Ondas: Gaussianas

Haces Gaussianos

Un haz gaussiano es representado por

$a\left(x,y,z\right)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {q_{0}}{w_{0}q\left(z\right)}}e^{ikz+ik{\frac {x^{2}+y^{2}}{2q\left(z\right)}}},$

donde el radio complejo de curvatura esta dado por

${\frac {1}{q\left(z\right)}}\equiv {\frac {1}{R\left(z\right)}}+i{\frac {\lambda }{\pi w^{2}\left(z\right)}}.$

Esta expresión es solución de la ecuación paraxial. La amplitud del campo es entonces

$u\left({x,y,z}\right)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}{\frac {1}{w\left(z\right)}}e^{ikz+i\psi \left(z\right)}e^{ik{\frac {x^{2}+y^{2}}{2R\left(z\right)}}-{\frac {x^{2}+y^{2}}{w^{2}\left(z\right)}}}$

En espacio libre

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): q=z+q_{0}=z+i z_{R}

donde

$q_{0}=i{\frac {\pi w_{0}^{2}}{\lambda }}$

y la distancia de Rayleigh es

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z_{R}=\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda}

el ancho del haz es:

$w=w_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {z}{z_{R}}}\right)^{2}}}$

su radio de curvatura es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): R=z+\frac{z_{R}^{2}}{z}

y la fase añadida es

$\psi =\arctan \left({\frac {z}{z_{R}}}\right)$

La potencia del haz en función del radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): a de la apertura:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): P=1-e^{-\frac{2a^{2}}{w^{2}}}

La divergencia del haz es:

$\theta _{1/e}={\frac {\lambda }{\pi w_{0}}}$

Para una lente de distancia focal Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): f , el diámetro en el foco

es:

$d_{0}\approx {\frac {2f\lambda }{D}}$

donde $D$ es el diámetro de haz a la entrada de la lente.

plano de máxima curvatura

Para determinar la zona en donde la curvatura de la onda es más severa nos valemos de la expresión que define el radio de curvatura

$R(z)=(z-z_{0})+{\frac {z_{R}^{2}}{(z-z_{0})}}.$

Para encontrar el radio de máxima curvatura derivo la función anterior y posteriormente la igualo a cero

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{dR(z)}{dz}=1-\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})^{2}}.

Igualando a cero

$1-{\frac {z_{R}^{2}}{(z-z_{0})^{2}}}=0.$

Lo cual después de algunos despejes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): z^{2}_{R}=(z-z_{0})^{2}.

En esta última expresión tenemos que tener cuidado al despejar $z\$ ya que nos encontraremos con dos raíces una positiva y una negativa i.e.

$\pm {\sqrt {z_{R}^{2}}}=z-z_{0}.$

Las soluciones son

$z=z_{0}\pm z_{R}.$

es decir, la máxima curvatura se enucentra en la distancia de Rayleigh. Y la segunda

$z_{2}^{}=z_{0}-z_{R}.$

Era de esperarse un resultado así de simétrico puesto que la onda se propaga de igual forma en ambas direcciones, cabe señalar que la curva es más severa cuando estamos a una distancia de Rayleigh $z_{R}\$.

references

--Mfg 23:11 22 oct 2007 (CDT)