Ondas: Membrana

Ecuación de onda para membranas

En la sección Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversalesse mencionan algunos casos de ondas en una dimensión. Para el caso de dos dimensiones se considera una membrana estirada y flexible siendo esta la contraparte en dos dimensiones de la cuerda estirada y flexible.

Se considera que la membrana se encuentra en un principio en reposo en el plano xy con una tensión superficial ($\tau$) a lo largo de cualquier línea recta que cruce la membrana, el análogo bidimensional de la tensión del a cuerda, y que la membrana posee una densidad por unidad de área ($\sigma$).

Supongamos que tenemos un elemento rectangular $\Delta x$,$\Delta y$ de la membrana, cuando la membrana sufre un desplazamiento surge una fuerza neta en dirección del eje z por cada pareja de fuerzas de tensión $\tau \Delta x$ y $\tau \Delta y$ que actúan en las cuatro orillas del elemento rectangular. Cada par puede considerarse el equivalente a la tensión en una cuerda hipotética que consiste de una tira de la membrana donde su ancho mide $\Delta x$ y se extiendo a lo largo del eje y, o de ancho $\Delta y$ y se extiende a lo largo del eje x. Para la primera tira la fuerza neta en la dirección del eje z es:

$\tau \Delta x\left({\frac {\partial \Psi }{\partial y}}_{y+\Delta y}-{\frac {\partial \Psi }{\partial y}}_{y}\right)=\tau \Delta x{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}\Delta y$

Para la segunda tira, la fuerza neta es:

$\tau \Delta y\left({\frac {\partial \Psi }{\partial x}}_{x+\Delta x}-{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}_{x}\right)=\tau \Delta y{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}\Delta x$

La suma de estas fuerzas debe de ser igual a la masa de la membrana $\sigma \Delta x\Delta y$ por su aceleración, eso es,

$\Delta x\Delta y\tau \left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}\right)=\Delta x\Delta y\sigma {\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}$

Dividiendo la ecuación entre $\Delta x\Delta y$ se obtiene la ecuación de onda tal que,

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}={\frac {1}{C_{m}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}$

Donde,

$C_{m}=\left({\frac {\tau }{\sigma }}\right)^{1/2}$

Es la velocidad de propagación para una onda transversal en la membrana.

Dado que se encuentra en un plano la ecuación de onda puede convertirse de coordenadas cartesianas a coordenadas polares quedando de la siguiente manera

${\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Psi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial \alpha ^{2}}}={\frac {1}{C_{m}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}$

--Alejandro Angel Galvan Garcia 21:50 26 mar 2012 (UTC)