Ondas: Cuerdas y Corrientes- Transversales

En esta sección se presentan algunos ejemplos de ondas en una dimensión. En la sección Ondas: Membrana se presenta el análogo de las ondas en una cuerda en dos dimensiones, siendo estas las ondas que se propagan en una membrana

Ondas en cuerdas

Los elementos de la cuerda se mueven perpendicularmente a ella, arriba y abajo, con velocidad variable dada por la ecuación de un movimiento vibratorio armónico simple, pero no se desplazan a lo largo de ella. La onda se propaga por la cuerda con una velocidad constante que depende del impulso que se le aplica y del grosor de la cuerda.

La velocidad de vibración vertical es variable como corresponde a un movimiento armónico simple y es

$\mathrm{\Psi }=A\omega sin\omega t$

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio la cuerda está en línea recta. Vamos a ver que ocurre cuando un elemento de longitud $\mathrm{\Delta }z$, situado en la posición $z$ de la cuerda se desplaza una cantidad $\mathrm{\Psi }$ respecto de la posición de equilibrio.

Dibujamos las fuerzas que actúan sobre el elemento y calculamos la aceleración del mismo aplicando la segunda ley de Newton. La fuerza que ejerce la parte izquierda de la cuerda sobre el extremo izquierdo del elemento es igual a la tensión $T$ , y la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto, formando un ángulo $\alpha$ con la horizontal. La fuerza que ejerce la parte derecha de la cuerda sobre el extremo derecho del elemento es igual a la tensión $T$ ; la dirección es tangente a la cuerda en dicho punto y forma el ángulo ${\alpha }^{\prime }$ con la horizontal.

Como el elemento se desplaza en dirección vertical, hallamos la resultante de las componentes de las dos fuerzas en esta dirección:

$F_{\mathrm{\Psi }}=T(\sin {\alpha }^{\prime }-\sin \alpha )$

Si la curvatura de la cuerda no es muy grande, los ángulos ${\alpha }^{\prime }$ y $\alpha$ son pequeños y sus senos se pueden sustituir por tangentes:

$F_{\mathrm{\Psi }}=T(\tan {\alpha }^{\prime }-\tan \alpha )=T(\mathrm{\Delta }\tan \alpha )$

La fuerza vertical sobre el pequeñísimo elemento de la cuerda aumenta en una cantidad diferencial el ángulo hacia arriba

$(\mathrm{\Delta }\tan \alpha )$.

Además $\tan \alpha =\mathrm{\Delta }$ y $\mathrm{\Delta }z$. Sustituyendo el valor de la diferencial obtenemos la expresión:

$T\frac{\partial }{\partial }(\mathrm{\Delta }\tan \alpha )\mathrm{\Delta }z=T\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}\mathrm{\Delta }z$

Por otra parte, la segunda ley de Newton nos dice que la fuerza $F_{\mathrm{\Psi }}$ sobre el elemento es igual al producto de la masa del elemento por la aceleración vertical (segunda derivada del desplazamiento vertical). La masa del elemento infinitesimal que estamos moviendo es igual al producto de la densidad lineal $\mu$ por la longitud $\mathrm{\Delta }z$ del elemento. La densidad lineal es la masa por unidad de longitud, y si la multiplicamos por la longitud obtenemos la masa del elemento.

Por tanto $F_{\mathrm{\Psi }}=m\cdot a$, que equivale a:

$\left(\mu \mathrm{\Delta }z\right)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}$

Si igualamos esta ecuación con la de la fuerza tenemos:

$\left(\mu \mathrm{\Delta }z\right)\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}=T\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}\mathrm{\Delta }z$

Al simplificar la ecuación:

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}=\frac{T}{\mu }\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}$

que al compararla con la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio:

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}=v^2\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}$

permite determinar la dependencia de la velocidad de propagación de las ondas transversales en la cuerda con la tensión de la cuerda $T(N)$ y con su densidad lineal $\mu$ (kg/m):

$v=\sqrt{\frac{T}{\mu }}$

Atenuación en una cuerda

Los sistemas de la onda son afectados por fuerzas que causan una onda de viaje y pierde su energía cuando se propaga a través del medio. Podemos discutir el proceso imaginando una cuerda estirada a ser sumergida en un fluido, se agregaría entonces a la fuerza que actúa en un segmento de longitud $\mathrm{\Delta }z$ la nueva fuerza $-\beta \left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\right)\mathrm{\Delta }z$ dónde $\beta$ es la resistencia por unidad de longitud. Esta fuerza pone un nuevo término en la ecuación de la onda

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}\approx \frac{T}{\mu }\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}\right)-\frac{\beta }{\mu }\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\right)$

Nosotros discutiremos esta ecuación en la forma regular

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}+\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\right)=v^2\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}\right)(I)$

donde

$\mathrm{\Gamma }\equiv \frac{\beta }{\mu }$

Impedancia característica compleja

El concepto de impedancia característica se puede aplicar el este caso en que hay una diferencia de la fase entre la fuerza transversal y la velocidad transversal en una onda viajera.

Para cualquier onda sinusoidal viajera, en la forma D, la fuerza transversal es

$-T\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z}\right)=Re\left[ikTDexp\left[i(\omega t-kz)\right]\right]$

tiene una amplitud de números complejos $ikTD$. Sabemos que la amplitud compleja de la velocidad es $i\omega D$. Con estas dos cantidades nosotros podemos formar la impedancia característica compleja

$Z_o\left(\omega \right)=T\frac{k}{\omega }=\frac{T(K-ik)}{\omega }(II)$

Ondas en cables

Deseamos encontrar la ecuación de la onda que gobierna las perturbaciones eléctricas en una longitud uniforme de cable. Nosotros no haremos ninguna asunción acerca de la sección transversal del cable, aunque el ejemplo mostrado en fig. 1 simplemente son dos alambres paralelos separados por un espacio aéreo. Usaremos la coordenada z para medir la distancia a lo largo del cable de un extremo. Asumimos que, antes de que la perturbación llegue, la diferencia de potencial entre los conductores es cero por todas partes, y que ninguna corriente está fluyendo.

La figura 1(a) muestra el estado de la situación a algún instante durante la perturbación. El voltaje por el cable a $z$ se ha vuelto ${\mathrm{\Psi }}_v$. Al mismo momento las corrientes ${\mathrm{\Psi }}_I$ fluyen en los dos conductores, en las direcciones mostradas; sus magnitudes son las mismas porque el cable es uniforme a lo largo de su longitud. A la posición $z+\mathrm{\Delta }z$ y el mismo momento, el voltaje correspondiente y valores actuales son ${\mathrm{\Psi }}_v+\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Psi }}_v$ y ${\mathrm{\Psi }}_I+\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Psi }}_I$. Dondequiera que existe una diferencia de potencial por el cable debe haber también cargas de signo opuesto en los dos conductores. Si nosotros pensamos en el cable como un gran número de condensadores cortos conectados en paralelo, la carga instantánea en el condensador entre $z$ y $z+\mathrm{\Delta }z$ es $\left(C_o\mathrm{\Delta }z\right){\mathrm{\Psi }}_v$, dónde $C_o$es la capacitancia por unidad de longitud en el cable; vea fig. 1(b). La carga, y por consiguiente el voltaje, deben cambiar con el tiempo. De hecho, la carga aumenta en proporción

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Psi }}_I=-\frac{\partial }{\partial t}\left(C_o\mathrm{\Delta }z{\mathrm{\Psi }}_v\right)=-C_o\mathrm{\Delta }z\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_v}{\partial t}\right)$

Al llevar al limite la ecuación anterior los valores de ∆z resultan despreciables entonces:

$\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_I}{\partial z}=-C_o\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_v}{\partial t}\right)(1)$

La corriente también cambiará con respecto al tiempo, y nosotros sabemos que fluctuando la corriente da lugar al voltaje inducido. La manera más fácil de discutir éstos es imaginar que el cable realmente es una cadena de vueltas cortas de longitud $\mathrm{\Delta }z$, aislado. La vuelta a $z$ en la fig. l(c) lleva una corriente instantánea ${\mathrm{\Psi }}_I$. Si $\mathrm{\Delta }z$ es bastante pequeño, las corrientes imaginarias perpendiculares al cable estarán canceladas por las corrientes perpendiculares en las vueltas de la corriente de a lado, al ser de efecto neto igual que esa deuda a las corrientes en el cable real. Nosotros sabemos calcular el voltaje inducido en una vuelta cerrada; de esta manera nosotros podemos entender la inducción de voltajes a lo largo del cable.

Si la misma inductancia por unidad de longitud del cable es $L_o$, entonces la vuelta imaginaria entre $z$ y $\mathrm{\Delta }z$ tiene la inductancia $L_o\mathrm{\Delta }z$. El aumento en proporción nos da un voltaje inducido $-L_o\mathrm{\Delta }z$ que parecerá redondo en esta vuelta. La parte del incremento de voltaje $\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Psi }}_v$ entre $z$ y $z+\mathrm{\Delta }z$ viene de este voltaje inducido. El resto simplemente es la contribución de la ley del Ohm debido a la resistencia de los conductores. Al combinar estas dos condiciones

$\mathrm{\Delta }{\mathrm{\Psi }}_v=-L_o\mathrm{\Delta }z\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_I}{\partial t}\right)-R_o\mathrm{\Delta }z{\mathrm{\Psi }}_I$

donde $R_o$ es la resistencia por unidad de longitud. Para una vuelta corta llevamos al limite la ecuación anterior los valores de ∆z resultan despreciables entonces:

$\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_v}{\partial z}=-L_o\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_I}{\partial t}\right)-R_o{\mathrm{\Psi }}_I(2)$

La ecuación de la onda para ${\mathrm{\Psi }}_v$ se encuentra rápidamente diferenciando la ecuación (1) con respecto a t, diferenciando la ecuación (2) con respecto a z, y eliminando las derivadas de ${\mathrm{\Psi }}_I$. El resultado es

$\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_v}{\partial t^2}+\frac{R_o}{L_o}\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_v}{\partial t}\right)=\frac{1}{L_o{C}_o}\left(\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_v}{\partial z^2}\right)(3)$

La ecuación no dispersiva de onda

$\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial t^2}+\mathrm{\Gamma }\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}\right)=c^2\left(\frac{{\partial }^2\mathrm{\Psi }}{\partial z^2}\right)$

con

$c={\left(\frac{1}{L_o{C}_o}\right)}^{\frac{1}{2}}$

$\mathrm{\Gamma }=\frac{R_o}{L_o}(4)$

Las Analogías Mecánicas.

Nosotros nos aprovechamos de nuestro conocimiento del prototipo del sistema (la cuerda estirada) estableciendo un juego de analogías (tabla 1) para hacer las nuevas analogías consistente con el sistema, por ejemplo $L_o$ (la inductancia por unidad de longitud del cable) con $\mu$ (la masa por unidad de la longitud de la cuerda). Semejantemente, nosotros conectamos $\frac{1}{C_o}$ con la tensión T, así como $\frac{1}{C}$ da lugar a s. La resistencia eléctrica por unidad de longitud $R_o$ va naturalmente con la resistencia mecánica por unidad de longitud $\beta$.

Nosotros nos hemos encontrado previamente la carga por unidad de longitud $C_o{\mathrm{\Psi }}_v$, sin embargo. Si escribimos esto como, cada cantidad que involucra ${\mathrm{\Psi }}_v$ puede identificarse rápidamente con una cantidad análoga en el lado izquierdo de la tabla. Las cantidades restantes, involucrando ${\mathrm{\Psi }}_I$, puede tratarse semejantemente escribiendo la corriente como $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}$.

Para identificar la carga $\mathrm{\Psi }$ se significaría integrando $C_o{\mathrm{\Psi }}_v$ con respecto a $z$, o ${\mathrm{\Psi }}_I$ con respecto a $t$. En cualquier caso el resultado contendría un término constante arbitrario. Claramente ${\mathrm{\Psi }}_v$ es una variable más conveniente que $\mathrm{\Psi }$ para las ondas del cables. No necesitamos ser específicos sobre la identidad de la carga $\mathrm{\Psi }$, y el lado derecho de la tabla 1 no contienen ninguna entrada para $\mathrm{\Psi }$. Vale la pena mencionar que sería ${\mathrm{\Psi }}_I$ una variable igualmente satisfactoria para la descripción de ondas del cable. La ecuación de la onda para la corriente, se encuentra diferenciando la ecuación (1) con respecto a $z$ y la ecuación (2) con respecto a $t$

$\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_I}{\partial t^2}+\frac{R_o}{L_o}\left(\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}_I}{\partial t}\right)=\frac{1}{L_o{C}_o}\left(\frac{{\partial }^2{\mathrm{\Psi }}_I}{\partial z^2}\right)$

es idéntico con la ecuación (3) para el voltaje; pero obviamente un juego diferente de analogías se necesitaría. Es una buena idea para hablar sobre “ondas de voltaje” o “ondas de corriente”, para hacerlo bastante claro si la variable en uso es ${\mathrm{\Psi }}_v$ o ${\mathrm{\Psi }}_I$.

Cable Coaxial.

Un tipo de cable ampliamente usado para los señales de frecuencia alta consiste en un alambre cobrizo rodeado simétricamente por un cilindro sin sustancia (ver figura). Por razones mecánicas los conductores deben apoyarse de algún material aislante, pero para la simplicidad nosotros pretenderemos inicialmente que sólo tienen aire entre ellos.

Pueden calcularse el capacitancia y la inductancia de un cable coaxial bastante simple. En algunos libros de texto de electricidad se encuentan formulas como estas

$\frac{1}{C_o}=\left(\frac{1}{2\pi {\epsilon }_o}\right)\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)$

$L_o=\left(\frac{{\mu }_o}{2\pi }\right)\ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right)(5)$

para un cable conductores cuyos radios internos y externos son respectivamente $r_1$ y $r_2$, en el vacío. El valor de $\ln \left(\frac{r2}{r1}\right)$ es improbable que difiera mucho de 1; por consiguiente $C_o$ será varios tens de $pF{m}^{-1}$, y $L_o$ un poco menor $1\mu H{m}^{-1}$, para casi cualquier cable coaxial con un núcleo de aire. Los valores exactos de $C_o$ y $L_o$, sin embargo, no influyen en la velocidad de fase. De las ecuaciones (4) y (5) tenemos

$c={\left({\mu }_o{\epsilon }_o\right)}^{\frac{-1}{2}}=2.998\times 10^{8}m{s}^{-1}(6)$

y este valor se obtiene para un cable de cualquier sección transversal, desde que siempre resulta ese $L_o$ depende de la geometría del cable de la misma manera como el $\frac{1}{C_o}$. El valor calculado es para un cable aislado(vacío). La permitividad del aire es suficientemente cercano a ${\epsilon }_o$ para poder (6) ser usado por el aislamiento aéreo. En la práctica están claro que los conductores no están separados por el aire sino por un aislador sólido como el polietileno. La velocidad de fase está reducida porque la permitividad en el espacio entre los conductores es significativamente mayor que ${\epsilon }_o$. El polietileno tiene permitividad $2.3{\epsilon }_o$; así c puede ser tan pequeño como dos terceras partes del valor anterior (6).

La Atenuación en un cable

El parámetro $\frac{\mathrm{\Gamma }}{\omega }$ cuyo tamaño nos dice si es muy pequeño o grande se da en este caso por $\frac{R_o}{\omega L_o}$. Para un cable coaxial aislado $R_o$podrían ser típicamente $\approx 0.1\mathrm{\Omega }{m}^{-1}$ tomando $L_o\approx 1\mu H{m}^{-1}$ nos da $\mathrm{\Gamma }\approx 10^5{s}^{-1}$. En los cables con aisladores sólidos entre los conductores, atenuación debido a " las pérdidas del dieléctrico” se pone importante a las frecuencias más altas. En la teoría de onda de cable, las pérdidas del dieléctrico pueden permitirse introduciendo un parámetro que representa el conductancia por la unidad de longitud entre los conductores. Los espacios de aire están normalmente incorporados en el aislamiento de cables de “pérdida baja”.

Impedancia Característica.

La impedancia característica de una cuerda es la fuerza $T\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z}\right)$ dividido por la velocidad $\left(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial z}\right)$. Con la ayuda de la tabla podemos ver que la cantidad equivalente para un cable simplemente es $\mid \frac{{\mathrm{\Psi }}_v}{{\mathrm{\Psi }}_I}\mid$. Asumiendo que es muy pequeño, podemos escribir

$Z_o(\omega )\approx {\left(\frac{L_o}{C_o}\right)}^{\frac{1}{2}}(1-\frac{i{R}_o}{2\omega L_o})(7)$

por la analogía con la expresión

$Z_o(\omega )\approx (\frac{T}{c})(\frac{1-i\mathrm{\Gamma }}{2\omega })=(T\mu {)}^{\frac{1}{2}}(\frac{1-i\mathrm{\Gamma }}{2\omega })$

para la cuerda.

En la mayoría de los casos nosotros podemos olvidarnos de $R_o$ completamente, y usar la expresión ${\left(\frac{L_o}{C_o}\right)}^{\frac{1}{2}}$. A diferencia de la velocidad de fase, el valor de la impedancia característica depende de la geometría del cable. Para un cable coaxial aislado con la ecuaciones (5) y (7) tenemos

$Z_o\approx {\left(\frac{{\mu }_o}{4{\pi }^2{\epsilon }_o}\right)}^{\frac{1}{2}}ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=60.0\mathrm{\Omega }\times ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)(8)$

El uso de un aislador sólido dará un resultado más pequeño que el valor calculado en (8).

Referencias

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Aportación de: Sol 15:09 2 dic 2007 (CST)

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