Ondas: ondas longitudinales

Las ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denominan longitudinales

1 un ejemplo de estas son la ondas acústicas.

Las variaciones de presión (compresión y rarefacción) en un sistema originan el sonido

Al apretar la membrana, el aire en la zona AB se comprime.

Archivo:Rarefacción.jpg Al estirar la membrana, el aire en la zona AB se vuelve menos denso, es decir, se rarifica.

Como una simple introducción a las ondas acústicas , consideremos una perturbación longitudinal en un gas confinado en una tuberia cilindrica. En equilibrio el gas permanece uniforme, con una presión constante.

Supongamos que ξ (x) es el desplazamiento del aire durante el paso de una onda sonora. Tomamos un elemento de volumen de aire de espesor dx, localizado entre dos planos de área A , perpendiculares a la dirección de propagación, situados en las coordenadas x y x + dx . El volumen antes de que pase la onda sonora es Adx = V.

Bajo estas condiciones se realiza un pequeño desplazamiento del gas, limitado por los planos A.

Al pasar la onda sonora, el plano izquierdo se desplaza una distancia ξ (x), y el plano derecho se desplaza una distancia ${\mathit {\xi \,}}(\mathbf {x} +{dx})\approx {\mathit {\xi \,}}(\mathbf {x} )+{\frac {\partial \xi \,}{\partial \mathbf {x} }}{\mathrm {dx} }$

Por tanto, el incremento de volumen de este elemento será.

${\mathit {dV}}$ = $\mathbf {A} (\mathbf {\xi \,} (\mathbf {x} +\mathbf {dx} )-\mathbf {\xi \,} (\mathbf {x} ))\approx {\mathit {A}}{\frac {\partial \xi \,}{\partial \mathbf {x} }}{\mathrm {dx} }$

Estudiando el efecto de este incremento de volumen sobre la presión del aire y recordando que el aire, siendo un gas, se encuentra en equilibrio antes de que pase la onda sonora, nos fijamos en la compresibilidad del gas, la cual esta definida por :

$\mathbf {K}$ = $-\mathbf {V} {\frac {dP}{dV}}$

Donde dP es la variación de la presión del aire respecto de su valor en el equilibrio.

En general, K es positiva demostrando que bajo una compresión ( dV < 0) , la presión del aire aumenta, y bajo una dilatación ( dV > 0 ) , la presión del aire disminuye.

Así del desplazamiento del aire en cada punto , tenemos que .

${\mathit {dP}}$ =$-\mathbf {K} {\frac {dV}{V}}$=$-\mathbf {K} {\frac {\partial \xi \,}{\partial \mathbf {x} }}$

La fuerza generada por el desplazamiento del aire en el elemento seleccionado sobre sus alrededores es igual a la variación de la presión por el área normal A. Sobre el plano izquierdo, la fuerza es

$F_{izdo}$ =$-\mathbf {A} \mathbf {dP}$=$-\mathbf {K} {\frac {\partial \xi \,,(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}$

y sobre el plano derecho

$F_{dho}$ =$\mathbf {A} \mathbf {dP}$=$\mathbf {AK} {\frac {\partial \xi \,(\mathbf {x} +\mathbf {dx} )}{\partial \mathbf {x} }}$

Aplicando la ecuación de Newton, encontramos la ecuación de movimiento para la masa de aire que se encuentra encerrada en nuestro elemento en cuestión.

$\mathbf {m} (\mathbf {x} )\mathbf {a} (\mathbf {x} )$= $F_{izdo}+F_{dho}$

siendo m ( x) la masa de aire del elemento

$\mathbf {m} (\mathbf {x} )$= $\mathbf {\rho } \mathbf {A} \mathbf {dx}$

La aceleración del movimiento del aire será la segunda variación temporal de su desplazamiento respecto del equilibrio

$\mathbf {a} (\mathbf {x} )$=${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial \mathbf {t} ^{2}}}$

Con esto, obtenemos

${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial \mathbf {t} }}$ = ${\frac {k}{\mathbf {\rho } }}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial \mathbf {x} ^{2}}}$

Hablando en general de la propagación de dos ondas, una onda de desplazamiento y una onda de presión. La velocidad de propagación de las ondas sonoras es

$C_{sonido}$ = $v={\sqrt {\frac {K}{\rho }}}$