Ondas: ondas longitudinales

Ondas longitudinales

Las ondas sonoras son ondas mecánicas longitudinales, que pueden propagarse en los medios materiales (sólidos, líquidos y gases). Las ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denominan longitudinales

1 un ejemplo de estas son la ondas acústicas.

Las variaciones de presión (compresión y rarefacción) en un sistema originan el sonido

La compresión solo consistía entonces en tratar de juntar las partículas del aire.

Figura 1. Al apretar la membrana, el aire en la zona AB se comprime.

.

La rarefacción es la disminución de la densidad de un cuerpo gaseoso.

Figura 2. Al estirar la membrana, el aire en la zona AB se vuelve menos denso, es decir, se rarifica.

Acústicas

Como una simple introducción a las ondas acústicas , consideremos una perturbación longitudinal en un gas confinado en una tubería cilíndrica.

En equilibrio el gas permanece uniforme, con una presión constante.

Supongamos que $\mathit{\xi }(\mathbf{𝐱})$ es el desplazamiento del aire durante el paso de una onda sonora. Tomamos un elemento de volumen de aire de espesor dx, localizado entre dos planos de área ${A}$ , perpendiculares a la dirección de propagación, situados en las coordenadas $\mathbf{𝐱}$ y $\mathbf{𝐱}+dx$.El volumen antes de que pase la onda sonora es ${A}\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐱}$ = $\mathbf{𝐕}$.

Bajo estas condiciones se realiza un pequeño desplazamiento del gas, limitado por los planos ${A}$.

Figura 3. Se muestra el desplazamiento de un gas , en este caso aire , confinado en cierta área.

.

Al pasar la onda sonora, el plano izquierdo se desplaza una distancia $\mathit{\xi }(\mathbf{𝐱})$ , y el plano derecho se desplaza una distancia

${\xi }(\mathbf{𝐱}+dx)\approx {\xi }(\mathbf{𝐱})+\frac{\partial \xi }{\partial \mathbf{𝐱}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

Por tanto, el incremento de volumen de este elemento será:

$\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐕}$ = ${A}(\mathit{\xi }(\mathbf{𝐱}+\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐱})-\mathit{\xi }(\mathbf{𝐱}))\approx {A}\frac{\partial \xi }{\partial \mathbf{𝐱}}\mathrm{d}\mathrm{x}$

Estudiando el efecto de este incremento de volumen sobre la presión del aire y recordando que el aire, siendo un gas, se encuentra en equilibrio antes de que pase la onda sonora, nos fijamos en la compresibilidad de este, la cual esta definida por :

$\mathbf{𝐊}$ = $-\mathbf{𝐕}\frac{dP}{dV}$

Donde $\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐏}$ es la variación de la presión del aire respecto de su valor en el equilibrio.

En general, $\mathbf{𝐊}$ es positiva demostrando que bajo una compresión ( $\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐕}$ < 0) , la presión del aire aumenta, y bajo una dilatación ( $\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐕}$ > 0 ) , la presión del aire disminuye.

Así del desplazamiento del aire en cada punto , tenemos que .

$\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐏}$ =$-\mathbf{𝐊}\frac{dV}{V}$=$-\mathbf{𝐊}\frac{\partial \xi }{\partial \mathbf{𝐱}}$

La fuerza generada por el desplazamiento del aire en el elemento seleccionado sobre sus alrededores es igual a la variación de la presión por el área normal ${A}$.

Sobre el plano izquierdo, la fuerza es

${\mathbf{F}}_{\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐳}\mathbf{𝐪}}$ =$-{A}\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐏}$=$-\mathbf{𝐊}\frac{\partial \xi ,(\mathbf{𝐱})}{\partial \mathbf{𝐱}}$

y sobre el plano derecho,

${\mathbf{F}}_{\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐫}}$ =${A}\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐏}$=$\mathbf{𝐊}{A}\frac{\partial \xi (\mathbf{𝐱}+\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐱})}{\partial \mathbf{𝐱}}$

Aplicando la ecuación de Newton, encontramos la ecuación de movimiento para la masa de aire que se encuentra encerrada en nuestro elemento en cuestión.

$\mathbf{𝐦}(\mathbf{𝐱})\mathbf{𝐚}(\mathbf{𝐱})$= ${\mathbf{F}}_{\mathbf{𝐢}\mathbf{𝐳}\mathbf{𝐪}}\mathbf{+}{\mathbf{F}}_{\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐞}\mathbf{𝐫}}$

siendo $\mathbf{𝐦}(\mathbf{𝐱})$ la masa de aire del elemento

$\mathbf{𝐦}(\mathbf{𝐱})$= $\mathit{\rho }{A}\mathbf{𝐝}\mathbf{𝐱}$

La aceleración del movimiento del aire será la segunda variación temporal de su desplazamiento respecto del equilibrio

$\mathbf{𝐚}(\mathbf{𝐱})$=$\frac{{\partial }^2\xi }{\partial {\mathbf{𝐭}}^2}$

Con esto, obtenemos

$\frac{{\partial }^2\xi }{\partial \mathbf{𝐭}}$ = $\frac{k}{\mathit{\rho }}\frac{{\partial }^2\xi }{\partial {\mathbf{𝐱}}^2}$

Hablando en general de la propagación de dos ondas, una onda de desplazamiento y una onda de presión. La velocidad de propagación de las ondas sonoras es

$C_{sonido}$ = $\sqrt{\frac{K}{\rho }}$

Para determinar la compresibilidad del gas debemos estudiar el comportamiento del aire bajo las compresiones y expansiones sucesivas.Si admitimos que las transformaciones que acompañan a la propagación del sonido en el aire (es decir, las compresiones y rarefacciones) tienen carácter adiabático y que el aire se comporta como un gas ideal ,entonces podremos escribir-

$\mathbf{𝐊}$= $\mathbf{𝐏}\gamma$

En general,la temperatura aumenta en las zonas de compresión y disminuye en las zonas de expansión. Pero la velocidad de la onda sonora es tan grande que no hay tiempo suficiente para que la temperatura se equilibre entre las regiones de expansión y compresión. Es decir, la propagación de la onda sonora se realiza de forma adiabática, sin transferencia de energía térmica. En tal caso, de la ecuación de equilibrio de una gas bajo una transformación adiabática tenemos:

$\mathbf{𝐏}{\mathbf{𝐕}}^{\mathit{\gamma }}$= $cte$

$\frac{dP}{P}$ + $\mathit{\gamma }\frac{dV}{V}$= 0

Donde $\mathit{\gamma }$= $\frac{C_p}{C_v}$ , es el cociente de calores específicos, de esta manera obtenemos la compresibilidad del aire.

$\mathbf{𝐊}$ =$-\mathbf{𝐕}\frac{dP}{dV}$= $\mathit{\gamma }\mathbf{𝐏}$

Siendo P la presión en el equilibrio .Por lo tanto , la velocidad del sonido

$C_{sonido}$ = $\sqrt{\frac{\mathit{\gamma }P}{\rho }}$ = $\sqrt{\frac{\mathit{\gamma }PV}{m}}$ = $\sqrt{\frac{\mathit{\gamma }nRT}{m}}$ = $\sqrt{\frac{\mathit{\gamma }RT}{M}}$

Es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura del gas . Aquí, M es la masa de un mol de gas.

Referencias

[1] Vibrations and Waves in Physics, Autor: Iain G. Main, Editorial: Cambridge, tercera edición

[2] Física para las ciencias de la vida, Autor: Alan H. Cromer, Editorial Reverté