Ondas: 3 dimensiones

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Son ondas tridimensionales las que se propagan en el espacio, sus frentes de ondas salen de la fuente de la perturbación expandiéndose en todas direcciones. Ejemplos de ondas tridimensionales son: las ondas sonoras y las ondas electromagnéticas.

Onda sonora producida por un avión que posee una velocidad menor e igual a la del sonido.

Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase \(\phi\) es una función continua de $x,y,z,t$. en un instante dado cualquiera \(t_{0}\), la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.

\(h(x, y, z)=\Phi_{1}\)

Donde \(h(x, y, z)\) es una función de las coordenadas espaciales y \(\Phi_{1}\) es el valor de \(\phi\) correspondiente a una superficie particular en el instante \(t_{0}\)

En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que \(\Phi\) es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Las superficies de onda pueden constituir una familia de esferas concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas,ondas planas, etc., según sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.

Ecuación de onda en tres dimensiones

La función de onda \(\Phi(x,y,z,t)\) dada por la ecuación (14) en el tema Ondas: planas es una solución particular de de la ecuación diferencial en tres dimensiones, calculamos entonces las derivadas parciales de la ecuación (14) antes mencionada


\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi. \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi. \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi. \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi. \end{equation}


Sumando las tres derivadas parciales y usando el hecho de que \(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1\), obtenemos

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-k^{2}\psi. \end{equation}

Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 4 y recordando que \(v=\omega/k\), llegamos a

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}. \end{equation}

que es la ecuación diferencial de onda tridimensional. Obsérvese que $x$, $y$, y $z$ aparecen simétricamente y que la forma es precisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación unidimensional que se puede ver en Ondas: ecuación de onda

La ecuación 6 se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano

\begin{equation} \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^{2}}}. \end{equation}

Por tanto, la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta en términos del laplaciano como:

\begin{equation} \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}. \end{equation}

Soluciones a la ecuación de onda en tres dimensiones.

Las soluciones de la ecuación de onda tridimensional (ecuación 8) no son más difíciles de conseguir que los de la ecuación de onda unidimensional. De hecho, si buscamos soluciones que sean independientes de $y$ y $z$, recuperamos las soluciones obtenidas para la ecuación unidimensional. Entonces, por ejemplo, la solución de onda (compleja) es:

\begin{equation} \psi(x,y=0,z=0,t)= Ae^{ik(x-vt)}. \end{equation}

La cual es independiente de $y$ y $z$, lo que la convierte en una onda desplazándose positivamente en $x$. Ahora veamos su solución general ya dependiente de las 4 variables utilizando $\vec{r}=(x,y,z)$ para reducir lo términos en la ecuación:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)=Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-wt)};\thinspace con \thinspace \vec{r}=(x,y,z). \end{equation}

Se puede ver que tiene la misma forma que la ecuación de onda en una dimensión. Esta solución es mas una proposición de solución que algo obtenido matemáticamente, aunque se puede comprobar que ciertamente es una solución para la ecuación de onda en tres dimensiones. Ahora vamos a encontrar $w$ y $k$ y para ello redefinimos las siguientes ecuaciones:

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi=-k_x^2\psi. \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi=-k_y^2\psi. \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi=-k_z^2\psi. \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi. \]

Entonces la ecuación de onda es:

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}, \] \begin{equation} -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\psi(\vec{r},t)=-\frac{w^2}{v^2}\psi(\vec{r},t). \end{equation}

y despejando $w$

\[ -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=-\frac{w^2}{v^2}, \]

\[ w^2=v^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2), \]

\begin{equation} w=v\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}. \end{equation}

ahora definimos $k$ como $\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)$, entonces $|\vec{k}|=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}$ por lo que $w$ es:

\begin{equation} w=v|\vec{k}|. \end{equation}

Por lo tanto su solución es:

\begin{equation} \psi(x,y,z,t)=Ae^{i(k_xx+k_yy+k_zz\mp wt)}. \end{equation} $\mp$ indica la direccion en la que desplaza la onda ($-$ hacia la parte positiva del eje y $+$ hacia la parte negativa).

Como es habitual, se pueden obtener soluciones reales separando las partes reales e imaginarias. Para verificar que (10) satisface la ecuación de onda, se puede simplemente sustituir (10) en (8) y se comprueba que si se cumple la ecuación de onda, la relación de dispersión (13) hace que eso suceda.

Utilizando otro método se puede verificar que (10) (con (13)) satisface la ecuación de onda utilizando el siguiente argumento (que es un poco complicado): El producto escalar $\vec{k} \cdot \vec{r}$ es un escalar que se define geométricamente, es decir, es independientemente de la orientación de los ejes $(x,y,z)$. Asimismo, el laplaciano es el mismo sin importar el orientación de estos ejes. Para que podamos elegir nuestros ejes de la forma que deseemos, ya que la ecuación de onda no depende de tales elecciones.

Para un vector dado $\vec{k}$, supongamos que elegimos el eje $x$ en la dirección de $\vec{k}$, entonces $\vec{k} \cdot \vec{x}=kx$, por lo que $\psi(x, t)$ toma la forma de la solución (compleja) a la ecuación de onda en una dimensión. Ya hemos encontrado que si $\psi = \psi(x, t)$ la ecuación de onda en tres dimensiones se reduce a la ecuación de onda en una dimensión. Por lo tanto, (10) resuelve (8) ya que se ha reducido la situación al caso unidimensional. Las soluciones a la ecuación de onda de la forma (10) se llaman ondas planas porque en cualquier tiempo dado, ya que se ven iguales a medida que uno se mueve a lo largo de cualquier plano, ya que $\vec{k}\cdot\vec{r}= constante$.

También hay que tomar en cuenta la relación entre la frecuencia y la longitud de onda asociada con la onda plana (10):

\begin{equation} w=|\vec{k}|v= \frac{2\pi}{\lambda}v. \end{equation}

Ésta es la relación de dispersión para ondas planas en tres dimensiones. Podemos ver esta restricción como si fijáramos la frecuencia $w$ en términos de la magnitud de $|\vec{k}|$ pero dejando el vector de onda $\vec{k}$ libre. De hecho, la relación de dispersión, $w = |k|v$ todavía se mantiene en el entorno tridimensional, siempre que interpretemos $|k|$ como la magnitud del vector de onda. Como veremos, cada onda plana que aparece en la descomposición de Fourier de la solución general de (8) es, matemáticamente, sólo una solución sinusoidal compleja de una ecuación de onda unidimensional.

Desafortunadamente, no es tan fácil escribir una fórmula simple para la solución general a la ecuación de onda tridimensional, como si lo es en el caso unidimensional, en nuestro caso el truco de cambiar variables a $x \pm vt $ no sera de ayuda. Sin embargo, el análisis de Fourier es fácilmente generalizable a cualquier número de dimensiones. La idea es que, dada una función $f(x, y, z)$, puede tomar su transformada de Fourier una variable a la vez. Veamos brevemente cómo funciona esto, y para simplificar sólo consideraremos el caso de ondas en el espacio tridimensional, es decir, usaremos la versión continua de la transformada de Fourier.

La transformada de Fourier $h(\vec{k}=h(k_x,k_y,k_z)$ de $f(\vec{r})=f(x.y.z)$ esta definida como:

\begin{equation} h(\vec{k})=(2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3xe^{-i\vec{k}\cdot\vec{r}}f(\vec{r}). \end{equation}

en donde $\vec{k}\cdot\vec{r}=k_xx+k_yy+k_zz$, y el factor $2\pi$ es una normalización que elegimos a nuestra conveniencia, y cada función $f(\vec{r})$ se puede expresar como:

\begin{equation} f(\vec{r})=(2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3ke^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}h(\vec{k}). \end{equation}

y para alguna función $h(\vec{k})$, la región de integración en cada una de estas se denota por "todo el espacio", lo que significa que cada uno de $(x, y, z)$ en (16) y cada uno de $k^x,k^y,k^z)$ en (17) se ejecutan desde $-\infty$ hasta $\infty$. Si $f\vec{r}$ es real, entonces su transformada de Fourier satisface: $h^*(\vec{k})=h(-\vec{k})$

Ahora tenemos que tomar en cuenta que $e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}$ se puede ver como una onda plana viajando con un tiempo fijo, con esta interpretación el plano de simetría es ortogonal a $\vec{k}$ y su longitud de onda es $\lambda= \frac{2\pi}{k}$, donde $k=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}$ es la magnitud del vector $\vec{k}$. Ahora debido a que $e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}= e^{i\vec{k}_x\cdotp\vec{x}} e^{i\vec{k}_y\cdotp\vec{y}} e^{i\vec{k}_z\cdotp\vec{z}}$ se puede tomar la transformada de Fourier tridimensional simplemente como 3 transformadas de Fourier unidimensionales, una para cada variable espacial.

La esencia del análisis de Fourier es que cada función puede expresarse como una superposición de ondas planas con las siguientes características:

  • Amplitudes variables (para $h(\vec{k})$)
  • Direcciones variables (para $\frac{\vec{k}}{k}$)
  • Longitudes de onda variables (para $k$)

las contribuciones de las características dependen de la función particular que está siendo analizada por Fourier. Ahora usamos este hecho básico del análisis de Fourier para tener una idea de la solución general de la ecuación de onda, y esto generalizará nuestro resultado unidimensional. Suponiendo que $\psi(\vec{r},t)$ es solución a la ecuación de onda, entonces definimos:

\begin{equation} \varphi(\vec{k},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 x e^{-i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\psi(\vec{r},t). \end{equation}

Esta es la transformada inversa de Fourier, por lo que la transformada de Fourier es:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\varphi(\vec{k},t). \end{equation}

Se puede ver que la ecuación de onda para $\psi$ implica lo siguiente:

\[ \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}=-k^2v^2\varphi, \] \begin{equation} \frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2}+k^2v^2\varphi = 0. \end{equation}

La ecuación es igual que en el caso unidimensional, para cada valor de $k$ esto es solo la ecuación de un oscilador armónico. El vector de onda, en efecto, etiqueta los grados de libertad que oscilan con una frecuencia $w=|k|v$. Esto no casualidad, dada la relación entre la ecuación de onda y el oscilador armónico, la solución a (20) para cualquier $\vec{k}$ dado es de la forma:

\begin{equation} \varphi(\vec{k},t)=A(\vec{k})\cos{(wt)} + B(\vec{k})\sin{(wt)}. \end{equation}

Para obtener los coeficientes A y B es necesario considerar las condiciones iniciales. Ahora supongamos que en, $t = 0$ la posición y la velocidad de la onda se definen como:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t=0)= \alpha(\vec{r}), \thinspace \thinspace \frac{\partial\psi(\vec{r},0)}{\partial t}=\beta(\vec{r}). \end{equation}

En donde $\alpha(\vec{r})$ y $\beta(\vec{r})$ son expansiones de Fourier dadas por:

\begin{equation} \alpha(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}a(\vec{k}). \end{equation}

\begin{equation} \beta(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}b(\vec{k}). \end{equation}

y se puede ver que

\begin{equation} A(\vec{k})=a(\vec{k}), \thinspace B(\vec{k})=\frac{1}{w}b(\vec{k}). \end{equation}

y sustituyendo en la transformada de Fourier:

\[ \psi(\vec{r},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\varphi(\vec{k},t), \]

\[ \psi(\vec{r},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\left(A(\vec{k})\cos{(wt)} + B(\vec{k})\sin{(wt)} \right), \]

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 k e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\left(a(\vec{k})\cos{(wt)} + \frac{1}{w}b(\vec{k})\sin{(wt)} \right). \end{equation} con \[ \alpha(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 x e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}} \alpha(\vec{r}), \] \begin{equation} \alpha(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 x e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}} \psi(\vec{r},0). \end{equation}

y

\[ \beta(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 x e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}}\beta(\vec{r}), \] \begin{equation} \beta(\vec{r})= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio}d^3 x e^{i\vec{k}\cdotp\vec{r}} \frac{\partial\psi(\vec{r},0)}{\partial t}. \end{equation}

esto satisface la ecuación de onda con la elección general de las condiciones iniciales (22). Lo que justifica llamar a la representación de Fourier (26) solución general de la ecuación de onda en tres dimensiones. La solución general de la ecuación de onda tridimensional (26) puede verse como una superposición de las soluciones de onda del plano elemental que estudiamos antes. Para ver esto, solo tenga en cuenta la definición de $\sin(wt)$ y $\cos(wt)$ con exponenciales complejas que podemos ver en Numeros complejos, para sustituir los términos en (26) y obtener la solución en la siguiente forma:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)= (2\pi)^{-\frac{3}{2}} \int_{en \thinspace todo \thinspace el \thinspace espacio \thinspace k}d^3 k \left[ c(\vec{k})e^{i(\vec{k}\cdotp\vec{r}-kvt)}+c^*(\vec{k})e^{-i(\vec{k}\cdotp\vec{r}-kvt)}\right] \end{equation} donde $c(\vec{k})$ esta definido por las condiciones iniciales.

Físicamente, se puede pensar que esta fórmula representa una superposición (continua) de ondas planas. Para ver esto, tenemos que considerar una onda plana de la forma:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)=Re\left[ce^{i(\vec{k}\cdotp\vec{r}-wt)}\right], \thinspace c \thinspace\epsilon \thinspace \mathbb C \end{equation}

Se puede comprobar que se trata de una onda que viaja en la dirección de $\vec{k}$, con longitud de onda $\lambda=\frac{2\pi}{k}$ y con una amplitud $| c |$. La fase $\frac{c}{|c|}$ del número complejo da una constante a la fase de la onda. La integral en (26) es entonces una superposición de ondas en las que se varían las amplitudes ($|c|$), las fases relativas $(\frac{c}{|c|})$, las longitudes de onda $\lambda=\frac{2\pi}{k}$ y las direcciones de propagación ($\frac{\vec{k}}{k}$) de una onda a la siguiente. De manera equivalente, toda solución a la ecuación de onda se puede obtener superponiendo soluciones de onda plana real de la forma:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)=A\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-wt+\phi) \end{equation}

en esta ecuación la superposición se da variando la amplitud $A$, el vector de onda $\vec{k}$ y la fase $\phi$. Podemos ver el espacio de soluciones de la ecuación de onda tridimensional como un espacio vectorial. Desde este punto de vista, las ondas planas forman la base del espacio vectorial de soluciones, por lo que la solución a la ecuación de onda en tres dimensiones es:

\[ \psi(\vec{r},t)=A\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}\mp wt+\phi) \]

  • + si se mueve en sentido negativo de su respectivo eje
  • - si se mueve en sentido positivo de su respectivo eje
Movimiento de la onda en el plano $(\vec{r},t)$

Tipos de ondas en tres dimensiones.

Si en un punto del espacio se produce una perturbación, entonces la misma se propaga en las tres direcciones espaciales, siendo los frentes de ondas superficies cerradas, se suelen considerar tres tipos de ondas que viajan en el espacio tridimensional, de acuerdo a la simetría del frente de onda: ondas planas, ondas cilíndricas y ondas esféricas. Sin embargo, las ondas reales no siempre pertenecen a estos tipos, porque no poseen una simetría tan perfecta.

Ondas Planas.

Una onda plana que viaja en la dirección positiva de las $x$ con rapidez $v$, se representa funcionalmente como: \begin{equation} \psi(x,t)= g(x-vt). \end{equation} En donde la onda no esta limitada al eje $x$, también se propaga en la direcciones de los ejes de $y$ y $z$. Pero su forma nos indica que en todos lo puntos que tengan el mismo valor de $x$, tendrán el mismo valor de $\psi$ independientemente de su localización en $y$ y $z$. En esta caso los frentes de onda son paralelos al plano $y-z$, y siguen avanzando con una velocidad $v$ , lo que nos deja claro que ocupan un espacio de tres dimensiones.

La ecuación de una onda plana que se propaga en con una rapidez $v$ y en dirección $\vec{k}$, con $\vec{k}$ siendo un vector director unitario de cosenos $\vec{k}=(\cos(\alpha), \cos(\phi), \cos(\rho))$, tiene la siguiente forma:

\[ \psi(x,t)= g(\vec{k}\cdot\vec{x}-vt), \] \begin{equation} \psi(x,t)= g(x\cos(\alpha)+ y\cos(\phi) + z \cos(\rho)-vt). \end{equation}

y es relativamente fácil demostrar que cumple la ecuación de onda en tres dimensiones (8), mediante una sustitución directa, como lo haremos a continuación: Primero redefinimos (8) como:

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}, \] \begin{equation} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}. \end{equation} y para nuestro caso es: \begin{equation} \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}. \end{equation} Ahora sustituyendo $\psi(x,t)= g(x-vt)$, obtenemos \[ \frac{\partial^2g(x-vt)}{\partial x^2}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{g(x-vt)}}{\partial{t^{2}}}, \] \[ \ddot{g}(x-vt)=\frac{v^2}{v^{2}}\ddot{g}(x-vt), \] \begin{equation} \ddot{\psi}=\ddot{\psi}. \end{equation} y al ser la segunda derivada de $\psi$ igual a sí misma, queda demostrado que la solución a la ecuación de onda plana en tres dimensiones cumple con la ecuación de onda en tres dimensiones.

Onda plana en tres dimensiones propagándose en dirección $\vec{u}$.

Ondas Cilíndricas.

Cuando la perturbación inicial está distribuida sobre una línea recta, entonces la onda se propaga en la dirección radial perpendicular a esa línea llenando el espacio tridimensional que le rodea, con frentes de ondas cilíndricos.

Ejemplo de una onda cilíndrica.

En este tipo de ondas el lapaciano toma la siguiente forma:

\begin{equation} \nabla^2 = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial\psi}{\partial r}\right). \end{equation}

por lo que la ecuación de onda tridimensional para las ondas cilíndricas es:

\begin{equation} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}\left( r\frac{\partial\psi}{\partial r}\right)= \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2t}{\partial t^2}. \end{equation}

y sus soluciones son del mismo tipo que las de la ecuación general en 3 dimensiones.

Ondas Esféricas.

Cuando la fuente es puntual y el medio en el que se propaga la onda tridimensional es homogéneo e isótropo (sus propiedades no cambian de acuerdo a la dirección), entonces los frentes de onda son esferas concéntricas al punto donde se produjo la perturbación inicial. Para que una onda sea esférica es obligatorio que el medio de propagación sea isótropo y homogéneo, ya que la velocidad de propagación será la misma en todos los sentidos, direcciones y ámbitos.

En el caso de una onda esférica en el que la intensidad de la onda es idéntica en todas las direcciones, la función que describe la perturbación solo depende de la distancia r a la fuente puntual y del tiempo t. Podemos ver más acerca de las ondas esféricas en Ondas: esfericas

Ejemplo de una onda esférica.

Ondas esféricas no-isotrópicas.

También puede ocurrir que una onda esférica, es decir con los frentes de onda formados por esferas concéntricas a un punto central, la amplitud o intensidad de la onda sea distinta en las diferentes direcciones, esto es lo que pasa cuando la fuente central de la onda es más eficiente en una direcciones que otras. Por ejemplo, el sonido producido por una bocina no tiene igual intensidad en todas partes, aún tratándose de puntos equidistantes a la bocina.

La intensidad tampoco es la misma aunque la señal tarde el mismo tiempo en llegar a dichos puntos. Se trata de una onda esférica que tiene un patrón direccional no esférico, también se tienen ondas esféricas en el caso de las ondas electromagnéticas creadas por una antena, pero puede que no sean igualmente intensas en todas las direcciones.

Ejemplos de ondas en 3 dimensiones.

Las ondas en tres dimensiones son bastante frecuentes en la naturaleza, así como en nuestro día a día como se puede ver con los siguientes ejemplos.

Ondas sísmicas.

Las ondas sísmicas son movimientos que se producen en la corteza terrestre, este movimiento es producto de la energía liberada a partir de un foco llamado hipocentro. Las ondas sísmicas podríamos dividir en dos grandes grupos: Ondas Internas y Ondas Superficiales. Y dentro de estos dos grupos existen cuatro tipos de ondas sísmicas: P, S, L y R. Podrás encontrar más información sobre estas ondas en la pagina Ondas sismicas.

Ondas sísmicas.

Ondas Sonoras.

Una onda sonora es una onda longitudinal que transmite lo que se asocia con sonido. Si se propaga en un medio elástico y continuo genera una variación local de presión o densidad, que se transmite en forma de onda esférica periódica o cuasiperiódica, mecánicamente las ondas sonoras son un tipo de onda elástica. Podrás encontrar más al respecto de este tipo de ondas en la pagina Sonido.

Ejemplo de una onda sonora.

Las antenas.

Una antena es un dispositivo normalmente conductor metálico, diseñado con el objetivo de emitir y/o recibir ondas electromagnéticas hacia el espacio libre. Una antena transmisora transforma energía eléctrica en ondas electromagnéticas, y una receptora realiza la función inversa. Existen varias características importantes de una antena que deben de ser consideradas al momento de elegir una específica para su aplicación:

  • Patrón de radiación
  • Ganancia
  • Directividad
  • Polarización

Existe una gran diversidad de tipos de antenas. En unos casos deben expandir en lo posible la potencia radiada, es decir, no deben ser directivas (ejemplo: una emisora de radio comercial o una estación base de teléfonos móviles), otras veces deben serlo para canalizar la potencia en una dirección y no interferir a otros servicios (antenas entre estaciones de radioenlaces).


Diagrama animado de la antena dipolo que irradia ondas de radio.

Referencias

[1] http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/Waves2D_3D.htm

[2] https://www.physics.purdue.edu/~jones105/phys42200_Spring2013/notes/Phys42200_Lecture20.pdf

[3] Torre, Charles G., "09 The Wave Equation in 3 Dimensions" (2014). Foundations of Wave Phenomena. 14. https://digitalcommons.usu.edu/foundation_wave/14

[4] Main, I. G. Vibration and Waves in Physics (3ra ed.). Cambrige University Press.

[5] https://es.wikipedia.org/wiki/Antena