Ver el código de «Ondas: Gaussianas»

==Haces Gaussianos==

Un haz gaussiano es representado por <ref> Siegman A., ''Lasers'', University Science Books, 1986 [cap.16 p. 626] </ref>
\begin{equation}
a\left(x,y,z\right)=\left(\frac{2}{\pi}\right)^{1/2}\frac{q_{0}}{w_{0}q\left(z\right)}e^{ikz+ik\frac{x^{2}+y^{2}}{2q\left(z\right)}},\label{eq:gaussiano}\end{equation}
donde el radio complejo de curvatura esta dado por :

\begin{equation}
\frac{1}{q\left(z\right)}\equiv\frac{1}{R\left(z\right)}+i\frac{\lambda}{\pi w^{2}\left(z\right)}.
\end{equation}


Esta expresión es solución de la ecuación [[Optica: Paraxial|paraxial]]. La amplitud del campo es entonces:

\begin{equation}
u\left({x,y,z}\right)=\left({\frac{2}{\pi}}\right)^{1/2}\frac{1}{w\left(z\right)}e^{ikz+i\psi\left(z\right)}e^{ik\frac{x^{2}+y^{2}}{2R\left(z\right)}-\frac{x^{2}+y^{2}}{w^{2}\left(z\right)}}.
\end{equation}


<center>[[Imagen:ghaz.gif]]</center>

En espacio libre

\begin{equation}
q=z+q_{0}=z+i z_{R}
\end{equation}

Donde

\begin{equation}
q_{0}=i\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda}
\end{equation}


donde 
(5)<center><math>
q_{0}=i\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda},</math></center>



Y la distancia de Rayleigh es:


\begin{equation}
z_{R}=\frac{\pi w_{0}^{2}}{\lambda}
\end{equation}

El ancho del haz es:

\begin{equation}
w=w_{0}\sqrt{1+\left({\frac{z}{z_{R}}}\right)^{2}}
\end{equation}

Su radio de curvatura es: 

\begin{equation}
R=z+\frac{z_{R}^{2}}{z}
\end{equation}

Y la fase añadida es:

\begin{equation}
\psi=\arctan\left({\frac{z}{z_{R}}}\right).
\end{equation}


<center>[[Imagen:gequifase.gif]]</center>

La potencia del haz en función del radio <math>a</math> de la apertura:

\begin{equation}
P=1-e^{-\frac{2a^{2}}{w^{2}}}.
\end{equation}

La divergencia del haz es: 

\begin{equation}
\theta_{1/e}=\frac{\lambda}{\pi w_{0}}.
\end{equation}

Para una lente de distancia focal <math>f</math>, el diámetro en el foco
es: 

\begin{equation}
d_{0}\approx\frac{2f\lambda}{D},
\end{equation}

Donde <math>D</math> es el diámetro de haz a la entrada de la lente.

===Plano de máxima curvatura===

Para determinar la zona en donde la curvatura de la onda es más severa nos valemos de la expresión que define el radio de curvatura


\begin{equation}
R(z)=(z-z_{0})+\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})}.
\end{equation}


Para encontrar el radio de máxima curvatura se deriva la función anterior.

\begin{equation}
\frac{dR(z)}{dz}=1-\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})^{2}},
\end{equation}

Y posteriormente se iguala a cero.

\begin{equation}
1-\frac{z^{2}_{R}}{(z-z_{0})^{2}}=0.
\end{equation}


Entonces <math>z^{2}_{R}=(z-z_{0})^{2}</math>. En esta última expresión tenemos que tener cuidado al despejar <math>z\ </math> ya que nos encontraremos con dos raíces una positiva y una negativa i.e.

\begin{equation}
\pm\sqrt{z^{2}_{R}}=z-z_{0}.
\end{equation}

Las soluciones son:


\begin{equation}
z = z_{0}\pm z_{R},
\end{equation}


Es decir, la máxima curvatura se encuentra en la distancia de Rayleigh. Era de esperarse un resultado simétrico puesto que la onda se propaga de igual forma en ambas direcciones.

ver [[Optica: Paraxial|paraxial]] la discusión de la '''solución acotada''' y la '''Figura. 4.1'''.

<references/>

[[Categoría:ondas]]

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Aportación de: [[Usuario:Lazaro Palafox Maldonado|LPM]] 11:30 25 nov 2015 (CDT)

[[Usuario:Mfg|Mfg]] 22:16 7 feb 2009 (CST)
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