Ondas: periodicas anarmonicas

Introducción

En la figura se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas[1] con diferentes amplitudes y longitudes de onda. Observese que se han producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal.

La figura anterior sugiere que al emplear varias funciones sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue disenada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier(1768-1830).

El método de Fourier permite que toda función matemática adecuada de una variable pueda expresarse o bien en la forma de (a) serie de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda sean todas submúltiplos de una cierta longitud de onda o bien como (b) integral que contiene un sistema de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda varíen con continuidad desde $\textstyle {0}$ a $\infty$. El desarrollo en serie sólo es válido en un dominio finito de la variable, si bien la integral lo es para todo valor de la misma. Asi pues, mediante una serie de Fourier podrán expresarse tanto funciones continuas como funciones que tengan discontinuidades de pendiente o de magnitud, con tal que sea finito el número de discontinuidades en el dominio importante. Las series de Fourier son particularmente convenientes para representar funciones que no se puedan expresar por medio de una función algebraica simple pero conste de partes que puedan, cada una de ellas, expresarse de esa forma.

Serie de Fourier

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $\textstyle {f(x)}$ con un periodo espacial $\textstyle \lambda$ puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\textstyle \lambda$ (es decir, $\textstyle \lambda$,$\textstyle {\frac {\lambda }{2}}$,$\textstyle {\frac {\lambda }{3}}$, etc). La fórmula matemática de ésta representación en serie de Fourier es:

$f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...\qquad (1)$

donde los valores $C$ son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$.

Si la función sintetizada [el lado derecho de la ecuacion (1) ] consta de un número infinito de términos, seleccionados de tal forma que intersecten la función anarmónica en un número infinito de puntos, presumiblemente la serie será idéntica a $f(x)$.

Por lo general es necesario volver a formular la ecuación (1) recurriendo a la identidad trigonométrica.

$C_{m}cos(mkx+\varepsilon _{m})=C_{m}[cos(mkx)cos(\varepsilon _{m})-sen(mkx)sen(\varepsilon _{m})]\qquad (2)$

Donde $k={\frac {2\pi }{\lambda }}$

Siendo $\lambda$ la longitud de onda de $f(x)$ y haciendo:

$A_{m}=C_{m}cos(\varepsilon _{m})\qquad y\qquad B_{m}=-C_{m}sen(\varepsilon _{m})$

Sustituyendo en (2) queda:

$C_{m}cos(mkx+\varepsilon _{m})=A_{m}cos(mkx)+B_{m}sen(mkx)$

Y por lo consiguiente podemos reformular a $f(x)$ como:

$f(x)={\frac {A_{0}}{2}}+\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)+\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sen(mkx)\qquad (3)$

El proceso que permite establecer los coeficientes$A_{0},A_{m},B_{m}$ para una función periódica especifica$f(x)$ recibe el nombre de análisis de Fourier. Ahora, nos vamos a entretener un momento en deducir un conjunto de ecuaciones para estos coeficientes que podrán utilizarse de aqui en adelante. Para ello, integramos ambos lados de la ecuación (3) en cualquier intervalo espacial $\lambda$, por ejemplo, desde $0$ hasta $\lambda$ o desde $-\lambda /2$ hasta $+\lambda /2$, o más generalmente,desde $x'$ hasta $x'+\lambda$. Esto es

$\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)dx=\int \limits _{0}^{\lambda }{\frac {A_{0}}{2}}dx+\int \limits _{0}^{\lambda }\sum _{m=1}^{\infty }A_{m}cos(mkx)dx+\int \limits _{0}^{\lambda }\sum _{m=1}^{\infty }B_{m}sen(mkx)dx\qquad (3)$

Ya que en cualquiera de estos intervalos

$\int \limits _{0}^{\lambda }sen(mkx)dx-\int \limits _{0}^{\lambda }cos(mkx)dx=0\qquad (4)$

Se observa gráficamente la ecuación 4

solamente hay un término diferente de cero a valorar, a saber

$\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)dx=\int \limits _{0}^{\lambda }{\frac {A_{0}}{2}}dx=A_{0}{\frac {\lambda }{2}}$

Y entoces $A_{0}={\frac {2}{\lambda }}\int \limits _{0}^{\lambda }f(x)dx\qquad (5)$

A fin de definir $A_{m}$ y $B_{m}$ usaremos la ortogonalidad de las funciones sinusoidales, es decir, el hecho de que

$\int \limits _{0}^{\lambda }sen(akx)cos(bkx)dx=0\qquad i)$ $\int \limits _{0}^{\lambda }cos(akx)cos(bkx)dx={\frac {\lambda }{2}}\delta _{ab}\qquad ii)$ $\int \limits _{0}^{\lambda }sen(akx)sen(bkx)dx={\frac {\lambda }{2}}\delta _{ab}\qquad iii)$

donde $a$ y $b$ son números enteros positivos diferentes de cero y $\delta _{ab}$, denominada delta de Kronecker, es una expresión abreviada igual a cero cuando $a\neq b$ e igual a $1$ cuando $a=b$. Para calcular $A_{m}$ multipliquemos ahora ambos lados de la ecuación (3) por $cos(lkx)$ donde $l$ es un número entero positivo y sucesivamente integraremos sobre un periodo espacial.