
1.-Para hallar la separacion de los funtos con un $\phi$=60 lo cual
 +
es equivalente a $\frac{\pi}{3}$ rad
  
 +
sabiendo que $\lambda=\frac{\upsilon}{v}$=$\frac{500Hz}{350m/s}$=.7m
  
<math>\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}</math>
+
Por una regla de proporcionalidad a 2$\pi$le corresponden $\lambda=.7m,$por
 +
lo que la separacion de los puntos $\triangle x=\frac{\pi}{3}$$\lambda$$\frac{1}{2\pi}$=.117m
  
Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje <math>x</math>.
+
2.-Del mismo modo por una regla de proporcionalidad como T=$\frac{1}{\nu}$=$\frac{1}{500Hz}$=2$^{-3}$s
  
 +
$\triangle t=$$\frac{\pi T}{2\pi}$=$\frac{2(10^{-3})\pi s}{2\pi}$=10$^{-3}s$
  
Hector resendiz --[[Usuario:Héctor Reséndiz|Héctor Reséndiz]] ([[Usuario discusión:Héctor Reséndiz|discusión]]) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht
+
3.- Se busca un $\triangle\varphi\triangle\varphi=T\frac{\triangle x}{\lambda}$y
 
+
usando los valores del punto 1 se obtiene que $\triangle\varphi$=2$\pi\frac{.117m}{.7m}$=2.1
 
 
 
 
 
 
 
 
==problema adicional. movimiento ondulatorio==
 
 
 
 
 
un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.
 
 
 
 
 
cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas ? escribir la función de onda
 
  
 +
'''Problema 3..-'''
 +
Un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.
  
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde <math> v=(\lambda V)</math>
+
¿Cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas?. Escribir la función de onda
  
 +
V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde
  
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> ES LA LONGITUD DE ONDA
 
  
 +
<math>\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m </math> es la longitud de onda
  
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math>ES EL PERIODO
 
  
 +
<math>T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s</math> es el periodo
  
 
+
La expresión general para la función de onda es
 
 
La expresion general para la función de onda es :
 
  
 
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math>
 
<math>y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))</math>
Línea 1839: Línea 1978:
  
 
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez
 
--[[Usuario:Luisa Alejandra Vega Sanchez|Luisa Alejandra Vega Sanchez]] ([[Usuario discusión:Luisa Alejandra Vega Sanchez|discusión]]) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez
 
+
[[Usuario:Estefaniantin|Estefaniantin]]
 
 
  
 
==ejercicio 2.33  Hecht 4Th ed optics ==
 
==ejercicio 2.33  Hecht 4Th ed optics ==

Revisión actual - 20:31 16 nov 2020

'Texto en negrita'--Jose de jesus (discusión) 18:57 30 mar 2015 (CDT)vibraciones y ondas problemas capítulo 2 Óptica - Hecht

Problema 2.1

2.1¿Cuantas ondas de luz amarillas (\(\lambda=580nm\)) caben en una distancia en el espacio igual a un trozo de papel de (0.003 pulgadas)? ¿Hasta donde se extendera el mismo número de microondas \(\displaystyle{(\nu=10^{10}Hhz}\), es decir, \(\displaystyle{10GHz}\) y \(\displaystyle{v=3x10^8\frac{m}{s}})\)?

Para responder a la primera pregunta, basta con dividir el espesor del papel con el de la longuid de onda dada, es decir

\(ondas=\displaystyle{\frac{0.003 in}{580 mm}=\frac{0.003 in}{580 nm}\frac{25.4mm}{1 in}=\frac{0.0762 mm}{580 nm}=131 ondas}\)

Una microonda con frecuencia de \(\displaystyle{10 GHz}\) tiene una longuitud de onda de

\(\displaystyle{\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10⁸}{10 GHz}=0.03m}\)

Por lo tanto 131 ondas con dicha longuitud se extenderán

\(\displaystyle{extensión=(131)(0.03m)=3.93 m}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 20:28 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.2

2.2 La velocidad de la luz en el vacio es aproximadamente de $3x10^{8}\frac{m}{s}$.Calcule la longitud de onda de la luz roja con una frecuencia de $5x10^{14}Hz$.Compárela con la longitud de onda de una onda electromagnética de$60Hz.$


Utilizamos la ecuación $\lambda=\frac{c}{\nu}$,donde $c$ es la velocidad de la luz y $\nu$ la frecuencia de la onda. Tendremos entonces:

\[\lambda=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{5x10^{14}Hz}=6x10^{-7}m\]

o la ecuación:

\[\lambda=600nm\]

que es la longitud de onda de la luz roja a la frecuencia solicitada en el problema. Ahora calculamos la longitud de onda de la onda electromagnética:


\[\lambda_{1}=\frac{c}{\nu}=\frac{3x10^{8}\frac{m}{s}}{60Hz}=5x10^{6}m\].

Al comparar $\lambda$ con $\lambda_{1}$ notamos que la longitud de onda ${\lambda}_{1}$correspondiente a la onda electromagnética es mucho mayor que la de la luz roja.

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 02:15 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.2 (E.Hecht 5ta Edición)

Show that the function \begin{equation}\label{eq:1} \psi (y,t)=(y-4t)^{2} \end{equation}

is a solution of the differential wave equation. In what direction does it travel?

Para resolver este problema, debemos tener presente que le Ecuación de Onda es de la forma

\begin{equation}\label{eq:2} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}=\frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}} \end{equation}

Para comprobar, comenzamos realizando la primer derivada de la función (Ecuación \ref{eq:1}) respecto a $y$

\begin{equation} \frac{\partial{\psi}}{\partial{y}}=\frac{\partial}{\partial{y}}((y-4t)^{2})=2(y-4t)=2y-8t \end{equation}

Ahora derivamos el resultado anterior para así obtener la segunda derivada respeto a la variable $y$

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}=\frac{\partial}{\partial{y}}(\frac{\partial{\psi}}{\partial{y}})=\frac{\partial}{\partial{y}}(2y-8t)=2 \end{equation}

Realizamos el mismo procedimiento para llegar a la segunda derivada de la Ecuación \ref{eq:1} pero ahora respecto a la variable $t$

\begin{equation} \frac{\partial{\psi}}{\partial{t}}=\frac{\partial}{\partial{t}}((y-4t)^{2})=2(y-4t)(-4)=-8(y-4t)=32t-8y \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}}=\frac{\partial}{\partial{t}}(\frac{\partial{\psi}}{\partial{t}})=\frac{\partial}{\partial{t}}(32t-8y)=32 \end{equation}

Como se observa en la Ecuación \ref{eq:2} solo nos hace falta obtener la variable $v$, pero como vemos, esta se obtiene despejandola para finalmente llegar a la siguiente expresión

\begin{equation} v^{2}=\frac{\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t}^{2}}}{\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{y}^{2}}} \end{equation}

Sustituimos los datos de las segundas derivadas que habíamos encontrado y vemos que la $v^{2}=16$.

Realizando la sustitución de los datos, encontramos

\begin{equation} 2=\frac{1}{16}(32)=2 \end{equation}

que la función es solución de la ecuación de onda.

La onda viaja de izquierda a derecha ya que la función (Ec.\ref{eq:1}) tiene un signo menos.

Misa cabca (discusión) 10:24 27 oct 2020 (CDT)


Problema 2.3

Es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz $(5\times10^{-5}cm)$ pero con frecuencias mas bajas $(6\times10^{8}Hz)$. Calcule la velocidad correspondiente de dicha onda.

Pues bien teniendo los datos: $\lambda=5\times10^{-7}m$ y $f=6\times10^{8}Hz$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$


$v=f\cdot\lambda$


$v=(5\times10^{-7}m)(6\times10^{8}Hz)$


$v=300\frac{m}{s}$

Mario Moranchel (discusión) 06:29 18 mar 2014 (UTC)


Problema 2.4

Un joven en un barco sobre un lagoestá mirando las ondas que parecen una suceción infinita de crestas idénticas, produciendose con un intervalo de medio segundo cada una. Si cada perturbación tarda 1.5s en cubrir la extensión del barco de 4.5 ¿cuál es la frecuencia, el periodo y la longitud de

onda de las olas?

Los datos dados en el problema, son los siguientes:

t = 1.5s, l = 4.5m,

Del enunciado, se deduce que el periodo, es el siguiente: $\tau=$0.5s.

De donde se calcula la frecuencia utilizando la definición de frecuencia:

\[ \nu=\frac{1}{\tau} \]


Al sustituir, en la ecuuación, se obtiene el siguiente resultado:

\[ \nu=\frac{1}{0.5s}=2Hz \]


Para obtener la longitud de onda, se utliliza la siguiente relación:

\[ \tau=\frac{\lambda}{v}\rightarrow\lambda=v\tau \]


De donde la velocidad se obtiene a partir de la siguiente definición: $v=\frac{l}{t}=\frac{4.5m}{1.5s}=3m/s$

Entonces $\lambda=(3m/s)(0.5s)=1.5m$.

Ana Alarid (discusión) 01:46 12 mar 2014 (UTC)


Problema 2.5

Con un martillo vibrante se golpea el extremo de una barra de metal larga de manera que una onda de compresion periodica con una longitud de onda de 4.3m recorra todo lo largo de la barra con una velocidad de $v=3.5\frac{km}{s}$

¿Cual sera la frecuencia de la vibración?


Teniendo los datos: $\lambda=4.3m$ y $v=3500\frac{m}{s}$


De la ecuacion $v=f\cdot\lambda$ obtendremos la frecuencia.

$v=f\cdot\lambda$


$f=\frac{v}{\lambda}$


$f=\frac{4.3m}{3500\frac{m}{s}}$


$f=1.22\times10^{-3}Hz$

Mario Moranchel (discusión) 06:42 18 mar 2014 (UTC)


Problema 2.6

Durante la boda de dos buceadores, se sumerge un violín en la piscina. Dado que la velocidad de las ondas de compresión en agua pura es de 1.498 m/s. ¿Cual es la longitud de una nota la, de 440 Hz que se toca en dicho instrumento?

Conocemos la velocidad de la onda en el agua que es $\upsilon=1.498\frac{m}{s}$ y conocemos también la frecuencia de la nota que es $\upsilon=440Hz=440\frac{ciclos}{s}$

Ahora bien si queremos encontrar la longitud de la onda, recurrimos a la ecuación

\[ \upsilon=\nu\lambda \]


De donde conocemos todo excepto la longitud de onda, solo requiere de un sencillo despeje para encontrar $\lambda$

Haciendo el despeje la ecuación queda:

\[ \lambda=\frac{\upsilon}{\nu} \]


Sustituimos nuestros datos

\[ \lambda=\frac{1.498\frac{m}{s}}{440\frac{ciclos}{s}} \]


Y obtendremos que \[ \lambda=0.0034m \]


Usuario:Daniel Olvera Moreno ) 05:29 21 mar 2014 (UTC)


Problema 2.7

Un pulso de onda tarda $2.0 s$ en recorrer $10 m$ a lo largo de una cuerda, se genera una perturbación armónica con una longitud de onda de $0.5 m$ en la cuerda. ¿Cuál es su frecuencia?

De los datos proporcionados sabemos que si la perturbación armónica tiene una longitud de onda de $\lambda=0.5 m$ de manera que el pulso completa 20 "ciclos" en los $10 m$ recorridos.

De esta forma el periodo de la perturbación es\[ \tau= \frac{2 s}{20}= 0.1 s\]

Entonces la frecuencia es\[ f= \frac{1}{\tau}=\frac{1}{0.1 s}=10 Hz \]


Brenda Pérez Vidal (discusión) 18:16 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.8 (Hecht 5ta edición)

Compute the wavelength of ultrasound waves with a frequency of 500 MHz in air. The speed of sound in the air is 342 m/s.

Para este caso, la resolución del problema es fácil ya que solo aplicamos la Ecuación \ref{eq:last} y solamente aplicamos sustitución de datos.

\begin{equation}\label{eq:last} v=f * \lambda \end{equation}

Por lo tanto, despejando la $\lambda$ llegamos a la Ecuación \ref{eq:last1}.

\begin{equation}\label{eq:last1} \lambda= \frac{v}{f} \end{equation}

Sustituyendo los datos.

\begin{equation} \lambda= \frac{343}{500000000} \end{equation}

Por lo tanto llegamos a la solución de que la longitud de onda del ultrasonido es de: 0.000000686 m.

Misa cabca (discusión) 20:31 16 nov 2020 (CST)

Problema 2.8

2.8 Demuestre que para una onda periódica $\omega=(\frac{2\pi}{\lambda})v$

La mayoría de las ondas son el resultado de muchas perturbaciones sucesivas del medio. Cuando dichas perturbaciones se producen a intervalos regulares y todas son de la misma forma, estamos frente a una onda periódica.

Una onda periódica posee periodo (número de unidades de tiempo por onda) y frecuencia (número de ondas por unidad de tiempo), establecidas por:

$Periodo$ \begin{equation} \tau=\frac{\lambda}{v}.... (i) \end{equation} donde $\tau$ es el periodo de onda, $\lambda$ es la longitud de onda y $v$ se refiere a la velocidad con la que viaja la onda.

$Frecuencia$ \begin{equation} \nu=\frac{\omega}{2\pi}....(ii) \end{equation} donde $\nu$ es la frecuencia de la onda, $\omega$ es la frecuencia angular de la onda.

De $(ii)$ despejamos $\omega$

\begin{equation} \omega=\nu 2\pi ....(iii) \end{equation}

También sabemos que el inverso del periodo es la frecuencia $(\nu=\frac{1}{\tau})$

Utilizando la expresión $(iv)$ y sustituyendola en $(iii)$

\begin{equation} \nu=\frac{1}{\tau} ....(iv) \end{equation}

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\tau} \end{equation}

Sustituyendo $(i)$ en $\tau$

\begin{equation} \omega= \frac{2\pi}{\frac{\lambda}{v}} \end{equation}

Por lo tanto:

\begin{equation} \omega= (\frac{2\pi}{\lambda})(v) \end{equation}


Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 11:13 23 mar 2014 (UTC)


Problema 2.9

Hacer una tabla con las columnas encabezadas por los valores de $\theta$ corriendo de $-\frac{\pi}{2}$ a $2\pi$ en intervalos de $\frac{\pi}{4}$ , en cada fila el valor correspondiente de $\sin\theta$ , debajo de esos valores los de $\cos\theta$ , por debajo de los valores de $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ , y similarmente con las funciones $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ , $\sin\left(\theta-\frac{3\pi}{4}\right)$ , y $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$) . Trazar cada una de estas funciones, sin los efectos del desplazamiento de fase. La funcion $\sin\theta$ se atrasa o se adelantade la funcion $\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ . en otras palabras, Una de las funciones alcanza una magnitud particular, en un valor menor de $\theta$ que la otra y , por tanto, una conduce a la otra ( como $\cos\theta$ conduce $\sin\theta$ ) ?

Las funciones $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ y $\cos\theta$ son iguales y las otras funciones se desplazan a la izquierda de la función $\sin\theta$ cada $\frac{\pi}{4}$ a excepción de la función $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que de desplaza a la derecha
$ \theta $ $-\frac{\pi}{4}$ $-\frac{\pi}{4}$ $ 0 $ $ \frac{\pi}{4}$ $ \frac{\pi}{2}$ $ \frac{3\pi}{4}$ $ \pi $ $ \frac{5\pi}{4}$ $ \frac{3\pi}{2}$ $ \frac{7\pi}{4}$ $ 2\pi$
$ \sin(\theta) $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $
$ \cos(\theta) $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $
$ \sin(\theta-\frac{\pi}{4}) $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(\theta-\frac{\pi}{2}) $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $
$ \sin(\theta-\frac{3 \pi}{4}) $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(\theta+\frac{\pi}{2}) $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ -1 $ $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 0 $ $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ $ 1 $










Respuesta: $\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right)$ que es igual al $\cos(\theta)$ se desplaza a la izquierda del $\sin\theta$


--Rosario Maya (discusión) 20:37 29 mar 2015 (CDT)




Problema 2.9(Hecht 1ra edición)

Considere una onda luminosa teniendo una velocidad de fase de $3\times10^{8}\frac{m}{s}$ y una frecuencia de $6\times10^{14}Hz.$ Encontrar: la frecuencia angular, el valor del número de propagación $k$, la longitud de onda y comprobar que esta onda se encuentre dentro del espectro de luz visible. ¿Qué desplazamiento de fase ocurre en un punto dado a $10^{-6}s$, y cuántas ondas han pasado hasta ese momento?

SOLUCIÓN:

Consideramos la ecuación de la propagación de onda:

\[ \psi(x,t)=Asen(kx-\omega t+\varepsilon) \]


donde \varepsilon=0 dado que consideraremos que la fase inicial $\varepsilon$ es nula. Por lo que:

\[ \psi(x,t)=Asen(kx-\omega t)......(1) \]


Para obtener el valor del número de propagación consideramos que la velocidad de fase $V_{\phi}=\frac{\omega}{k}\Longrightarrow k=\frac{\omega}{V_{\phi}}$ y sabemos que $\omega=2\pi\upsilon$ donde $\upsilon$ es la conocida frecuencia por lo que substituyendo tendremos:

\[ \omega=2\pi(6\times10^{14})=12\times10^{14}\pi\frac{rad}{seg} \]


Y por lo tanto:

\[ k=\frac{\omega}{V_{\phi}}=\frac{12\times10^{14}\pi}{3\times10^{8}}=4\times10^{6}\pi \]


De aquí sabremos que la longitud de onda $\lambda$ dada por \lambda=\frac{2\pi}{k} será:

\[ \lambda=\frac{2\pi}{4\times10^{6}\pi}=500\times10^{-9}=500nm \]


y como en el espectro monocromático la luz visible va desde los 400nm hasta los 700nm, aproximadamente, se comprueba entonces que esta onda está dentro el rango del espectro visible de la luz.

Para calcular el desplazamiento de fase recurrimos la ec.(1) donde el tiempo es dado y donde ya conocemos la frecuencia:

\[ \psi(x,t)=Asen(kx-\omega t) \]


Y el desplazamiento de fase es $x=(V_{\phi})(t)=(3\times10^{8})(10^{-6})=3\times10^{2}$

Para calcular el número de ondas que han pasado en ese tiempo, simplemente calculamos para $\omega$; si sabemos cuanto pasa en un segundo sólo multiplicamos $\omega$ por $10^{-6}seg$, así:

\[ (12\times10^{14}\pi)(10^{-6})=12\times10^{8} \] que es el número de ondas que han pasado en ese intervalo de tiempo.


--A. Martín R. Rabelo (discusión) 01:34 30 mar 2015 (CDT)




Problema 2.10

Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de $kx$ correr desde $x=-\frac{\lambda}{2}$ a $x=+\lambda$ en intervalos de $x$ de $\frac{\lambda}{4}$ , por supuesto, $k=\frac{2\pi}{\lambda}$ . En cada columna colocar los correspondientes valores de $\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$ y para las funciones $15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$ y $25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$.

$ x $ $-\frac{\lambda}{2}$ $-\frac{\lambda}{4}$ $ 0 $ $\frac{\lambda}{4}$ $\frac{\lambda}{2}$ $\frac{3\lambda}{2} $ $ \lambda $
$ kx=2\pi\frac{\lambda}{2} $ $ -\pi $ $ -\frac{\pi}{2}$ $ 0 $ $ \frac{\pi}{2}$ $ \pi $ $ \frac{3\pi}{2}$ $ 2\pi$
$$\cos\left(kx-\frac{\pi}{2}\right)$$ $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$
$$\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ -\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $ \frac{\sqrt{2}}{2}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$$15\cos\left(kx-\frac{\pi}{4}\right)$$ $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 15\frac{\sqrt{2}}{2}$
$$25\cos\left(kx+\frac{3\pi}{4}\right)$$ $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25\frac{\sqrt{2}}{2}$ $ 25-\frac{\sqrt{2}}{2}$

Ejercicio Resuelto por Rosario Maya (discusión) 00:05 30 mar 2015 (CDT)


Problema 2.11

Make up a table with columns headed by values of $\omega \, t$ running from $t=-\tau /2$ to $t=+\tau$ in intervals of $t$ of $\tau/4$; of course $\omega=2\,\pi/\tau$. In each column place the corresponding values of $\sin(\omega\,t+\pi/4)$ and $\sin(\pi/4-\omega\,t)$ and plot these two functions.

Se realiza la tabla usando $\omega=2\,\pi/\tau$ en el argumento de cada función.

$t$ $-\frac{\tau}{2}$ $-\frac{\tau}{4}$ $0$ $\frac{\tau}{4}$ $\frac{\tau}{2}$ $\frac{3\tau}{4}$ $\tau$
$\omega \, t$ $-\pi$ $-\frac{\pi}{2}$ $0$ $\frac{\pi}{4}$ $\frac{\pi}{2}$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\sin(\omega\,t+\frac{\pi}{4})$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\sin(\frac{\pi}{4}-\omega\,t)$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$

La gráfica se realizó en Mathematica 10.0. El comando utilizado fue:

Plot[
{Sin[wt + Pi/4], Sin[Pi/4 - wt]}, {wt, -Pi, 2 Pi}, 
PlotStyle -> Thickness[.01], PlotLegends -> "Expressions", 
AxesStyle -> {Directive[Black, 12, Thick], Directive[Black, 12, Thick]}, 
Ticks -> {Table[-Pi + n Pi/2, {n, 0, 6}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}}, 
TicksStyle -> Directive["Label", 18, Black, Thick], 
GridLines -> {Table[-Pi + n Pi/4, {n, 0, 12}], {-1, -(Sqrt[2]/2), 0, Sqrt[2]/2, 1}}, 
GridLinesStyle -> Directive[Dashed, GrayLevel[.76], Thickness[.0025]], 
ImageSize -> Large
]
Gráfica acorde a los datos de la tabla mostrada arriba.



















Problema hecho por Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 01:58 30 mar 2015 (CDT)

Problema 2.12

2.12 El perfil de una onda armónica, que viaja con velocidad de 1.2 m/s en una cuerda,esta dado por

\(\displaystyle{y=\left(0.02m\right)\sin\left(157m^{-1}\right)x}\)

Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo

Se observa que la ecuación no muestra dependencia del tiempo, por lo obedece a la ecuación (2.12) del libro

\(\displaystyle{\psi(x)=A\sin(kx)}\)

de donde es inmediatos su amplitud A=0.02m y número de onda \(k=157m^{-1}\), por lo que su longuitud de onda esta dada por:

\(\displaystyle{\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{157m^{-1}}=0.04m}\)

su frecuencia esta dada ṕor la ecuación (2.19), entonces:

\(\displaystyle{\nu=\frac{v}{\lambda}=\frac{1.2\frac{m}{s}}{0.04m}=30Hhz}\)

Finalmente, su periodo esta dado por:

\(\displaystyle{\tau=\frac{1}{\nu}=\frac{1}{30}s}\)

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 17:56 26 mar 2014 (UTC)



Problema 2.12 Hetch / 3era Ed/2do método

2.12.-El perfil de velocidad de una onda armónica, que viaja a una velocidad de 1.2 m/s en una cuerda, esta dado por:

\[ y=\left(0.02\right)\sin\left(157/m\right)x \]

Calcule su amplitud, su longitud de onda, su frecuencia y su periodo.

Solución

Se tiene la ecuación de onda(2.13) que es:

\[\varPsi\left(x,t\right)=a\sin\kappa\left(x-vt\right) \]

donde \(A \) es la amplitud , y \(\kappa \) el numero de onda (constante).

Tomando en cuenta que el tiempo es independiente de la funcion de onda, y con t=0; se tiene:

\[\varPsi(x,0)=A\sin\left[x-v(0)\right]=A\sin\kappa x \]

a) Comparando la ecuacion del ejercicio, con la parte teórica, se sabe por inspección que la amplitud \( A=0.02m \) y \(\kappa=157m^{-1} \).

b) Se tiene la relación \(\kappa=\frac{2\pi}{lambda} \); despejando la longitud de onda \("\lambda" \) se tiene:

\[\lambda = \frac{2\pi}{\kappa} =\frac{2\pi}{157m^{-1}} = 0.0400 m \]

c) Para la frecuencia se tiene la relación \(v = \nu\lambda \); despejando la frecuencia \("\nu" \) se tiene:

\[\nu =\frac{v}{\lambda} = \frac{1.2m/s}{0.0400m} = 30 Hz \]

d) Para el período se tiene el recíproco de la frecuencia:

\[\tau = \frac{1}{\nu} = \frac{1}{30Hz} = 0.033 s \]

Elaborado por Ricardo García Hernández.--Ricardo Garcia Hernandez (discusión) 00:25 30 mar 2015 (CDT)

Problema 2.13

2.13 Usando las funciones de onda

\(\psi_{1}=4\sin2\pi\left(0.2x-3t\right) \)

\(\psi_{2}=\frac{\sin\left(7x+3.5t\right)}{2.5} \)

determine en cada caso los valores de

a)amplitud,

b)frecuencia,

c)velocidad de fase,

d)longitud de onda,

e)periodo,

f)dirección del movimiento.


El tiempo se expresa en segundos y x en metros.


Solución:

Partimos de la ecuación de onda: \[ \psi=Asin(kx \pm \omega t)...(1) \] En donde podemos factorizar $2 \pi$ del alrgumento y escribir:

\[ \psi=Asin2 \pi (\frac{k}{2 \pi} x \pm \frac{\omega}{2\pi}t) ...(2)\]

Definimos a:

\[ \frac{k}{2\pi}=\chi \] \[ \frac{\omega}{2\pi}=\nu \]

\[ \psi=Asin 2\pi(\chi x \pm \nu t)...(3) \] De esta ecuación podemos identificar la:

Amplitud: $A$

Frecuencia: $\nu$

Número de onda: $\chi$

Tambien sabemos que:

Velocidad de fase: $V= \pm \frac{\omega}{k}$

Longutud de onda: $\frac{V}{\nu}$


Con lo anterior, dada $ \psi_1 = 4 sin2\pi (0.2 x - 3t)$

a) Amplitud = 4 m

b) Frecuencia = 3 Hz

c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{\nu}{\chi}=\frac{3 Hz}{0.2 m^{-1}}=15 m/s$

d) Longitud de onda = $\frac{V}{\nu}= \frac{15}{3}=5 m$

e) Periodo = $\frac{1}{\nu}=0.333... s$

d) dirección del movimiento:

Hacia la derecha.



Para la función $ \psi_2 \frac{1}{2.5} sin(7x + 3.5t) $

a) Amplitud = $\frac{1}{2.5}=0.4 m$

b) Frecuencia = $\frac{\omega}{2\pi}=\frac{3.5}{2\pi}=0.55 Hz$

c) Velocidad de fase = $\frac{\omega}{k}=\frac{3.5}{7}=0.5 m/s$

d) Longitud de onda = $\frac{2\pi}{k}= \frac{2/pi}{7}=0.897 m$

e) Periodo = $\frac{2\pi}{\omega}=1.795 s$

d) dirección del movimiento:

Hacia la izquierda.


Resuelto por: --Luis Santos (discusión) 13:13 28 mar 2015 (CDT)

Problema 2.14

2.14 Demuestre que, \(\psi(x,t)=Asen(k(x-vt))\) es una solucion de la ecuacion diferencial de onda.

Demostración

De la solución propuesta se observa que se trata de la ecuación de direferncial de onda en una dimensión, luego, para ser soloción debe satisfacer la ecuación

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{1}{v²}\frac{\partial² \psi}{\partial t²}}\)

La segunda derivada parcial respecto de x esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial x²}=\frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(kA\cos(kx-kvt))=-k²A\sin(kx-kvt)}\)

La segunda derivada parcial respecto de t esta dada por

\(\displaystyle{\frac{\partial² \psi}{\partial t²}=\frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial \psi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}(-kvA\cos(kx-kvt))=-k²v²A\sin(kx-kvt)}\)

Al sustituilas en la ecuacion diferencial de onda se tiene

\(\displaystyle{-k^{2}A\sin(kx-kvt)=-\frac{1}{v^{2}}kv^{2}A\sin(kx-kvt)}\)

Como la última igualdad es cierta, entonces es solución de la ecuación diferencial de onda en una dimensión.

Pérez Córdoba Sabino (discusión) 21:17 17 mar 2014 (UTC)


Problema 2.15

2.15 Demuestre que si el desplazamiento de la cuerda de la figura 2.7 está dado por \(y(x,t)=A \sin[kx - \omega t + \varepsilon]\) entonces la mano que genera la onda se debe mover verticalmente con movimiento armónico simple.

Vemos que el movimiento de la cuerda en la figura $2.7$ corresponde al de una onda armónica que se desplaza a lo largo del eje $x$ durante un tiempo de un período, en este caso cualquier punto de la cuerda se desplaza sólo verticalmente, entonces podemos derivar la ecuación de movimiento como sigue:

\[ \frac{\partial}{\partial x} y(x,t)=k A \cos[kx - \omega t + \varepsilon] \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} y(x,t) = k^2 A \sin[kx - \omega t + \varepsilon] \]

Vemos que en la segunda derivada aparece la primer derivada, al sustituirla se llega a la siguiente expresión:

\[ \ddot{y}=-k^2 y(x,t) \rightarrow \ddot{y}+k^2y=0 \]

Se observa que corresponde a la ecuación de un movimiento armónico simple realizado verticalmente.

Brenda Pérez Vidal (discusión) 16:49 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.16

2.16 Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud \(10^{3}V/m\) , periodo \(2.2x10^{-15}s\) ,y velocidad \(3x10^{8}m/s\) .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de \(10^{3}V/m\) en t=0 y x=0.

R\[\tau=2.2x10^{-15}s\]


sabiendo que \(\nu=\frac{1}{\tau}\)


\(\nu=\frac{1}{2.2x10^{-15}s}=4.5x10^{14}Hz\)


obtenemos la longitud de onda con \(v=\nu\lambda\)


es decir \(\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{4.5x10^{14}Hz}\)


\(\lambda=6.6x10^{-7}m\)


obtenemos K de la formula \(k=\frac{2\pi}{\lambda}=9.5x10^{6}m^{-1}\)


Sabiendo que la expresion de la ecuacion de onda es

\(\psi(x,t)=A\cos\left[kx+\omega t\right]\)


sustituimos los datos antes encontrados para hallar la expresion que nos piden.

\(\psi(x,t)=\left(10^{3}\right)\cos\left[9.5x10^{6}\left(x+3x10^{8}t\right)\right]\)

- --Leticia González Zamora (discusión) 15:27 20 jun 2013 (CDT)


Problema 2.17

2.17 Considere el pulso descrito en términos de sus desplazamientos en $t=0$ por $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ donde $C$ es una constante. Dibuje el perfil de onda. Escriba una expresión para la onda que tiene una velocidad $v$ en la dirección negativa de $x$, como función del tiempo $t$. Si $v=1\frac{m}{s}$, dibuje el perfil en $t=2s$.


$\;$

De la expresión $y(x,t)|_{t=0}=\frac{C}{2+x^{2}}$ notamos que el máximo de la función se encuentra cuando $x=0$ y por tanto el máximo siempre estará en $y_{max}=\frac{C}{2}$.

Perfil11.png

De la expresión anterior debido a que esta al tiempo $t=0$ la velocidad de la onda no contribuía, ahora bien la expresión para una onda con cierta velocidad para ester perfil esta dada por \[ y(x,t)=\frac{C}{2+(x+vt)^{2}} \] el sigo se debe a que queremos ver la onda desplazada a la izquierda o dirección negativa del $eje\; x$.

La gráfica al tiempo $t=2s$ con una velocidad $v=1\frac{m}{s}$ se muestra a continuación.

Perfil123.png

Nuevamente se toman 3 valores distintos para $C$.


Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 05:46 26 mar 2014 (UTC)


Problema 2.18

2.18 Determine la magnitud de la función de onda $\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]$ en el punto $z=0$, cuanto $t=\frac{\tau}{2}$ y cuando $t=\frac{3\tau}{4}$.

Partimos de la ecuación de la onda

\[\psi(z,t)=Acos[k(z+vt)+\pi]\]

Evaluamos en $z=0$ y nos queda

\[\psi(0,t)=Acos[kvt+\pi]\]

sustituimos $kv=\omega$ y entonces tenemos

\[\psi(z,t)=Acos[\omega t+\pi]\]

pero como $-Acos[\omega t]=Acos[\omega t+\pi]$ tenemos que

\[\psi(z,t)=-Acos[\omega t]\]

Finalmente sustituimos para $t=\frac{\tau}{2}$ y luego para $t=\frac{3\tau}{4}$ y obtenemos los resultados siguientes para cada caso.


$\psi(0,\frac{\tau}{2})=-Acos[\omega\frac{\tau}{2}]=-Acos(\pi)^{-1}=A$


y para $\psi(0,\frac{3\tau}{4})=-Acos[\omega\frac{3\tau}{4}]=-Acos(\frac{3}{4}\pi)=0$

Pedro Pablo Ramírez Martínez (discusión) 01:48 28 mar 2014 (UTC)



Problema 2.18 Hecht, Second Edition

Given the traveling wave \(\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)\), determine its direction of propagation. Calculate a few values of \(\psi\) and make a sketch of the wave at t=0, taking \(a=25m^{-2}\) and \(b=9.0s^{-2}\). What is the speed of the wave? Traduccion Dada la ecuación de onda \(\psi\left(x,t\right)=5.0\exp\left(-ax^{2}-bt^{2}-2\sqrt{ab}xt\right)\), determina la direccion de propagación. Calcule algunos valores de \(\psi\) y haz un bosquejo de la onda en t=0 dado \(a=25m^{-2}\) y \(b=9.0s^{-2}\). ¿Cual es la velocidad de la onda?

Grafica para t=0
Grafica para t=1

De las graficas de la derecha y no siendo una onda ondas armonicos en forma de coseno o seno, se ve que el la onda se va desplazando hacia la izquierda cuando en este caso t va desde t=0s hasta t =1s Para la velocidad de onda se hace uso de la misma ecuacion diferencial de onda y se despeja de esta misma ecuacion la velocidad. Asi tenemos\[\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}\]\[v^{2}=\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}\]\[v=\sqrt{\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}}\]\[\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\left(-18\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18t-30x\right)^{2}\right)\]\[\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\left(-50\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)+\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-30t-50x\right)^{2}\right)\] Factorizando el exponencialen las dos segundas derivadas se tiene\[\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-18+\left(-18t-30x\right)^{2}\right)\]; \(\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}=5\exp\left(-9t^{2}-30tx-25x^{2}\right)\left(-50+\left(-30t-50x\right)^{2}\right)\) que al hacer la divicion se elimina y ahora ademas factorizando del termino restante \(3t+5x^{2}\)\[\frac{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}}{\frac{\partial^{2}\psi}{\partial x^{2}}}\]\[=\frac{-18(1-2\left(3t+5x\right)^{2})}{-10(5+\left(3t+5x\right)^{2})}\] que finalmente resulta en que v=0.6 rad/s

--Uziel Sanchez Gutierrez (discusión) 17:38 30 mar 2015 (CDT) Hecho por Uziel Sanchez Gutierrez


Problema 2.19

2.19 ¿La siguiente función en la que $A$ es una constante, $\psi(y,t)=(y-vt)A$ representa una onda? Explique su raznamiento.

$\;$

Como $\psi(y,t)=(y-vt)A$ es solo función de $(y-vt)$ cumple las condiciones de una ecuación de onda, donde \[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial y^{2}}=\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=0 \]


y así esta función es una solución a la ecuación de onda. Sin embargo, \[ \psi(y,0)=Ay, \] por lo que no puede representar un perfil de onda.

Luis Miguel Sánchez Mtz. (discusión) 06:50 22 mar 2014 (UTC)


Problema 2.20

Utilice la ecuación (2.33) para calcular la velocidad de la onda cuya representación en unidades SI es $\psi(y,t) = A \cos\left[\pi\left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right)\right]$

La ecuación (2.33) nos dice que\[ \left(\dfrac{\partial x}{\partial t}\right)_\varphi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.33) \]

pero nuestra representación está dada en términos de $\psi(y,t)$, por lo que podemos reescribir la ecuación como\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \pm \dfrac{\omega}{k} = \pm v \]

y también sabemos que la ecuación está dada en términos del siguiente cociente(ecuación 2.32 del texto con las variables adecuadas)\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} \hspace{20pt} \cdots \hspace{20pt} (2.32) \]

Calculando ahora las derivadas\[ -\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y = - \left\{ - 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \right\} = 9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \\ \left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t = - 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right] \]

Por lo que, sustituyendo en la ecuación (2.32)\[ \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = \dfrac{-\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\right)_y}{\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\right)_t} = \dfrac{9x10^{14} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]}{- 3x10^{6} A \pi \sin \left[ \pi \left(3x10^6 y + 9x10^{14} t\right) \right]} = - \dfrac{9x10^{14}}{3x10^{6}} \]

Y realizando la operación obtenemos la velocidad deseada(en unidades SI como lo indica el enunciado)\[ v = \left(\dfrac{\partial y}{\partial t}\right)_\psi = -3x10^8 m/s = -c \]

donde el signo negativo($-$) indica que la dirección de propagación es hacia la izquierda.

Ivan de Jesús Pompa García (discusión) 00:50 27 mar 2015 (CDT)


Problema 2.21

2.21 Comenzando por el siguiente teorema: sí \(Z=f_{(x,y)}\),\(x=g_{(t)}\) y \(y=h_{(t)}\) Entonces\[\frac{\delta Z}{\delta t}=\frac{\partial Z}{\partial x}\frac{\delta x}{\delta t}+\frac{\partial Z}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}\]


Derivar la ecuacion: (2.34)

\(\left.v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\right\} 2.35\)


En general tenemos que una funcion de onda cualquiera posee la forma.

\(\Psi_{(\bar{r},t)}=\psi\)


Sin perdida de generalidad consideramos el mivimiento sobre un eje de porpagacion “y”

\(\Psi_{(y,t)}=\psi\)


Entonces por regla de la cadena (el teorema propuesto.)

\(\frac{\delta\psi}{\delta t}=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{\delta t}{\delta t}\)


De aqui sabemos que para una perturbacion que no cambia con el tiempo\[\frac{\delta\psi}{\delta t}=0\]


Asimismo la diferencial del tiempo respecto al tiempo es uno, entonces, tras estas simplificaciones obtenemos.

\(0=\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\delta y}{\delta t}+\frac{\partial\psi}{\partial t}\)


Despejando\[\frac{\delta y}{\delta t}=v\]


\(v=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial y}}\)


La cual es la ecuacion 2.34. --Andrés Arturo Cerón Téllez (discusión) 23:48 5 jul 2013 (CDT)

El problema yo lo realice de la siguiente manera:

2.21. Empezando por el siguiente teorema: Si $z=f(x,y)$ y $x=g(t)$, $y=h(t)$, entonces:

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Derive la ecuación (2.34)

Sabemos que la ecuación (2.34) es:

\[ \pm v=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


Ya que sabemos que

\[ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} \]


Luego:

\[ \left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)_{\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{dy}{d\varphi} \]


Y ya que en nuestro caso $\left(\frac{d\psi}{d\varphi}\right)$ es constante en $\varphi$, entonces la ecuación se vuelve

\[ \text{-}\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{dx}{d\varphi}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}} \]


Pero ádemas, es posible reescribir a $\frac{dx}{d\varphi}=\frac{\partial x}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}$, asi:

\[ \frac{\partial x}{\partial t}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


Asi finalmente, la ecuación se puede reescribir como:

\[ \pm v=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{\varphi}=-\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{t}} \]


--Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:29 (CDT)


Problema 2.22

2.22. Utilizando los resultados del problema anterior, demuestre que para una onda armónica con una fase $\varphi(x,t)=k(x-vt)$ podemos calcular la velocidad estableciendo $\frac{d\varphi}{dt}=0$. Aplique la tecnica al problema 2.20 a fin de calcular la velocidad de dicha onda.

Veamos primero que dicha fase cumple con la definición, entonces tenemos lo siguiente:

\[ \psi(x,t)=Asen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial x}=kAsen(k(x-vt)) \]


\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}=-kvAsen(k(x-vt)) \]


Luego:

\[ -\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}}=-\frac{(-kv)Asen(k(x-vt))}{kAsen(k(x-vt))}=v \]


Por lo cuál, la función cumple con la definición. Ahora veamos que si $\frac{d\varphi}{dt}=0$ entonces la funcion sigle cumpliendo.

Del problema (2.21) tenemos que por definición:

\[ \frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}=\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dx}{d\varphi} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}} \]


\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\frac{d\psi}{d\varphi}\frac{d\varphi}{dt}\frac{dt}{d\varphi}-\frac{\partial\psi}{\partial t}\frac{dt}{d\varphi}}{\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{dt}{d\varphi}}=-\frac{\frac{\partial\psi}{\partial t}}{\frac{\partial\psi}{\partial t}} \]

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:36 (CDT)



Problema 2.23

2.23 Una onda gaussiana, tiene la forma $\psi(x,t)=A^{-a(bx+ct)^{2}}$.Utilize el que $\psi(x,t)=f(x\pm vt)$ para calcular su velocidad, comprobando luego su respuesta con la ecuación (2.3).

Se utliza la siguuente definición de velocidad: \[ \pm v=-\left(\frac{\left(\frac{\partial\psi}{\partial t}\right)_{x}}{\left(\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)_{y}}\right) \]


Se resuelven ambas partes de la ecuación por separado:

\[ \psi_{x}=(-2a)A(b)e^{-(abx+ct)^{2}} \]


\[ \psi_{y}=-(2a)Ace^{-(bx+ct)^{2}} \]


Al sustituir los resultados obtenidos en la definicón de velocidad:

\[ v=\frac{(-2a)Ace^{-(abx+ct)^{2}}}{(-2a)Abe^{-(abx+ct)^{2}}}=\frac{c}{b} \]


Se obitene el resultado de la ecuación 2.3: $v=\frac{c}{b}$

Ana Alarid (discusión) 18:43 27 mar 2014 (UTC)


Problema 2.24

2.24 Encuentre una expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ cuya magnitud en $z=-\frac{\lambda}{12}$ es 0.866, en $z=+\frac{\lambda}{6}$ es $\frac{1}{2}$ y en $z=\frac{\lambda}{4}$ es 0.

Utilizamos la función de onda armónica en el que $t=0$ puesto que $\varepsilon$ es una contribución constante a la fase y además es independiente del recorrido de la onda en términos de espacio y de tiempo: \begin{equation} \psi(z,0)=Asen(kz+\varepsilon); \end{equation} donde $\psi$ es la propagación de la onda, $A$ es la amplitud, $k$ es el número de onda que está dada por $k=\frac{2\pi}{\lambda}$, $z$ corresponde a la dirección de propagación y $\varepsilon$ es la fase inicial.

A continuación escribimos las condiciones iniciales:

\begin{equation} \psi(-\frac{\lambda}{12},0)=Asen(-\pi/6 + \varepsilon)=0.866 ....(I) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{6},0)=Asen(-\pi/3 + \varepsilon)=\frac{1}{2} ....(II) \end{equation}

\begin{equation} \psi(\frac{\lambda}{4},0)=Asen(-\pi/2 + \varepsilon)=0 ....(III) \end{equation}


Para obtener el valor numérico de $\psi$ es necesario encontrar los valores para $\varepsilon$ y por consiguiente la amplitud $A$ y en conclusión obtener el perfil que se nos pide. Para ello utilizamos la expresión $(III)$ puesto que es más sencilla de manipular y está igualada a 0. Utilizamos la identidad trigonométrica de suma de dos ángulos que involucra a senos y cosenos.

\begin{equation} A=sen(\pi/2+\varepsilon)=A[sen(\pi/2)cos(\varepsilon)+cos(\pi/2)sen(\varepsilon)] \end{equation}

Simplificamos

\begin{equation} =Acos(\varepsilon)=0 \end{equation}

Despejamos $\varepsilon$ y obtenemos su valor \begin{equation} \varepsilon=\frac{\pi}{2} \end{equation}

Ahora bien para encontrar $A$ podemos utilizar la expresión $(I)$ o $(II)$. Utilizando la expresión $(II)$ y sustituyendo el valor encontrado para $\varepsilon$:

\begin{equation} Asen(\pi/3 + \pi/2)=Asen(5\pi/6)=\frac{1}{2} \end{equation}

Así \begin{equation} A(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}; A=1 \end{equation}

Por lo tanto, la expresión para el perfil de una onda armónica que viaja en la dirección de $z$ es:

\begin{equation} \psi(z,0)=sen(kz+\pi/2) \end{equation}

Angel Nahir Molina Guadarrama (discusión) 01:37 23 mar 2014 (UTC)


Problema 2.26

2.26.Establezca cuáles de las expresiones siguientes describen ondas viajeras:

(a) $\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)$

(b) $\psi(z,t)=Asen(az^{2}-bt^{2})$

(c) $\psi(x,t)=Asen2\pi\left(\frac{x}{a}+\frac{t}{b}\right)^{2}$

(d) $\psi(x,t)=Acos^{2}2\pi(t-x)$

Para la onda (a), si la reescribimos como sigue:

$\psi(y,t)=\exp-(a^{2}y^{2}+b^{2}t^{2}-2aybt)\Rightarrow\exp-a^{2}(y-\frac{b}{a}t)^{2}$ es evidente que se trata de una onda viajera, ya que cumple con las características de una.

Para la onda (b), es claro que no se comporta como una onda viajera, ya que la función no es lineal, una característica de las ondas viajeras.

Para la onda (c), es viajera, por que el término dentro del argumento es lineal, y nos dice que la onda se desplaza en una dirección diferente, hacia la izquierda.

Para la onda (d), no es viajera, por que la función $cos^{2}(x)$ no cumple con la definición de onda viajera.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:37 (CDT)


Problema 2.29

A Gaussian wave has the form $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$. Use the fact that $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$ to determine its speed and then verify your answer using Eq. $(2.34)$, $-\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t}=\pm \upsilon$ .

Como $\psi(x,t)= f(x \mp \upsilon\,t)$, entonces...

\[ \psi(x,t) = A\,\exp[-a(b\,x + c\,t)^2]=A\,\exp\left[-a\,b^2(\,x + \frac{c}{b}\,t)^2\right]=f(x \mp \upsilon\,t) \]

\begin{equation}\label{1} \Longrightarrow \quad \upsilon=\frac{c}{b} \end{equation}

Cuando $f(x - \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ positiva, y cuando $f(x + \upsilon\,t)$ la onda en la dirección $x$ negativa. Así, la onda $\psi(x,t)$ se mueve en la dirección $x$ negativa.

Si usamos la ecuación $(2.34)$, también obtenemos velocidad de fase, $\upsilon$, de la onda $\psi(x,t)$.

\[ -\dfrac{\left( \partial\psi / \partial t \right)_x}{\left( \partial\psi / \partial x \right)_t} = -\frac{-2\,a\,c\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}}{-2\,a\,b\,A\,(b\,x+c\,t)\mathrm{e}^{-a(b\,x+c\,t)^2}} \] \begin{equation}\label{2} \Longrightarrow \quad \upsilon=-\frac{c}{b} \end{equation}

Diferente a como se hizo en la primera parte, cuando se usa la ecuación $(2.27)$,la onda se mueve en la dirección en que $x$ aumenta si el signo de $\upsilon$ es $+$, y la onda se mueve en la dirección en que $x$ disminuye si el signo de $\upsilon$ es $-$. Es decir, las velocidades de fase $\upsilon$ de las ec. $(1)$ y $(2)$ llevan la misma dirección y por lo tanto son iguales en el sentido físico y matemático.

Animación mostrando el avance de la función $\psi(x,t) = A\,\mathrm{e}^{-a(b\,x + c\,t)^2}$ hacia la dirección de $x$ negativa. Los parámetros son $A=4$, $a=1$, $b=2$, $c=2.5$. Se observa que como $\upsilon=-\frac{5}{4}$ es negativo, entonces la onda se mueve a la izquierda.















Problema hecho por Adolfo Calderón Alcaraz (discusión) 04:59 30 mar 2015 (CDT).

Problmea 2.30

make up a table with columns headed by values of kx runing from \(x=\frac{\lambda}{2}\) to \(x=\lambda\) in intervals of x of \(\frac{\lambda}{4}\). In each columns place the corresponding values of cos kx and beneath that the values of cos kx+pi Next plot the functions cos kx, coskx+pi, and cos kx+coskx+pi

Hacer una tabla con columnas encabezadas por los valores de kx runing desde \(x=\frac{\lambda}{2}\) to \(x=\lambda\) en intervalos de x de \(\frac{\lambda}{4}\). En cada columna colocan los correspondientes valores de cos kx y bajo que los valores de cos kx + pi. Grafique las funciones cos kx, coskx + pi, y cos kx + coskx + pi.

Solución:


Tabla30.jpg
Graf30.jpg

Problema resuelto por --Luis Velázquez (discusión) 20:08 27 mar 2015 (CDT)


Problmea 2.31

2.31. Trabajando directamente con exponenciales, demuestre que la magnitud de $\psi=A\exp iwt$ es A. A continuación, vuelva a calcular el mismo resultado utilizando la fórmula de Euler. Demuestre que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

Sabemos que la magnitud de $\psi$ sera igual a su modulo, es decir:

$|\psi|=\psi\psi*^{\nicefrac{1}{2}}$ y que $\psi*=A\exp-iwt$ por definición.

Luego:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}=\left[A^{2}\exp iwt-iwt\right]^{\frac{1}{2}}=\left(A^{2}\exp0\right)^{\frac{1}{2}}=A$

Ahora, usando la fórmula de Euler, tenemos que:

$|\psi|=\left[\left(A\exp iwt\right)\left(A\exp-iwt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A(coswt+isenwt)A(coswt-isenwt)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}\left(cos^{2}wt-isen(wt)cos(wt)+isen(wt)cos(wt)+sen^{2}wt\right)\right]^{\frac{1}{2}}$

$|\psi|=\left[A^{2}(cos^{2}wt+sen^{2}wt)\right]^{\frac{1}{2}}=(A^{2})^{\frac{1}{2}}=A$

Demostremos ahora que $\exp i\alpha\exp i\beta=\exp i(\alpha+\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=\left(cos\alpha+isen\alpha\right)\left(cos\beta+isen\beta\right)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha+i^{2}sen\beta sen\alpha$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos\alpha cos\beta+icos\alpha sen\beta-icos\beta sen\alpha-sen\beta sen\alpha=(cos\alpha cos\beta-sen\alpha sen\beta)+i(cos\alpha sen\beta+sen\alpha cos\beta)$

$\exp i\alpha\exp i\beta=cos(\alpha+\beta)+isen(\alpha+\beta)=\exp i(\alpha+\beta)$

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:38 (CDT)


Problema 2.32

2.32 Demuestre que la parte imaginaria de un número complejo z esta dada por $\left(z-z^{\star}\right)/2i$.

Solución:

Sea z perteneciente a los complejos


$z=a+ib$


y su conjugado


$z^{\star}=a-ib$


entonces:


$z-z^{\star}=a+ib-(a-ib)$


$z-z^{\star}=2ib$

Dividimos entre $2i$


$z-z^{\star}/2i=2ib/2i$


$\left(z-z^{\star}\right)/2i=b$


que es la parte imaginaria del número complejo z.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:43 18 mar 2014 (CDT) Cesar Ivan Avila Vasquez (discusión) 21:53 26 Marzo 2014 (UTC)


Problema 2.34

2.34

Demuestre que las ecuaciones $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z-vt)$ y $\psi(x,y,z,t)=f(\alpha x+\beta y+\gamma z+vt)$ que son ondas planas de forma arbitraria, cumplen con la ecuacion diferencial de onda tridimensional.

Solución:

De la ecuación de onda tridimensional ,$\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$, obtenemos el Laplaciano para nuestras ecuaciones, así $\nabla^{2}\psi=\alpha^{2}f^{´´}+\beta^{2}f^{´´}+\gamma^{2}f^{´´}$ es el Laplaciano para ambas ecuaciones.

Ahora al calcular $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}$ obtenemos que $\frac{\partial^{2}\psi}{\partial t^{2}}=v^{2}f^{´´}$ para ambas ecuaciones.

Por lo que al sustituir en la ecuación de onda tridimensional obtenemos.

$f^{´´}(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})=f^{´´}$

Por lo que para cualquier onda tridimensional se debe cumplir que $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1$.

Edgar Ortega Roano (discusión) 17:52 18 mar 2014 (CDT)


Problema 2.35

2.35. La hipótesis de De Broglie afirma que cada partícula tiene asociada a ella una longitud de onda dada por la constante de Planck ($h=6.6x10^{-34}Js$), dividida por el momento de la partícula.

Compare la longitud de onda de una piedra de 6.0 kg moviendosea una velocidad de 1 m/s con la de la luz.

Tenemos que:

\[ \lambda=\frac{h}{p} \]


Para la piedra tenemos entonces que:

\[ \lambda=\frac{6.6x10^{-34}Js}{(6kg)(1m/s)}=1.1x10^{-34}m \]


Y sabemos ádemas que la longitud de onda de la luz se encuentra en un intervalo de $\lambda=\left[3.8,7.5\right]x10^{-7}m$, entonces, comparando ambas longitudes de onda notamos que la asociada a la piedra es mucho más pequeña que la de la luz, si la longitud de onda de la luz fuera más pequeña que la de la piedra, la luz atravesaria la piedra.

Cesar Ivan Avila Vasquez 23 Marzo 2014 21:40 (CDT)


Problema 2.36

Escribe una expresión para la onda mostrada en la figura P.2.36. Encuentra la velocidad de onda, velocidad, frecuencia y periodo. Solución : Figure P.2.36.png

a) La forma matemática de la descripción de una función de onda es\[\psi(z,t)=Asen(kz \mp \omega t \pm \epsilon)\] Dado lo anterior podemos encontrar el número de onda K y la frecuencia \(\omega\), donde \(\epsilon\) a un tiempo cero, es igual a cero por lo tanto \(\epsilon =0 \). De las expresiones para el numero de onda \(K = \frac{2 \pi}{ \lambda}\) y \(\omega= \frac{2 \pi}{\tau}\), en donde \(\tau\) y \(\lambda\) son la frecuencia y la longitud de onda respectivamente, podremos reescribir la expresión para la onda como\[\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{\tau})\] El signo menos es por el desplazamiento de la función de onda a la derecha. Por el gráfico se observa que la longitud de onda es de cuatrocientos nanómetros, la amplitud es de 60 nanómetros y el periodo es de \(1.33x10^{-15}s\), dado que da un ciclo en ese tiempo. Por ende la expresión buscada es\[\psi(z,t)=A sen 2 \pi (\frac{z}{400x10^{-9} m}-\frac{t}{1.33X10^{-15}s})\]

b)Calculando la velocidad de onda\[v= \frac{\lambda}{\tau}=\frac{400x10^{-9}m}{1.33x10^{-15} s}=3x10^{8} \frac{m}{s}\]

c) Calculando la frecuencia y el periodo\[\nu = \frac{1}{\tau}= \frac{1}{1.33} x10^{15} Hz\]

\(\tau= 1.33x 10^{-15} s\)

--Pablo (discusión) 22:16 22 mar 2015 (CDT)


--Pablo (discusión) 22:23 21 mar 2015 (CDT)



Problema Adicional

La ecuación de onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda está dada por:

\(\Psi(z,t)=0.3\sin\pi\left(0.5z-50t\right) \)

Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuencia, el período y la velocidad de onda.

Solución:

Usando la ecuación


\[ \psi=A\sin2\pi\left(kz\pm\nu t\right) \]

\[ \psi=A\sin\pi\left(2kz\ - 2\nu t\right) \]

La amplitud\[A=0.3m\]

Longitud de onda

\(0.5=\frac{2}{\lambda}\)

\(\lambda=4m\)

Número de onda

\(2k=0.5\)

entonces

\(k=\frac{0.5}{2}\) \(k=0.25m^-1\)

La velocidad de onda \(v=(2) (50)\) \(v=100 m/s\)

Tomado de : Vibraciones y ondas. A. P. FRENCH pág. 277. Problema 7-2. Resuelto por:--Luis Velázquez (discusión) 10:56 26 mar 2015 (CDT)



Problema 2.1

¿Cuántas ondas de luz <<amarillas>> $(\lambda=580nm)$ caben en una distancia en el espacio igual al espesor de un trozo de papel $(0.003 pulgadas)$? ¿Hasta dónde se extenderá el mismo número de microondas $(\nu=10^{10}Hz$, es decir, $10GHz$ y $v=3x10^8m/s)$?

Solución:

La longitud de onda es la relación entre la velocidad de la onda y su frecuencia, que está dada por; \[\lambda=\frac{v}{\nu}\] Donde $v$ es la velocidad de la onda y $\nu$ es la frecuencia de la onda. La distancia $d$ recorrida por la onda es\[d=k*\lambda\]

Donde $k$ es el número de ondas propagadas, y $\lambda$ es la longuitud de onda.

ahora para saber cuántas ondas caben en el espesor del trozo de papel, convierto la longuitud de onda de la luz amarilla a metros\[\lambda_{amarillo} = (580nm) * \left(\frac{10^{-9}m}{1nm}\right)=580*10^{-9}m\]

despues convierto el espesor del papel en metros\[0.003in=(0.003in)* \left(\frac{2.54*10^{-2}m}{1in}\right)=7.62*10^{-5}m\]

calculamos el numero de ondas en la distancia en el espacio del espesor del papel, utilizamos lo que ya sabemos:

\[d=k*\lambda_{amarillo}\]

despejando y sustituyendo tenemos:

\[k=\frac{d_{papel}}{\lambda_{amarillo}}=\frac{7.62*10^{-5}m}{580*10^{-9}m}=131ondas\]

\(\therefore\) $131$ $ondas$ de luz amarilla caben en una distancia de $0.003$ $pulgadas$


para la segunda pregunta calculamos la longitud de onda con los datos que nos dan:

\[\lambda=\frac{v}{\nu}=\frac{3*10^8m/s}{10^{10}Hz}=0.03m\]

Ahora calculamos cuanta distancia se extenderá el mismo número de ondas con ésta longitud de onda:

\[\therefore d=k*\lambda=(131)(0.03m)= 3.9m\]


--Luis Martínez (discusión) 08:09 27 mar 2015 (CDT)



Problema 2.42

Escriba una expresión en coordenadas cartesianas para una onda plana armónica de amplitud $A$ y frecuencia $w$, que se propaga en la dirección del verctor $\overrightarrow{k}$, que a su vez, se encuentra en una línea que va desde el origen hasta el punto $(4,2,1)$. Hint: primero calcule $\overrightarrow{k}$ y luego haga el producto escalar con $\overrightarrow{r}=x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.

Solución:


para obtener el vector $\overrightarrow{k}$ necesitamos encontrar un vector unitario en la direccion que nos piden y multiplicándolo por $k$. el vector unitario es\[\hat{a}= \frac{\left[(4-0)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (1-0)\hat{k} \right]}{\sqrt{4^2 + 2^2 + 1^2}}= \frac{4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}}{\sqrt{21}} \]

ahora el vector $\overrightarrow{k}$ está dado por\[\overrightarrow{k}= k*\hat{a}=\frac{k*(4\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k})}{\sqrt{21}}\]

la expresión en cordenadas cartesianas de una onda plana armónica viene dada por\[\psi (x,y,z,t)=A*sen(\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{r} - wt)\]\[\therefore \psi (x,y,z,t)=A*sen \left[\frac{4k}{\sqrt{21}}x + \frac{2k}{\sqrt{21}}y + \frac{k}{\sqrt{21}}z - wt\right]\]



--Luis Martínez (discusión) 17:05 27 mar 2015 (CDT)



Problema adicional 2

Una onda se propaga por una cuerda según la ecuación $ y = 0.2\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4})$. Calcular:

a) La frecuencia, el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación.


b) El estado de vibración, la velocidad y aceleración de una partícula situada en x = 0.2 m en 0.3 s


c) La diferencia de fase entre dos puntos separados 0.3 m


a) La forma general de la ecuación de onda $y(x, t)= A \sin(\omega t + Kx +\delta)$


Partiremos de la frecuencia angular $\omega = 2 \pi; f = 6\pi rad/s; f= 3 Hz $

El periodo $ T = \dfrac{1}{f}= 0.333s$

Para la velocidad usamos $c= \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{\pi} = 6 m/s $

b) Para x = 0.2 m, t= 0.3s. $$ y= 0.2\sin(6\pi*0.3 + \pi*0.2 + \dfrac{\pi}{4})= 0.2 \sin(7.069) = 0.1414 m $$

Velocidad $$\dfrac{dy}{dx} = 0.2 *6 \pi \cos (6 \pi t + \pi x \dfrac{\pi}{4})= 0.2*6 \pi \cos (7.069)= 2.66 m/s$$

Aceleración $$\dfrac{d^{2}y}{dt^{2}}= -0.2(36\pi^{2})\sin(6\pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4} = 0,2(36\pi^{2}cos (7.069)= -50.25 m/s^{2}$$


c) $\vartriangle x= 0.3 m$


$\delta_{1} = 6 \pi t + \pi x + \dfrac{\pi}{4}$

$$\vartriangle \delta = \delta_{2} - \delta_{1}= 0.3\pi rad $$


$\delta_{2} = 6 \pi t + \pi (x + 0.3) + \dfrac{\pi}{4}$

Física General 10° Edición, Frederick J. Bueche. Eugene Hetch.


--Esther Sarai (discusión) 18:25 28 mar 2015 (CDT)Esther Sari García González


Problema 2.37

Escriba una expesion en coordenadas cartesianas para una onda plana armonica de amplitud \(A\) y frecuencia \(\omega\) que se propaga en direccion positiva de \(x\).


Primero se escribe un vector de posicion \(\textbf{r}=x \hat{\mathbf{e}}_x+y \hat{\mathbf{e}}_y+z \hat{\mathbf{e}}_z\) que comienza en el orige y termina en cualquier otro punto \((x,y,x)\).


De esta forma, lo podemos escribir como


\((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})=(x-x_{0})\hat{\mathbf{e}}_x+(y-y_{0})\hat{\mathbf{e}}_y+(z-z_{0})\hat{\mathbf{e}}_z\) y


\((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\cdot\textbf{k}=0\) donde obligamos al vector \((\textbf{r}-\textbf{r}_{0})\) a barrer un plano perpendicalar a \(\hat{\mathbf{e}}_x\)


al ir adquiriendo su punto exremo \((x,y,z)\) com \(i=i_{x}\hat{\mathbf{e}}_x+i_{y}\hat{\mathbf{e}}_y+i_{z}\hat{\mathbf{e}}_z\) que se puede escribir tambien como


\(i_{x}(x-x_{0})+i_{y}(y-y_{0})+i_{z}(z-z_{0})=0\)


o tambien


\(i_{x}x+i_{y}y+i_{z}z=a\) donde \(a=cte\)


Asi un plano perpendicular a \(i\) es \( \) \(\textbf{i}\cdot\textbf{r}=a\)


Tomemos la funcion \(\psi{(r)}=A\sin{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}\)


\(\psi{(r)}=Acos{(\textbf{i}\cdot\textbf{r})}\)


o \(\psi{(r)}=Ae^{i\hat{\imath}\cdot\textbf{r}}\)


y la funcion armonica se puede escribir como


\(\psi{(r)}=\psi{(r+\frac{\lambda \hat{\imath}}{k})}\)


Para que esta funcion sea cierta se debe tener que


\(e^{i\lambda \hat{\imath}}=e^{i2\pi}\)


Por consiguiente \(\lambda i = 2\pi\)


despejando \(i\) se tiene \(i= \frac{2\pi}{\lambda}\)


Se tiene entonces que


\(\psi{(r,t)}=Ae^{i(\hat{\imath}\cdot\textbf{r}\pm\omega t)}\)


Para que esta funcion este orientada sobre el eje \(x\) solo se toma la coordenada \(x\) del vector \(\vec{r}\)


\(\psi{(r,t)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}\) asi que


\(\psi{(x)}=Ae^{i(ix\pm\omega t)}\)

Por tanto esta es la onda armonica en coordenardas cartesianas que se propaga en el eje \(x\).


Hector resendiz --Héctor Reséndiz (discusión) 19:23 29 mar 2015 (CDT) Libro hecht



Problemas adicionales.- Movimiento ondulatorio

Problema 1..- Un foco genera ondas de 2 mm de amplitud con una frecuencia de 250 Hz, que se propagan por un medio con una velocidad de 250 m/s. Determina el periodo y la longitud de onda de la perturbacion. Si en el instante inicial la elongacion de un punto situado a 3 m del foco es $y = -2 mm$, determina la elongacion de un punto situado a 2,75 m del foco en el mismo instante.

Periodo: $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{250}=4\times 10^{-3}$s

Frecuencia angular: $w=2\pi f= 500\pi$ $rad/s$

Longitud de onda: $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{250}{250}=1m$

numero de onda: $k=\frac{2\pi}{\lambda}=2\pi$ $m^{-1}$

En este caso y como los datos de vibracion no son los del foco, debe introducirse una fase inicial $\phi_0$ que se determina con las condiciones de vibracion del punto x = 3 m.

$y = A Cos(wt-kx+ \phi_0 ) =2 \times 10^{-3} Cos(500\pi t-2 \pi x+\phi_0)$

Operando:

$y=2\times 10^{-3}Cos[2\pi(250t-x) + \phi_0]$

Sustituyendo los datos de vibracion del punto considerado, resulta que:

$y(x=3, t=0)=y=2\times 10^{-3}Cos[2π(250(0)-3) + ϕ0]=2\times 10^{-3}m \rightarrow Cos(-6\pi +\phi_0)=-1$

Por lo que la fase inicial es: $\phi_0= \pi$ rad

La ecuacion general de la onda es:

$y=2\times 10^{-3}Cos[2\pi(250t-x)+\pi]$

La elongacion del punto x = 2,75 m en el instante pedido es:

$y(x=2.75, t=0)=y=2\times 10^{-3}Cos[2π(250(0)-2.75)+\pi]=Cos(6.5\pi)=0m$

Problema 2.- Un oscilador vibra con una frecuencia de 500 Hz y genera ondas que se propagan con una velocidad de 350 m/s.

1. La separacion de dos puntos consecutivos que vibren con una diferencia de fase de 60

2. El intervalo de tiempo que transcurre entre dos estados de vibracion consecutivos de un punto con una diferencia de fase de 180 .

3. Diferencia de fase en un instante cualquiera entre dos puntos separados por una distancia de 3,15 m.

1.-Para hallar la separacion de los funtos con un $\phi$=60 lo cual es equivalente a $\frac{\pi}{3}$ rad

sabiendo que $\lambda=\frac{\upsilon}{v}$=$\frac{500Hz}{350m/s}$=.7m

Por una regla de proporcionalidad a 2$\pi$le corresponden $\lambda=.7m,$por lo que la separacion de los puntos $\triangle x=\frac{\pi}{3}$$\lambda$$\frac{1}{2\pi}$=.117m

2.-Del mismo modo por una regla de proporcionalidad como T=$\frac{1}{\nu}$=$\frac{1}{500Hz}$=2$^{-3}$s

$\triangle t=$$\frac{\pi T}{2\pi}$=$\frac{2(10^{-3})\pi s}{2\pi}$=10$^{-3}s$

3.- Se busca un $\triangle\varphi\triangle\varphi=T\frac{\triangle x}{\lambda}$y usando los valores del punto 1 se obtiene que $\triangle\varphi$=2$\pi\frac{.117m}{.7m}$=2.1

Problema 3..- Un foco F1 situado en el punto de coordenadas (0,0) entre ondas armónicas transversales de frecuencia 500Hz y amplitud 0.3m. Las ondas se propagan en el sentido positivo del eje x con una velocidad de 250 m/s.

¿Cual es la longitud de onda y el periodo de las ondas emitidas?. Escribir la función de onda

V= 500 Hz , A= 0.3 m, v= 250m/s , donde 


\(\lambda=\frac{v}{V}= \frac{250}{500}= 0.5 m \) es la longitud de onda


\(T=\frac{1}{V}=\frac{1}{500}= 2x10^{-3}s\) es el periodo

La expresión general para la función de onda es

\(y(x,t)=Asen(kx-\omega (t))\)


\(\frac{2\pi}{(\lambda)}=4\pi rad m^-1\)


\(\omega=2\pi V= 2\pi 500 = 1000 \pi rad s^-1\)


\( y1(x,t)= 0.3 sen ( 4\pi - 1000\pi) m\)


--Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 23:58 29 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez Estefaniantin

ejercicio 2.33 Hecht 4Th ed optics

es posible generar ondas ultrasonicas en cristales con longitudes de onda similares a la luz (5x10^-5)pero con frecuencias mas bajas (6x10^8 HZ).

calcular la velocidad correspondiente de dicha onda.


teniendo \[\lambda=5x10^-7 m \]

\(F= 6x10^8 HZ \)

donde de la ecuación \[ V = F\lambda \]

\( V=(5X10^-7)(6X10^8HZ) = 300\frac{m}{s}\)


--Luisa Alejandra Vega Sanchez (discusión) 17:03 30 mar 2015 (CDT)luisa alejandra vega sanchez

Problema 2.20

Escriba la expresion para la onda armonica de amplitud \(10^{3}V/m\) , periodo \(2.2x10^{-15}s\) ,y velocidad \(3x10^{8}m/s\) .La onda se propaga en la direccion negativa de X y tiene un valor de \(10^{3}V/m\) en t=0 y x=0

Para obtener la exprecion de la ecuación de onda tenemos que encontrar la longitud de onda asociada ala onda

tenemos que \[\tau=\frac{\lambda}{c}\] por otro lado \[\tau=\frac{1}{T}\] sustituyendo sustituyendo esta ecuacion en la anterior obtenemos obtenemos la longitud de onda \[\lambda=\frac{c}{T}\] \[\lambda=\frac{c}{T}=\frac{3.8x10^{8}m/s}{2.2x10^{-15}s}\]

ahora con la sig. esprecion de onda es

\[\psi(x,t)=A\sin\left[kx+\omega t\right]\]

tenemos que encontrar k por medio de la sig. formula

\[k=\frac{2\pi}{\lambda}\]

sustituyendo este valor k en la exprecion tenemos para \(t=0\)

\[\psi(x,t)=10^{3}\sin{kx}\]

Esta es nuestra ecuacion de onda obtenida

--Jose de jesus (discusión) 17:57 30 mar 2015 (CDT)jose de jesus arizpe flores 30/03/2015