Diferencia entre revisiones de «Ondas: ondas longitudinales»

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Estudiando el efecto de este incremento de volumen sobre la presión del aire y recordando que el aire, siendo un gas, se encuentra en equilibrio antes de que pase la onda sonora, nos fijamos en la compresibilidad del gas, la cual esta definida por :
 
Estudiando el efecto de este incremento de volumen sobre la presión del aire y recordando que el aire, siendo un gas, se encuentra en equilibrio antes de que pase la onda sonora, nos fijamos en la compresibilidad del gas, la cual esta definida por :
<math> \mathbf{K}</math> = <math>-\mathbf{V}\frac{dP}{dV}</math>
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Donde dP es la variación de la presión del aire respecto de su valor en el equilibrio.
 
Donde dP es la variación de la presión del aire respecto de su valor en el equilibrio.
  
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Así del desplazamiento del aire en cada punto , tenemos que .
 
Así del desplazamiento del aire en cada punto , tenemos que .
  
<math> \mathit{dP} </math> =<math>-\mathbf{K}\frac{dV}{V}</math>=<math>-\mathbf{K} \frac{\partial\xi\,}{\partial\mathbf{x}}</math>
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La fuerza generada por el desplazamiento del aire en el elemento seleccionado sobre sus alrededores es igual a la variación de la presión por el área normal A. Sobre el plano izquierdo, la fuerza es
 
La fuerza generada por el desplazamiento del aire en el elemento seleccionado sobre sus alrededores es igual a la variación de la presión por el área normal A. Sobre el plano izquierdo, la fuerza es

Revisión del 00:39 9 dic 2007

Ondas longitudinales

Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales, que pueden propagarse en los medios materiales (sólidos, líquidos y gases). Las ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denominan longitudinales

1 un ejemplo de estas son la ondas acústicas.

Las variaciones de presión (compresión y rarefacción) en un sistema originan el sonido

Compresion1.jpg
  • Al apretar la membrana, el aire en la zona AB se comprime.



Archivo:Rarefacción.jpg
  • Al estirar la membrana, el aire en la zona AB se vuelve menos denso, es decir, se rarifica.

Acústicas

Como una simple introducción a las ondas acústicas , consideremos una perturbación longitudinal en un gas confinado en una tuberia cilindrica. En equilibrio el gas permanece uniforme, con una presión constante.

Supongamos que ξ (x) es el desplazamiento del aire durante el paso de una onda sonora. Tomamos un elemento de volumen de aire de espesor dx, localizado entre dos planos de área A , perpendiculares a la dirección de propagación, situados en las coordenadas x y x + dx . El volumen antes de que pase la onda sonora es Adx = V.

Bajo estas condiciones se realiza un pequeño desplazamiento del gas, limitado por los planos A.

Volumen1.jpg

Al pasar la onda sonora, el plano izquierdo se desplaza una distancia ξ (x), y el plano derecho se desplaza una distancia

\( \mathit{\xi\,} ( \mathbf{x}+{dx} ) \approx \mathit{\xi\,} ( \mathbf{x}) + \frac{\partial\xi\,}{\partial\mathbf{x}}{\mathrm{dx}} \)

Por tanto, el incremento de volumen de este elemento será.

\( \mathit{dV} \) = \( \mathbf{A} ( \mathbf{\xi\,} ( \mathbf{x} +\mathbf{dx} )- \mathbf{\xi\,}(\mathbf{x}))\approx \mathit{A} \frac{\partial\xi\,}{\partial\mathbf{x}}{\mathrm{dx}} \)

Estudiando el efecto de este incremento de volumen sobre la presión del aire y recordando que el aire, siendo un gas, se encuentra en equilibrio antes de que pase la onda sonora, nos fijamos en la compresibilidad del gas, la cual esta definida por :

\( \mathbf{K}\) = \(-\mathbf{V}\frac{dP}{dV}\)

Donde dP es la variación de la presión del aire respecto de su valor en el equilibrio.

En general, K es positiva demostrando que bajo una compresión ( dV < 0) , la presión del aire aumenta, y bajo una dilatación ( dV > 0 ) , la presión del aire disminuye.

Así del desplazamiento del aire en cada punto , tenemos que .

\( \mathit{dP} \) =\(-\mathbf{K}\frac{dV}{V}\)=\(-\mathbf{K} \frac{\partial\xi\,}{\partial\mathbf{x}}\)

La fuerza generada por el desplazamiento del aire en el elemento seleccionado sobre sus alrededores es igual a la variación de la presión por el área normal A. Sobre el plano izquierdo, la fuerza es

\( F_{izdo}\) =\(-\mathbf{A}\mathbf{dP}\)=\(-\mathbf{K} \frac{\partial\xi\,,( \mathbf{x})}{\partial\mathbf{x}}\)

y sobre el plano derecho


\( F_{dho}\) =\(\mathbf{A}\mathbf{dP}\)=\(\mathbf{AK} \frac{\partial\xi\,( \mathbf{x} +\mathbf{dx} )}{\partial\mathbf{x}}\)

Aplicando la ecuación de Newton, encontramos la ecuación de movimiento para la masa de aire que se encuentra encerrada en nuestro elemento en cuestión.

\( \mathbf{m} ( \mathbf{x} )\mathbf{a}(\mathbf{x})\)= \( F_{izdo}+ F_{dho}\)

siendo m ( x) la masa de aire del elemento

\( \mathbf{m} ( \mathbf{x} )\)= \( \mathbf{\rho}\mathbf{A}\mathbf{dx}\)

La aceleración del movimiento del aire será la segunda variación temporal de su desplazamiento respecto del equilibrio

\( \mathbf{a} ( \mathbf{x} )\)=\( \frac{\partial^2\xi}{\partial\mathbf{t}^2} \)

Con esto, obtenemos

\( \frac{\partial^2\xi}{\partial\mathbf{t}} \) = \(\frac{k}{\mathbf{\rho}} \frac{\partial^2\xi}{\partial\mathbf{x}^2} \)

Hablando en general de la propagación de dos ondas, una onda de desplazamiento y una onda de presión. La velocidad de propagación de las ondas sonoras es

\( C_{sonido}\) = \(v=\sqrt\frac{K}{\rho}\)

Referencias

Vibrations and Waves in Phisics, autor: Iain G. Main, editorial: Cambridge, tercera edición