Ondas: Atenuacion suave

1. Atenuación (sin propagación)

Supongamos que en un oscilador armónico no actúan fuerzas de fricción. Si esta suposición fuese cierta, un péndulo o un peso suspendido en un resorte oscilarían indefinidamente. En realidad, la amplitud de la oscilación disminuye poco a poco hasta cero como resultado de la fricción. En este coso se dice que el movimiento está amortiguado y se le conoce como movimietno armónico amortiguado.

Para describir cómo las fuerzas que actúan sobre el oscilador afectan la vibración, tomemos un sistema de resorte-masa con una fuerza de amortiguación o atenuación debida a que la masa se mueve dentro de un cilindro lubricado (fig. 1).

En este sistema, asumimos que la masa experimente una fuerza de fricción Ff opuesta siempre al movimietno, y cuya magnitud es proporcional a la velocidad instantánea. Entonces se tiene:

Donde b es una constante llamada resistencia. Sus unidades son Kgm-1.

Escribimos la segunda ley de Newton:

Pero F es la suma de la fuerza del resorte FR y la fuerza de fricción:

Sustituyendo en la segunda ley:

En términos de derivadas:

Dividimos entre m:

Donde (), (), a γ se le cococe como la anchura y ωo es la frecuencia angular.

Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes constantes. Entonces damos una solución de la forma:

Esto lleva a que la ecuación característica de la ecuación diferencial es de la forma:

Entonces:

Dependiendo el tamaño relativo de γ y ωo, la expresión () puede ser positiva, negativa ó cero, que tendrá una gran influencia en la naturaleza del movimiento. De ahora en adelante, distinguiremos la atenuación suave (), atenuación severa () y atenuación crítica (). Nosotros nos enfocaremos al estudio del primer caso.

1.1. Atenuación suave

En la atenuación suave se tiene la raíz cuadrada de una cantidad negativa, llevándonos a un exponente complejo. Escribimos:

Donde ().