Ondas: Atenuacion suave
Atenuación (sin propagación)
Supongamos que en un oscilador armónico no actúan fuerzas de fricción. Si esta suposición fuese cierta, un péndulo o un peso suspendido en un resorte oscilarían indefinidamente. En realidad, la amplitud de la oscilación disminuye poco a poco hasta cero como resultado de la fricción. En este coso se dice que el movimiento está amortiguado y se le conoce como movimietno armónico amortiguado.
Para describir cómo las fuerzas que actúan sobre el oscilador afectan la vibración, tomemos un sistema de resorte-masa con una fuerza de amortiguación o atenuación debida a que la masa se mueve dentro de un cilindro lubricado (fig. 1).
En este sistema, asumimos que la masa experimente una fuerza de fricción Ff opuesta siempre al movimietno, y cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea. Entonces se tiene:
Donde b es una constante llamada resistencia. Sus unidades son Kgm-1.
Escribimos la segunda ley de Newton:
Pero F es la suma de la fuerza del resorte FR y la fuerza de fricción:
Sustituyendo en la segunda ley:
En términos de derivadas:
Dividimos entre m:
Donde (), (), a γ se le cococe como la anchura y ωo es la frecuencia angular.
Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Entonces damos una solución de la forma:
Esto lleva a que la ecuación característica de la ecuación diferencial es de la forma:
Entonces:
Dependiendo el tamaño relativo de γ y ωo, la expresión () puede ser positiva, negativa ó cero, que tendrá una gran influencia en la naturaleza del movimiento. De ahora en adelante, distinguiremos la atenuación suave (), atenuación severa () y atenuación crítica (). Nosotros nos enfocaremos al estudio del primer caso.
Atenuación suave
En la atenuación suave se tiene la raíz cuadrada de una cantidad negativa, llevándonos a un exponente complejo. Escribimos:
Donde ().
La solución de la ecuación diferencial es :
También se puede expresar como:
Lo que tenemos aquí es una vibración amortiguada suave o atenuación suave (fig. 2). Cuando existe fricción, la frecuencia es menor y el período mayor. La fricción hace más lento al movimiento. Si no hubiera fricción, b=γ=0 y ωf=ωo, que es la frecuancia angular del movimiento sin amortiguación. Cuando hay fricción, ωf es menor que ωo.
En la vibración amortiguada, la amplitud decae exponencialmente con el tiempo (). es decir, cae por un factor () cuando el tiempo se incrementa por ().
Obsérvese que la amplitud del movimiento disminuye gradualmente a cero. El intervalo de tiempo τ durante el cual la amplitud disminuye una fracción () su valor inicial recibe el nombre de tiempo de vida promedio de la oscilación. El factor de amplitud es () así que (). Si no hubiera fricción, γ=b=0 y la amplitud tendría un valor constante A conforme transcurriese el tiempo, y el tiempo de vida medio sería infinito.
Si la fuerza de fricción es bastante grande, b se hace tan grande que la ecuación (1) ya no es solución de la ecuación diferencial del movimiento. Entonces el movimiento no tiene periodicidad. El cuerpo simplemente regresa a su posición de equilibrio al soltarlo desde su punto inicial A.
Particularmente, cuando (), a esta condición de movimiento se le llama atenuación muy suave, donde ().
Energía en el movimiento amortiguado
Como la fuerza de fricción o amortiguación siempre se opone al movimiento, continuamente remueve energía del sistema, por lo que la energía ya no es constante como ocurre en el oscilador armónico.
La energía total del sistema es:
Así, encontramos de la segunda ley de Newton:
La energía disminuye conforme pasa el tiempo, lo cual es porque las vibraciones van disminuyendo gradualmente. El rango en el cual la energía decae es grande cuando la resistencia b es grande.
La ecuación (3) es válida para cualquier tipo de atenuación: suave, severa o crítica.
Una fórmula explícita para ET bajo las condiciones de atenuación resulta de sustituir (1) en (2):
Para la energía promedio, el segundo y el tercer término de la derecha en la ecuación anterior describen pequeñas fluctuaciones de ET dentro de cada ciclo, pero no contribuyen casi nada para un promedio de varios ciclos completos. Entonces podemos escribir a la energía promedio:
Donde () cae un factor () cuando el tiempo se incrementa ().
Un parámetro equivalente para describir la ligereza o suavidad de una amortiguación es el factor Q o factor de calidad, dado por:
Un sistema con atenuación suave tiene (), y un sistema con atenuación muy suave tiene ().
Un sistema con atenuación suave completa muchos ciclos antes de que la amplitud caiga un factor e. El factor-Q también es la medida de este número de ciclos (n), por lo que el factor-Q también puede ser definido como:
Es decir, ocurren () ciclos entre puntos donde las amplitudes están en el rango e.
Atenuación en ondas viajeras
La mayoría de los sistemas de ondas reales son afectados por fuerzas de atenuación las cuales causan que una onda viajera pierda su energía mientras se propaga a través del medio. Agregamos una nueva fuerza () actuando sobre un segmento de longitud Δz, β es la resistencia por unidad de longitud. Esta fuerza pone un nuevo término en la ecuación de onda, que ahora se lee:
Donde μ es la masa por unidad de longitud. Esta ecuación también se puede expresar como:
Con ().
Esta ecuación se satisface con cualquiera de las siguientes soluciones:
Donde:
Por comodidad utilizaremos la última ecuación (D) para las siguientes demostraciones.
La nueva relación entre la frecuencia angular ω y el número de onda k debido a la atenuación es:
Como ω y Γ son reales, k debe ser complejo, que se puede reescribir como:
Donde K y κ son reales. Entonces una onda viajera senoidal es descrita por la ecuación:
Que es la ecuación de una onda viajera con atenuación.
Reescribiendo (4) tenemos:
El factor () mide el grado de atenuación en una onda de la misma manera que () lo hace para el oscilador amortiguado.
Cuando (), es decir, cuando Γ es mucho menor que ωo tenemos una atenuación muy suave:
Separando las parrtes real e imaginaria:
La onda dada por (6) difiere de una onda viajera sinusoidal por un factor (). Cada punto vibra armónicamente, y puntos separados por una distancia () vibran en fase entre sí, sin embargo estos puntos que se encuentran en fase no tienen la misma amplitud.
En este caso la amplitud cae exponencialmente a lo largo de la vibración por un factor e respecto al punto anterior que se encuentra a una distancia ().
El decrecimiento exponencial de la amplitud de la onda viajera con la distancia que recorre es similar al decrecimiento exponencial de la amplitud en una vibración amortiguada con respecto al tiempo.
