Ondas: Atenuacion suave

1. Atenuación (sin propagación)

Supongamos que en un oscilador armónico no actúan fuerzas de fricción. Si esta suposición fuese cierta, un péndulo o un peso suspendido en un resorte oscilarían indefinidamente. En realidad, la amplitud de la oscilación disminuye poco a poco hasta cero como resultado de la fricción. En este coso se dice que el movimiento está amortiguado y se le conoce como movimietno armónico amortiguado.

Para describir cómo las fuerzas que actúan sobre el oscilador afectan la vibración, tomemos un sistema de resorte-masa con una fuerza de amortiguación o atenuación debida a que la masa se mueve dentro de un cilindro lubricado (fig. 1).

En este sistema, asumimos que la masa experimente una fuerza de fricción Ff opuesta siempre al movimietno, y cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea. Entonces se tiene:

Donde b es una constante llamada resistencia. Sus unidades son Kgm-1.

Escribimos la segunda ley de Newton:

Pero F es la suma de la fuerza del resorte FR y la fuerza de fricción:

Sustituyendo en la segunda ley:

En términos de derivadas:

Dividimos entre m:

Donde (), (), a γ se le cococe como la anchura y ωo es la frecuencia angular.

Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Entonces damos una solución de la forma:

Esto lleva a que la ecuación característica de la ecuación diferencial es de la forma:

Entonces:

Dependiendo el tamaño relativo de γ y ωo, la expresión () puede ser positiva, negativa ó cero, que tendrá una gran influencia en la naturaleza del movimiento. De ahora en adelante, distinguiremos la atenuación suave (), atenuación severa () y atenuación crítica (). Nosotros nos enfocaremos al estudio del primer caso.

1.1. Atenuación suave

En la atenuación suave se tiene la raíz cuadrada de una cantidad negativa, llevándonos a un exponente complejo. Escribimos:

Donde ().

La solución de la ecuación diferencial es :

También se puede expresar como:

Lo que tenemos aquí es una vibración amortiguada suave o atenuación suave (fig. 2). Cuando existe fricción, la frecuencia es menor y el período mayor. La fricción hace más lento al movimiento. Si no hubiera fricción, b=γ=0 y ωf=ωo, que es la frecuancia angular del movimiento sin amortiguación. Cuando hay fricción, ωf es menor que ωo.

En la vibración amortiguada, la amplitud decae exponencialmente con el tiempo (). es decir, cae por un factor () cuando el tiempo se incrementa por ().

Obsérvese que la amplitud del movimiento disminuye gradualmente a cero. El intervalo de tiempo τ durante el cual la amplitud disminuye una fracción () su valor inicial recibe el nombre de tiempo de vida promedio de la oscilación. El factor de amplitud es () así que (). Si no hubiera fricción, Particularmente, cuando (), a esta condición se le llama atenuación muy suave, donde ().