Ondas: periodicas anarmonicas

Introducción

En la figura se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas[1] con diferentes amplitudes y longitudes de onda. Observese que se han producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal.

La figura anterior sugiere que al emplear varias funciones sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue disenada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier(1768-1830).

Serie de Fourier

La teoria de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $\textstyle {f(x)}$ con un periodo espacial $\textstyle \lambda$ puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\textstyle \lambda$ (es decir, $\textstyle \lambda$,$\textstyle {\frac {\lambda }{2}}$,$\textstyle {\frac {\lambda }{3}}$, etc). La fórmula matemática de esta representación en serie de Fourier es:

$f(x)=C_{0}+C_{1}cos\left({\frac {2\pi }{\lambda }}x+\varepsilon _{1}\right)+C_{2}cos\left({\frac {2\pi }{\frac {\lambda }{2}}}x+\varepsilon _{2}\right)+...(1)$

donde los valores $C$ son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$