Ondas: periodicas anarmonicas

Introducción

En la figura se ilustra una perturbación procedente de la superposición de dos funciones armónicas con diferentes amplitudes y longitudes de onda.

Observe que se ha producido un hecho muy curioso: la perturbación compuesta es anarmónica, es decir, no es sinusoidal.

Figura 1.Superposición de dos ondas armónicas de diferente frecuencia. La onda resultante es periódica pero anarmónica

La figura

$(1)$

sugiere que al emplear varias funciones periódicas sinusoidales cuyas amplitudes, longitudes de onda y fases relativas hayan sido juiciosamente seleccionadas, sería posible sintetizar algunos perfiles de onda muy interesantes. Una técnica matemática excepcionalmente bella que lleva precisamente a eso fue diseñada por el físico francés Jean Baptiste Joseph, Barón de Fourier(1768-1830).[1]

Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier (1768-1830)

El método de Fourier permite que toda función matemática adecuada de una variable pueda expresarse o bien en la forma de $(a)$ serie de funciones periódicas cosinusoidales cuyas longitudes de onda sean todas submúltiplos de una cierta longitud de onda, o bien como $(b)$ integral que contiene un sistema de funciones cosinusoidales cuyas longitudes de onda varíen con continuidad desde $0$ a $\mathrm{\infty }$. El desarrollo en serie sólo es válido en un dominio finito de la variable, si bien la integral lo es para todo valor de la misma. Asi pues, mediante una serie de Fourier podrán expresarse tanto funciones continuas como funciones que tengan discontinuidades de pendiente o de magnitud, con tal que sea finito el número de discontinuidades en el dominio importante. Las series de Fourier son particularmente convenientes para representar funciones que no se puedan expresar por medio de una función algebraica simple pero conste de partes que puedan, cada una de ellas, expresarse de esa forma.

Serie de Fourier

La teoría de Fourier radica en lo que se conoce como teorema de Fourier que establece que una función $f(x)$ con un periodo espacial $\lambda$ puede sintetizarse por la suma de funciones armónicas cuyas longitudes de onda son submúltiplos enteros de $\lambda$ (es decir, $\lambda$,$\frac{\lambda }{2}$,$\frac{\lambda }{3}$, etc). La fórmula matemática de ésta representación en serie de Fourier es:

\begin{equation} f(x)=C_{0}+C_{1} \cos\left(\frac{2\pi}{\lambda}x+ \varepsilon_1\right)+C_{2}\cos\left(\frac{2\pi}{\frac{\lambda}{2}}x+ \varepsilon_2\right)+... \label{1} \end{equation}

Donde los valores $C$ son constantes, y por supuesto, el perfil $f(x)$ puede corresponder a una onda viajera $f(x-vt)$.

Si la función sintetizada [el lado derecho de la ecuación (\ref{1})] consta de un número infinito de términos, seleccionados de tal forma que intersectan la función anarmónica en un número infinito de puntos, presumiblemente la serie será idéntica a $f(x)$.

Por lo general es necesario volver a formular la ecuación (\ref{1}) recurriendo a la identidad trigonométrica.

\begin{equation} C_{m}\cos(mkx+\varepsilon_{m})= C_{m}[\cos(mkx)\cos(\varepsilon_{m})-\sin(mkx)\sin(\varepsilon_{m})] \label{2} \end{equation}

Donde $k=\frac{2\pi }{\lambda }$

Siendo $\lambda$ la longitud de onda de $f(x)$ y haciendo:

$A_m=C_{m}cos({\epsilon }_m)y{B}_m=-C_{m}sen({\epsilon }_m)$

Sustituyendo en (\ref{2}) queda:

$C_m\cos (mkx+{\epsilon }_m)=A_m\cos (mkx)+B_{m}sen(mkx)$

Y por lo consiguiente podemos reformular a $f(x)$ como:

\begin{equation} f(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}A_m \cos(mkx)+\sum_{m=1}^{\infty} B_m \sin(mkx) \label{3} \end{equation}

Encontrando los coeficientes $A_{0}, A_{m}\quad y\quad B_{m}$

El proceso que permite establecer los coeficientes$A_0,A_m,B_m$ para una función periódica especifica$f(x)$ recibe el nombre de análisis de Fourier. Ahora, nos vamos a entretener un momento en deducir un conjunto de ecuaciones para estos coeficientes que podrán utilizarse de aquí en adelante.

A fin de definir $A_0$,$A_m$ y $B_m$ usaremos la ortogonalidad de las funciones sinusoidales, es decir, el hecho de que

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}sen(akx)cos(bkx)dx=0i)$ $\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}cos(akx)cos(bkx)dx=\frac{\lambda }{2}{\delta }_{ab}ii)$ $\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}sen(akx)sen(bkx)dx=\frac{\lambda }{2}{\delta }_{ab}iii)$ $\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}sen(mkx)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}cos(mkx)dx=0iv)$

Donde $a$ y $b$ son números enteros positivos diferentes de cero y ${\delta }_{ab}$, denominada delta de Kronecker[2], es una expresión abreviada igual a cero cuando $a\ne b$ e igual a $1$ cuando $a=b$.

Para calcular $A_0$ integramos ambos lados de la ecuación (\ref{3}) en cualquier intervalo espacial $\lambda =2\pi$, por ejemplo, desde $0$ hasta $\lambda$ o desde $-\lambda/2$ hasta $+\lambda/2$, o más generalmente,desde $x'$ hasta $x^{\prime }+\lambda$. Esto es

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\frac{A_0}{2}dx+\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{m}cos(mkx)dx+\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{m}sen(mkx)dx$

y vemos que debido a la ecuación

$iv)$

, el segundo y tercer término del lado derecho de la relación anterior se anulan y entonces

Figura 2. Se observa gráficamente la ecuación iv)

Solamente hay un término diferente de cero a valorar, a saber

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\frac{A_0}{2}dx=A_0\frac{\lambda }{2}$

Y entonces

\begin{equation} A_{0}=\frac{2}{\lambda}\int\limits_{0}^{\lambda}f(x)dx \label{4} \end{equation}

Para calcular $A_m$ multipliquemos ahora ambos lados de la ecuación (\ref{3}) por $\cos (lkx)$ donde $l$ es un número entero positivo y sucesivamente integraremos sobre un periodo espacial. Esto es

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)cos(lkx)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\frac{A_0}{2}cos(lkx)dx+\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx+\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{m}sen(mkx)cos(lkx)dx$

Por la ecuación $iv)$ podemos ver que la primera suma se anula, por la ecuación $i)$ podemos ver que la tercer suma se anula y por $ii)$ podemos ver que para todos los valores de $l$ se anula excepto cuando $l=m$ en cuyo caso

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)cos(lkx)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx$

pero si

$l=m$

, tenemos

$\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)cos(lkx)dx=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{A}_{m}cos(mkx)cos(lkx)dx=A_m\frac{\lambda }{2}{\delta }_{ml}=\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}{A}_{m}co{s}^2(mkx)dx=A_m\frac{\lambda }{2}$

Por lo tanto

\begin{equation} A_{m}=\frac{2}{\lambda}\int\limits_{0}^{\lambda}f(x)\cos(mkx)dx \label{5} \end{equation}

Del mismo modo, multiplicando la ecuación (\ref{3}) por $sen(lkx)$ e integrando llegamos a:

\begin{equation} B_{m}=\frac{2}{\lambda}\int\limits_{0}^{\lambda}f(x) \sin(mkx)dx \label{6} \end{equation}

En resumen, entonces una función periódica $f(x)$ puede representarse como serie de Fourier

$f(x)=\frac{A_0}{2}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_{m}cos(mkx)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_{m}sen(mkx)$

Donde conociendo $f(x)$, los coeficientes se calculan usando (\ref{4}), (\ref{5}) y (\ref{6}).

Existen determinadas condiciones de simetría que vale la pena considerar porque proporcionan algunos atajos a los cálculos. Así, si una función $f(x)$ es par, es decir, si $f(-x)=f(x)$ o, de manera equivalente, si la misma es simétrica alrededor de $x=0$, su serie de Fourier contendrá solamente términos coseno ($B_m=0$ para todo $m$) los cuales son, de por sí, funciones pares. De la misma forma, las funciones impares que son antisimétricas alrededor de $x=0$, es decir, $f(-x)=-f(x)$ tendrá desarrollos en serie que contiene sólo funciones seno ($A_m=0$ para cualquier valor de $m$). En cualquiera de los dos casos, no es preciso calcular ambas series. Esto resulta ser particularmente útil cuando la posición del origen $(x=0)$ es arbitraria pudiendo escogerse para simplificar las cosas todo lo posible. No obstante cabe recordar que muchas funciones comunes no son ni pares ni impares (por ejemplo, $e^x$)

Ejemplo de serie de Fourier

Para poner un ejemplo de ésta técnica, calculemos la serie de Fourier que corresponde a una onda cuadrada periódica. Seleccionemos la posicion del origen como se muestra en la figura (\ref{3}).

Figura 3. Perfil de una onda cuadrada periódica (ejemplo)

$f(x)=\{\begin{array}{ll}+1,& \text{cuando}-1<x<\frac{\lambda }{2}\\ -1,& \text{cuando}\frac{\lambda }{2}<x<\lambda \end{array}$

Como $f(x)$ es impar, $A_m=0$, y

$A_0=\frac{2}{\lambda }\underset{0}{\overset{\lambda }{\int }}f(x)dx=\frac{2}{\lambda }\underset{0}{\overset{\lambda /2}{\int }}(+1)dx+\frac{2}{\lambda }\underset{\lambda /2}{\overset{\lambda }{\int }}(-1)dx$

$A_0=\frac{2}{\lambda }x\underset{0}{\overset{\lambda /2}{\mid }}-\frac{2}{\lambda }x\underset{\lambda /2}{\overset{\lambda }{\mid }}$

$A_0=0$

por lo tanto es nula la contribución de este término a la serie. Ahora

$B_m$

se calcula

Figura 4.Representación gráfica de unas cuantas sumas parciales de la serie a medida que el número de términos aumenta.

$B_m=\frac{2}{\lambda }\underset{0}{\overset{\lambda /2}{\int }}(+1)sen(mkx)dx+\frac{2}{\lambda }\underset{\lambda /2}{\overset{\lambda }{\int }}(-1)sen(mkx)dx$

por lo tanto

$B_m=\frac{1}{mk}[-cos(mkx){]}_0^{\lambda /2}+\frac{1}{mk}[cos(mkx){]}_{\lambda /2}^{\lambda }$

Recordando que $k=\frac{2\pi }{\lambda }$, tendremos

$B_m=\frac{2}{m\pi }(1-cos(m\pi ))$

Ahora dándole valores a $m$ con $m=1,2,3,...$, los coeficientes de Fourier son por consiguiente

$B_1=\frac{4}{\pi },B_2=0,B_3=\frac{4}{3\pi },B_4=0,B_5=\frac{4}{5\pi },...,$

Siendo la serie requerida simplemente

$f(x)=\frac{4}{\pi }(sen(kx)+\frac{1}{3}sen(3kx)+\frac{1}{5}sen(5kx)+...)$

La figura $(4)$ es una representación gráfica de unas cuantas sumas parciales de la serie a medida que el número de términos aumenta. Podríamos ahora pasar al dominio temporal para definir $f(x)$ simplemente remplazando $kx$ por $\omega t$.

De ahora en adelante podemos visualizar este tipo de perturbación como superposición consecutivas armónicas de diferentes frecuencias cuyo comportamiento individual puede estudiarse separadamente. Por lo tanto, podemos escribir

\begin{equation} f(x\pm vt)=\frac{A_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}A_m \cos \left [mk (x\pm vt) \right ] + \sum_{m=1}^{\infty}B_m \sin \left [mk (x\pm vt) \right ] \label{7} \end{equation}

Para cualquiera de tales ondas periódicas anarmónicas.