Ondas: periodicas anarmonicas

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Introducción

En la figura se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas con diferentes amplitudes y longitudes de onda. Observese que se han producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal.


Archivo:Onda11.jpg
Figura 1.Superposición de dos ondas armónicas de diferente frecuencia. La onda resultante es periódica pero anarmónica

La figura sugiere que al emplear varias funciones sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue disenada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier(1768-1830)

Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier (1768-1830)

.


El método de Fourier permite que toda función matemática adecuada de una variable pueda expresarse o bien en la forma de serie de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda sean todas submúltiplos de una cierta longitud de onda, o bien como integral que contiene un sistema de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda varíen con continuidad desde a . El desarrollo en serie sólo es válido en un dominio finito de la variable, si bien la integral lo es para todo valor de la misma. Asi pues, mediante una serie de Fourier podrán expresarse tanto funciones continuas como funciones que tengan discontinuidades de pendiente o de magnitud, con tal que sea finito el número de discontinuidades en el dominio importante. Las series de Fourier son particularmente convenientes para representar funciones que no se puedan expresar por medio de una función algebraica simple pero conste de partes que puedan, cada una de ellas, expresarse de esa forma.

Serie de Fourier

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función con un periodo espacial puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de (es decir, ,,, etc). La fórmula matemática de ésta representación en serie de Fourier es:



donde los valores son constantes, y por supuesto, el perfil puede corresponder a una onda viajera .

Si la función sintetizada [el lado derecho de la ecuacion ] consta de un número infinito de términos, seleccionados de tal forma que intersecten la función anarmónica en un número infinito de puntos, presumiblemente la serie será idéntica a .


Por lo general es necesario volver a formular la ecuación recurriendo a la identidad trigonométrica.


Donde

Siendo la longitud de onda de y haciendo:


Sustituyendo en queda:



Y por lo consiguiente podemos reformular a como:



El proceso que permite establecer los coeficientes para una función periódica especifica recibe el nombre de análisis de Fourier. Ahora, nos vamos a entretener un momento en deducir un conjunto de ecuaciones para estos coeficientes que podrán utilizarse de aqui en adelante. Para ello, integramos ambos lados de la ecuación en cualquier intervalo espacial , por ejemplo, desde hasta o desde hasta , o más generalmente,desde hasta . Esto es


y tomamos que en cualquiera de estos intervalos

Figura 2. Se observa gráficamente la ecuación 4


solamente hay un término diferente de cero a valorar, a saber


Y entoces


A fin de definir y usaremos la ortogonalidad de las funciones sinusoidales, es decir, el hecho de que

donde y son números enteros positivos diferentes de cero y , denominada delta de Kronecker, es una expresión abreviada igual a cero cuando e igual a cuando . Para calcular multipliquemos ahora ambos lados de la ecuación por donde es un número entero positivo y sucesivamente integraremos sobre un periodo espacial. Esto es


por la ecuación podemos ver que la primera suma se anula, por la ecuacion podemos ver que la tercer suma se anula y por podemos ver que para todos los valores de se anula excepto cuando en cuyo caso

pero si , tenemos


Por lo tanto

Del mismo modo, multiplicando la ecuación por e integrando llegamos a

En resumen, entonces una función periódica puede representarse como serie de Fourier


donde conociendo , los coeficientes se calculan usando y .

Existen determinadas condiciones de simetría que vale la pena considerar porque proporcionan algunos atajos a los cálculos. Así, si una función es par, es decir, si o, de manera equivalente, si la misma es simétrica alrededor de , su serie de Fourier contendrá solamente términos coseno ( para todo ) los cuales son, de por sí, funciones pares. De la misma forma, las funciones impares que son antisimétricas alrededor de , es decir, tendrá desarrollos en serie que contiene sólo funciones seno ( para cualquier valor de ). En cualquiera de los dos casos, no es preciso calcular ambas series. Esto resulta ser particularmente útil cuando la posición del origen es arbitraria pudiendo escogerse para simplificar las cosas todo lo posible. No obstante cabe recordar que muchas funciones comunes no son ni pares ni impares (por ejemplo, )


Ejemplo de serie de Fourier

Para poner un ejemplo de ésta técnica, calculemos la serie de Fourier que corresponde a una onda cuadrada. Seleccionemos la posicion del origen como se muestra en la figura .


Como es impar, , y se calcula

por lo tanto es nula la contribución de este término a la serie. Ahora se calcula

por lo tanto



Recordando que , tendremos


Ahora dandole valores a con , los coeficientes de Fourier son por consiguiente


Siendo la serie requerida simplemente

La figura es una representación gráfica de unas cuantas sumas parciales de la serie a medida que el número de términos aumenta. Podríamos ahora pasar al dominio temporal para definir simplemente replazando por . De ahora en adelante podemos visualizar este tipo de perturbación como superposición consecutivas armónicas de diferentes frecuencias cuyo comportamiento individual puede estudiarse separadamente. Por lo tanto, podemos escribir


para cualquiera de tales ondas periódicas anarmónicas.

Archivo:Fourier12.nb