Ondas: periodicas anarmonicas

Introducción

En la figura se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas con diferentes amplitudes y longitudes de onda. Observese que se han producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal.

Archivo:Onda11.jpg

Figura 1.Superposición de dos ondas armónicas de diferente frecuencia. La onda resultante es periódica pero anarmónica

La figura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (1) sugiere que al emplear varias funciones sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue disenada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier(1768-1830)

Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier (1768-1830)

.

El método de Fourier permite que toda función matemática adecuada de una variable pueda expresarse o bien en la forma de $(a)$ serie de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda sean todas submúltiplos de una cierta longitud de onda, o bien como Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (b) integral que contiene un sistema de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda varíen con continuidad desde $\textstyle {0}$ a $\infty$. El desarrollo en serie sólo es válido en un dominio finito de la variable, si bien la integral lo es para todo valor de la misma. Asi pues, mediante una serie de Fourier podrán expresarse tanto funciones continuas como funciones que tengan discontinuidades de pendiente o de magnitud, con tal que sea finito el número de discontinuidades en el dominio importante. Las series de Fourier son particularmente convenientes para representar funciones que no se puedan expresar por medio de una función algebraica simple pero conste de partes que puedan, cada una de ellas, expresarse de esa forma.

Serie de Fourier

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle{f(x)} con un periodo espacial Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\lambda puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\textstyle \lambda$ (es decir, $\textstyle \lambda$,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\frac{\lambda}{2} ,Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \textstyle\frac{\lambda}{3} , etc). La fórmula matemática de ésta representación en serie de Fourier es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+ \varepsilon_1\right)+C_{2}cos\left(\frac{2\pi}{\frac{\lambda}{2}}x+ \varepsilon_2\right)+...\qquad (1)

donde los valores Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C son constantes, y por supuesto, el perfil Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x) puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$.

Si la función sintetizada [el lado derecho de la ecuacion $(1)$ ] consta de un número infinito de términos, seleccionados de tal forma que intersecten la función anarmónica en un número infinito de puntos, presumiblemente la serie será idéntica a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x) .

Por lo general es necesario volver a formular la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (1) recurriendo a la identidad trigonométrica.

$C_{m}cos(mkx+\varepsilon _{m})=C_{m}[cos(mkx)cos(\varepsilon _{m})-sen(mkx)sen(\varepsilon _{m})]\qquad (2)$

Donde $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

Siendo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda la longitud de onda de $f(x)$ y haciendo:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A_{m}=C_{m}cos(\varepsilon_{m})\qquad y\qquad B_{m}=-C_{m}sen(\varepsilon_{m})

Sustituyendo en $(2)$ queda:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C_{m}cos(mkx+\varepsilon_{m})=A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)

Y por lo consiguiente podemos reformular a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x) como:

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sen(mkx)\qquad (3)$

El proceso que permite establecer los coeficientesError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A_{0},A_{m},B_{m} para una función periódica especificaError al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f(x) recibe el nombre de análisis de Fourier. Ahora, nos vamos a entretener un momento en deducir un conjunto de ecuaciones para estos coeficientes que podrán utilizarse de aqui en adelante. Para ello, integramos ambos lados de la ecuación Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): (3) en cualquier intervalo espacial $\lambda$, por ejemplo, desde $0$ hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \lambda o desde $-\lambda /2$ hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): +\lambda/2 , o más generalmente,desde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x' hasta Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): x'+\lambda . Esto es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_{0}^{\lambda}f(x)dx=\int\limits_{0}^{\lambda}\frac{A_{0}}{2}dx+\int\limits_{0}^{\lambda}\sum_{m=1}^\infin A_{m}cos(mkx) dx+\int\limits_{0}^{\lambda}\sum_{m=1}^\infin B_{m}sen(mkx)dx

y tomamos que en cualquiera de estos intervalos

Figura 2. Se observa gráficamente la ecuación 4

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_{0}^{\lambda}sen(mkx)dx= \int\limits_{0}^{\lambda}cos(mkx) dx = 0\qquad (4) solamente hay un término diferente de cero a valorar, a saber

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_{0}^{\lambda}f(x)dx = \int\limits_{0}^{\lambda}\frac{A_{0}}{2}dx=A_{0}\frac{\lambda}{2}

Y entoces $\color {Maroon}A_{0}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)dx\qquad \color {Black}(5)$

A fin de definir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A_{m} y $B_{m}$ usaremos la ortogonalidad de las funciones sinusoidales, es decir, el hecho de que

$\int \limits _{0}^{\lambda }sen(akx)cos(bkx)dx=0\qquad i)$ $\int \limits _{0}^{\lambda }cos(akx)cos(bkx)dx={\frac {\lambda }{2}}\delta _{ab}\qquad ii)$ Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \int\limits_{0}^{\lambda}sen(akx)sen(bkx)dx=\frac{\lambda}{2}\delta_{ab}\qquad iii)

donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a y $b$ son números enteros positivos diferentes de cero y $\delta _{ab}$, denominada delta de Kronecker, es una expresión abreviada igual a cero cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a\neq b e igual a $1$ cuando $a=b$. Para calcular $A_{m}$ multipliquemos ahora ambos lados de la ecuación $(3)$ por $cos(lkx)$ donde $l$ es un número entero positivo y sucesivamente integraremos sobre un periodo espacial. Esto es

$\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)cos(lkx)dx=\int \limits _{0}^{\lambda }{\frac {A_{0}}{2}}cos(lkx)dx+\int \limits _{0}^{\lambda }\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx+\int \limits _{0}^{\lambda }\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sen(mkx)cos(lkx)dx$

por la ecuación $(4)$ podemos ver que la primera suma se anula, por la ecuacion $i)$ podemos ver que la tercer suma se anula y por $ii)$ podemos ver que para todos los valores de $l$ se anula excepto cuando $l=m$ en cuyo caso

$\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)cos(lkx)dx=\int \limits _{0}^{\lambda }\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx$

pero si $l=m$, tenemos

$\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)cos(lkx)dx=\int \limits _{0}^{\lambda }A_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx=A_{m}{\frac {\lambda }{2}}\delta _{ml}=\int \limits _{0}^{\lambda }A_{m}cos^{2}(mkx)dx=A_{m}{\frac {\lambda }{2}}$

Por lo tanto

$\color {Maroon}A_{m}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)cos(mkx)dx\qquad \color {Black}(6)$

Del mismo modo, multiplicando la ecuación $(3)$ por $sen(lkx)$ e integrando llegamos a

$\color {Maroon}B_{m}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)sen(mkx)dx\qquad \color {Black}(7)$

En resumen, entonces una función periódica $f(x)$ puede representarse como serie de Fourier

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sen(mkx)$

donde conociendo $f(x)$, los coeficientes se calculan usando $(5),(6)$ y $(7)$.

Existen determinadas condiciones de simetría que vale la pena considerar porque proporcionan algunos atajos a los cálculos. Así, si una función $f(x)$ es par, es decir, si $f(-x)=f(x)$ o, de manera equivalente, si la misma es simétrica alrededor de $x=0$, su serie de Fourier contendrá solamente términos coseno ($B_{m}=0$ para todo $m$) los cuales son, de por sí, funciones pares. De la misma forma, las funciones impares que son antisimétricas alrededor de $x=0$, es decir, $f(-x)=-f(x)$ tendrá desarrollos en serie que contiene sólo funciones seno ($A_{m}=0$ para cualquier valor de $m$). En cualquiera de los dos casos, no es preciso calcular ambas series. Esto resulta ser particularmente útil cuando la posición del origen $(x=0)$ es arbitraria pudiendo escogerse para simplificar las cosas todo lo posible. No obstante cabe recordar que muchas funciones comunes no son ni pares ni impares (por ejemplo, $e^{x}$)

Ejemplo de serie de Fourier

Para poner un ejemplo de ésta técnica, calculemos la serie de Fourier que corresponde a una onda cuadrada. Seleccionemos la posicion del origen como se muestra en la figura $(3)$.

$f(x)={\begin{cases}+1,&{\mbox{cuando}}\quad -1<x<{\frac {\lambda }{2}}\\-1,&{\mbox{cuando}}\quad {\frac {\lambda }{2}}<x<\lambda \end{cases}}$

Como $f(x)$ es impar, $A_{m}=0$, y $A_{0}$ se calcula

$A_{0}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)dx={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda /2}(+1)dx+{\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{\lambda /2}^{\lambda }(-1)dx$

$A_{0}={\frac {2}{\lambda }}x\mid _{0}^{\lambda /2}-{\frac {2}{\lambda }}x\mid _{\lambda /2}^{\lambda }$

$A_{0}=0$

por lo tanto es nula la contribución de este término a la serie. Ahora $B_{m}$se calcula

$B_{m}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda /2}(+1)sen(mkx)dx+{\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{\lambda /2}^{\lambda }(-1)sen(mkx)dx$

por lo tanto

$B_{m}={\frac {1}{mk}}[-cos(mkx)]_{0}^{\lambda /2}+{\frac {1}{mk}}[cos(mkx)]_{\lambda /2}^{\lambda }$

Recordando que $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$, tendremos

$B_{m}={\frac {2}{m\pi }}(1-cos(m\pi ))$

Ahora dandole valores a $m$ con $m=1,2,3,...$, los coeficientes de Fourier son por consiguiente

$B_{1}={\frac {4}{\pi }},\quad B_{2}=0,\quad B_{3}={\frac {4}{3\pi }},\quad B_{4}=0,\quad B_{5}={\frac {4}{5\pi }},...,$

Siendo la serie requerida simplemente

$f(x)={\frac {4}{\pi }}(sen(kx)+{\frac {1}{3}}sen(3kx)+{\frac {1}{5}}sen(5kx)+...)$

La figura $(4)$ es una representación gráfica de unas cuantas sumas parciales de la serie a medida que el número de términos aumenta. Podríamos ahora pasar al dominio temporal para definir $f(x)$ simplemente replazando $kx$ por $\omega t$. De ahora en adelante podemos visualizar este tipo de perturbación como superposición consecutivas armónicas de diferentes frecuencias cuyo comportamiento individual puede estudiarse separadamente. Por lo tanto, podemos escribir

$f(x\pm vt)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cosmk(x\pm vt)+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}senmk(x\pm vt)\qquad (8)$

para cualquiera de tales ondas periódicas anarmónicas.