Ondas: Atenuacion suave

Atenuación (sin propagación)

Supongamos que en un oscilador armónico no actúan fuerzas de fricción. Si esta suposición fuese cierta, un péndulo o un peso suspendido en un resorte oscilarían indefinidamente. En realidad, la amplitud de la oscilación disminuye poco a poco hasta cero como resultado de la fricción. En este caso se dice que el movimiento está amortiguado y se le conoce como movimiento armónico amortiguado.

Para describir cómo las fuerzas que actúan sobre el oscilador afectan la vibración, tomemos un sistema de resorte-masa con una fuerza de amortiguación o atenuación debida a que la masa se mueve dentro de un cilindro lubricado (fig. 1).

fig. 1

En este sistema, asumimos que la masa experimenta una fuerza de fricción o de amortiguación $F_{a}\,\!$ opuesta siempre al movimiento, y cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea. Entonces se tiene:

$F_{a}=-b\left({\frac {dx}{dt}}\right)$

Donde $b\,\!$ es una constante llamada resistencia que puede ser ajustada dependiendo del grado de lubricación del cilindro. Sus unidades son $Kgs^{-1}$.

Escribimos la segunda ley de Newton:

$ma=F\,\!$

Pero $F\,\!$ es la suma de la fuerza del resorte $\left(F_{R}=-k_{R}x\right)$ y la fuerza de amortiguación. Sustituyendo esto en la segunda ley de Newton tenemos:

$ma=F_{R}+F_{a}\,\!$

En términos de derivadas:

$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-k_{R}x-b{\frac {dx}{dt}}\,\!$

Dividimos entre m y el término de la derecha lo pasamos al lado izquierdo de la ecuación:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\gamma {\frac {dx}{dt}}+\omega _{o}^{2}x=0\,\!$

Donde:

$\gamma \equiv {\frac {b}{m}}\,\!$ se le cococe como la anchura o el ancho.

$\omega _{o}\equiv \left({\frac {k_{R}}{m}}\right)^{\frac {1}{2}}\,\!$ es la frecuencia angular.

Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Entonces damos una solución de la forma:

$x=e^{rt}\,\!$

Esto lleva a que la ecuación característica de la ecuación diferencial es:

$r^{2}+\gamma r+\omega _{o}^{2}=0\,\!$

Entonces:

$r=-{\frac {1}{2}}\gamma \pm \left({\frac {1}{4}}\gamma ^{2}-\omega _{o}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\,\!$

Dependiendo el tamaño relativo de $\gamma \,\!$ y $\omega _{o}\,\!$, la expresión entre paréntesis puede ser positiva, negativa ó cero, que tendrá una gran influencia en la naturaleza del movimiento. De ahora en adelante, distinguiremos la atenuación suave $\left(\gamma <2\omega _{o}\right)$, atenuación severa $\left(\gamma >2\omega _{o}\right)$ y atenuación crítica $\left(\gamma =2\omega _{o}\right)$. Nosotros nos enfocaremos al estudio del primer caso.

Atenuación suave

En la atenuación suave se tiene la raíz cuadrada de una cantidad negativa, llevándonos a un exponente complejo. Escribimos:

$r=-{\frac {1}{2}}\gamma \pm i\omega _{f}\,\!$

Donde:

$\omega _{f}\equiv \left(\omega _{o}^{2}-{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\,\!$

Una solución de la ecuación diferencial es :

$x(t)=Ae^{-{\frac {1}{2}}\gamma t}\cos \left(\omega _{f}t+\phi \right)...(1)$

Tenemos dos constantes arbitrarias $A\,\!$ y $\phi \,\!$ que podemos ajustar utilizando las condiciones iniciales del movimiento. Entonces supongamos que se toma la masa que está unida al resorte y se aleja una distancia $A_{1}\,\!$ respecto a su posición de equilibrio. Además la velocidad inicial, es decir, la velocidad del sistema al momento de soltar la masa es igual a cero. Así tenemos lo siguiente:

$x(0)=A\cos \phi =A_{1}\,\!$

$x'(0)=-{\frac {1}{2}}\gamma A\cos \phi -\omega _{f}A\sin \phi =0\,\!$

Dividendo la segunda ecuación entre la primera:

$\tan \phi =-{\frac {\gamma }{2\omega _{f}}}\,\!$

Esto lleva a que la amplitud inicial es:

$A=A_{1}\sec \phi =\left({\frac {\omega _{o}}{\omega _{f}}}\right)A_{1}$

Lo que tenemos aquí es una vibración amortiguada suave o atenuación suave (fig. 2). Cuando existe fricción, la frecuencia es menor y el período mayor en el movimiento. La fricción hace más lento al movimiento. Si no hubiera fricción, $b=0\,\!$, entonces $\gamma =0\,\!$ y $\omega _{f}=\omega _{o}\,\!$, que es la frecuencia angular del movimiento sin amortiguación. Cuando hay fricción, $\omega _{f}\,\!$ es menor que $\omega _{o}\,\!$.

En la vibración amortiguada, la amplitud decae exponencialmente con el tiempo $e^{-{\frac {1}{2}}\gamma t}$. Es decir, cae por un factor $e^{-1}=0.368\,\!$ cuando el tiempo se incrementa por $2/\gamma \,\!$.

Obsérvese que la amplitud del movimiento disminuye gradualmente a cero. El intervalo de tiempo $\tau \,\!$ durante el cual la amplitud disminuye una fracción $e^{-1}\,\!$ su valor inicial recibe el nombre de tiempo de vida promedio de la oscilación. El factor de amplitud es $Ae^{-{\frac {1}{2}}\gamma t}$ así que $\tau =2/\gamma \,\!$. Si no hubiera fricción,$b=0\,\!$, así $\gamma =0\,\!$ y la amplitud tendría un valor constante $A\,\!$ conforme transcurriese el tiempo, y el tiempo de vida medio sería infinito.

Si la fuerza de fricción es bastante grande, $b\,\!$ se hace tan grande que la ecuación (1) ya no es solución de la ecuación diferencial del movimiento. Entonces el movimiento no tiene periodicidad. El cuerpo simplemente regresa a su posición de equilibrio al soltarlo desde su punto inicial.

Particularmente, cuando $\gamma \ll \omega _{o}\,\!$, a esta condición de movimiento se le llama atenuación muy suave, donde $\omega _{f}\approx \omega _{o}\,\!$.

fig. 2. Sistema con atenuación suave. La masa unida al resorte es llevada a una posición inicial $A1$ respecto a su posición de equilibrio y es soltada con una velocidad inicial igual a cero. Las gráficas rojas remarcan el decaimiento exponencial de las oscilaciones del sistema.

Energía en el movimiento amortiguado

Como la fuerza de fricción o amortiguación siempre se opone al movimiento, continuamente remueve energía del sistema, por lo que la energía ya no es constante como ocurre en el oscilador armónico sin fricción.

La energía total del sistema es la suma de la energía cinética del sistema y la energía potencial del resorte:

$E=K+U={\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}...(2)\,\!$

Para observar cómo varía la energía con el tiempo derivamos la ecuación anterior respecto al tiempo y utilizamos la regla de la cadena:

${\frac {dE}{dt}}={\frac {dE}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dt}}+{\frac {dE}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\left(m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+kx\right){\frac {dx}{dt}}\,\!$

Así, encontramos de la segunda ley de Newton:

${\frac {dE}{dt}}=-b\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}...(3)\,\!$

La energía disminuye conforme pasa el tiempo, lo cual es porque las vibraciones van disminuyendo gradualmente. El rango en el cual la energía decae es grande cuando la resistencia $b\,\!$ es grande.

La ecuación (3) es válida para cualquier tipo de atenuación: suave, severa o crítica.

Una fórmula explícita para $E\,\!$ bajo las condiciones de atenuación resulta de sustituir (1) en (2):

$E={\frac {1}{2}}mA^{2}e^{-\gamma t}\left\{\omega _{o}^{2}+{\frac {1}{2}}\gamma \omega _{f}\sin \left[2\left(\omega _{f}t+\phi \right)\right]+{\frac {1}{4}}\gamma ^{2}\cos \left[2\left(\omega _{f}t+\phi \right)\right]\right\}\,\!$

El segundo y el tercer término de la derecha en la ecuación anterior describen pequeñas oscilaciones de $E\,\!$ dentro de cada ciclo, como se observa en la fig. 3, pero no contribuyen casi nada para un promedio de varios ciclos completos. Entonces podemos escribir a la energía promedio:

$\left\langle E\right\rangle \approx {\frac {1}{2}}m\omega _{o}^{2}A^{2}e^{-\gamma t}\,\!$

Donde $\left\langle E\right\rangle \,\!$ cae un factor $e^{-1}\,\!$ cuando el tiempo se incrementa $1/\gamma \,\!$.

fig. 3. Energía del sistema amortiguado en función del tiempo.

Un parámetro equivalente para describir la ligereza o suavidad de una amortiguación es el factor-Q o factor de calidad, dado por:

$Q\equiv {\frac {\omega _{o}}{\gamma }}\,\!$

Un sistema con atenuación suave tiene $Q>1/2\,\!$, y un sistema con atenuación muy suave tiene $Q\approx \omega _{f}/\gamma \gg 1$.

Un sistema con atenuación suave completa muchos ciclos antes de que la amplitud caiga un factor $e^{-1}\,\!$. El factor-Q también es la medida de este número de ciclos (n), por lo que el factor-Q también puede ser definido como:

$Q=\pi n\,\!$

Es decir, ocurren $Q/\pi \,\!$ ciclos entre puntos donde las amplitudes están en el rango $e\,\!$.

Atenuación en ondas viajeras

La mayoría de los sistemas de ondas reales son afectados por fuerzas de atenuación las cuales causan que una onda viajera pierda su energía mientras se propaga a través del medio. Entonces aparece una nueva fuerza de atenuación $-\beta \left(\partial \psi /\partial t\right)\Delta z\,\!$ actuando sobre un segmento de longitud $\Delta z\,\!$, $\beta \,\!$ es la resistencia por unidad de longitud. Esta fuerza agrega un nuevo término en la ecuación de onda, que ahora se lee:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\beta }{\mu }}\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)\,\!$

Donde $\mu \,\!$ es la masa por unidad de longitud. Esta ecuación también se puede expresar como:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Con $\Gamma \equiv \beta /\mu \,\!$.

Esta ecuación se satisface con la siguiente solución:

$\psi =A\cos \left(\omega t-kz+\phi \right)\,\!$

También se puede escribir como:

$\psi =Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-kz\right)\right]\right\}$

Donde $D=Ae^{i\phi }\,\!$

$Re\,\!$ significa que sólo tomaremos la parte real del complejo entre llaves.

La nueva relación entre la frecuencia angular $\omega \,\!$ y el número de onda $k\,\!$ debido a la atenuación es:

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}k^{2}...(4)\,\!$

Como $\omega \,\!$ y $\Gamma \,\!$ son reales, $k\,\!$ debe ser complejo, que se puede reescribir como:

$k=K-i\kappa ...(5)\,\!$

Donde $K\,\!$ y $\kappa \,\!$ son reales. Entonces una onda viajera senoidal es descrita por la ecuación:

$\psi =Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz+i\kappa z\right)\right]\right\}=\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}...(6)\,\!$

Que es la ecuación de una onda viajera con atenuación.

La onda dada por (6) difiere de una onda viajera sinusoidal por un factor $e^{-\kappa z}\,\!$. Cada punto vibra armónicamente, y puntos separados por una distancia $2\pi v/\gamma \,\!$ vibran en fase entre sí, sin embargo estos puntos que se encuentran en fase no tienen la misma amplitud.

En este caso la amplitud decae exponencialmente a lo largo de la vibración por un factor $e^{-1}\,\!$ cuando recorre una distancia $2v/\Gamma \,\!$.

Observemos que el decrecimiento exponencial de la amplitud de la onda viajera en función de la distancia que recorre es similar al decrecimiento exponencial de la amplitud en una vibración amortiguada en función del tiempo.

Reescribiendo (4) tenemos:

$\omega ^{2}\left(1-i{\frac {\Gamma }{\omega }}\right)=v^{2}k^{2}\,\!$

El factor $\Gamma /\omega \,\!$ mide el grado de atenuación en una onda de la misma manera que $\gamma /\omega _{o}\,\!$ lo hace para el oscilador amortiguado.

Cuando $\Gamma /\omega \ll 1\,\!$, es decir, cuando $\Gamma \,\!$ es mucho menor que $\omega \,\!$ tenemos una atenuación muy suave:

$\omega ^{2}\left(1-i{\frac {\Gamma }{\omega }}\right)=v^{2}k^{2}\,\!$

$\omega \left(1-i{\frac {\Gamma }{2\omega }}\right)\approx \pm v\left(K-i\kappa \right)\,\!$

Separando las partes real e imaginaria:

$K\approx \pm {\frac {\omega }{v}}\,\!$

$\kappa \approx {\frac {\Gamma }{2v}}\,\!$

fig. 4. Propagación de una onda viajera con atenuación en función de la distancia que recorre.

Bibliografía

Main, Iain G. Vibrations and Waves in Physics. 3a. edición. Cambridge University Press.

Smith, F. G. Optics. Ed. Wiley. 1971.

Resnick, Robert. Física. Parte 1. Ed. C.E.C.S.A. 1982

Rojas Calderón Rafael Alejandro--Kanon1106 18:56 31 mar 2009 (CDT)