Ondas: 3 dimensiones

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Ondas en 3 dimensiones

Las ondas tridimensionales son ondas que se propagan en tres dimensiones, se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones (3D). Ejemplos de ondas tridimensionales son: las ondas sonoras y las ondas electromagnéticas

Onda sonora producida por un avión a una velocidad inferior a la del sonido

Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase es una función continua de x,y,z,t. en un instante dado cualquiera , la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.

Donde es una función de las coordenadas espaciales y es el valor de correspondiente a una superficie particular en el instante

En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Lassuperficies de onda pueden constituir una familia de esféras concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas,ondas planas, etc., segun sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.


Ecuación de onda en tres dimensiones

La función de onda dada por la ecuación (14) en el tema Ondas: planas es una solución partícular de de la ecuación diferencial en tres dimensiones, calculamos entonces las derivadas parciales de la ecuación (14) antes mencionada


\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi \end{equation}


Sumando las tres derivadas parciales y usando el hecho de que , obtenemos

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-k^{2}\psi \end{equation}

Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 4 y recordando que , llegamos a

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}} \end{equation}

que es la ecuación diferencial de onda tridimencional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y que la forma es precisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación unidimensional que se puede ver en Ondas: ecuación de onda

La ecuación 6 se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano

\begin{equation} \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^{2}}} \end{equation}

Por tanto, la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta en términos del laplaciano como:

\begin{equation} \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}} \end{equation}

Soluciones a la ecuación de onda tridimensional

Las soluciones de la ecuación de onda tridimensional (ecuación 8) no son más difíciles de conseguir que los de la ecuación de onda unidimensional. De hecho, si buscamos soluciones que sean independientes de $y$ y $z$, recuperamos las soluciones obtenidas para la ecuación unidimensional. Entonces, por ejemplo, la solución (compleja) de onda

\begin{equation} \psi(x,y=0,z=0,t)= Ae^{ik(x-vt)} \end{equation} La cual es independiente de $y$ y $z$, y es una onda desplazándose positivamente en $x$. Ahora veamos su solución general ya dependiente de las 4 variables:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)=Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-wt)};\thinspace con \thinspace \vec{r}=(x,y,z) \end{equation}

Se puede ver que tiene la misma forma que la ecuación de onda en una dimensión. Ahora vamos a encontrar $w$ y $k$ y para ello redefinimos las siguientes ecuaciones:

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi=-k_x^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi=-k_y^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi=-k_z^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi \]

Entonces la ecuación de onda es:

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}} \] \begin{equation} -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\psi(\vec{r},t)=-\frac{w^2}{v^2}\psi(\vec{r},t) \end{equation}

despejando $w$

\[ -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=-\frac{w^2}{v^2} \]

\[ w^2=v^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2) \]

\begin{equation} w=v\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} \end{equation}

y definiendo $k$ como $\vec{k}=(k_x,k_y,k_z)$, entonces $|\vec{k}|=\sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}$ por lo que $w$ es:

\begin{equation} w=v|\vec{k}| \end{equation}

Por lo tanto su solución es:

\begin{equation} \psi(x,y,z,t)=Ae^{i(k_xx+k_yy+k_zz-wt)} \end{equation}

Como es habitual, se pueden obtener soluciones reales tomando las partes reales o imaginarias. Para verificar que (10) satisface la ecuación de onda, se puede simplemente sustituir (10) en (8) y verificar que si se cumple la ecuación de onda, la relación de dispersión (13) hace que eso suceda.

Alternativamente, puede verificar que (10) (con (13)) satisface la ecuación de onda utilizando el siguiente argumento (es un poco complicado): El producto escalar $\vec{k} \cdot \vec{r}$ es un escalar que se define geométricamente, es decir, es independientemente de la orientación de los ejes $(x,y,z)$. Asimismo, el laplaciano es el mismo sin importar el orientación de estos ejes. Para que podamos elegir nuestros ejes de la forma que se desee (la ecuación de onda no depende de tales elecciones).

Para un vector dado $\vec{k}$, suponga que elige su eje $x$ en la dirección de $\vec{k}$, entonces $\vec{k} \cdot \vec{x}=kx$, entonces $\psi(x, t)$ toma la forma (compleja) de la solución a la ecuación de onda en una dimensión. Ya hemos encontrado que si $\psi$ es $\psi = \psi(x, t)$ en 3-d la ecuación de onda se reduce a la ecuación de onda en 1-d. Por lo tanto, (10) resuelve (8) porque se ha reducido la situación al caso unidimensional. Las soluciones a la ecuación de onda de la forma (10) se llaman ondas planas porque en cualquier dado el tiempo, se ven iguales a medida que uno se mueve a lo largo de cualquier plano ya que $\vec{k}\cdot\vec{r}=$ constante.

Tenga en cuenta la relación entre la frecuencia y la longitud de onda asociada con la onda plana (10): \begin{equation} w=|\vec{k}|v= \frac{2\pi}{\lambda}v \end{equation}

Ésta es la relación de dispersión para ondas planas en tres dimensiones. Podemos ver esto restricción como fijar la frecuencia $w$ en términos de la magnitud de $|\vec{k}|$ pero dejando el vector de onda $\vec{k}$ en si mismo libre. De hecho, la relación de dispersión, $w = |k|v$ todavía se mantiene en el entorno tridimensional, siempre que interpretemos $|k|$ como la magnitud del vector de onda. De hecho, como veremos, cada onda plana que aparece en la descomposición de Fourier de la solución general de (8) es, matemáticamente, sólo una solución sinusoidal compleja de una ecuación de onda unidimensional.

Desafortunadamente, no es tan fácil escribir una fórmula simple para la solución general a la ecuación de onda tridimensional como en el caso unidimensional. En en nuestro caso el truco de cambiar variables a $x \pm vt $ no ayudará aquí. Sin embargo, el análisis de Fourier es fácilmente generalizado a cualquier número de dimensiones. La idea es que, dada una función $f(x, y, z)$, puede tomar su transformada de Fourier una variable a la vez. Veamos brevemente cómo funciona esto. Para simplificar, solo consideraremos el caso de ondas en todo el espacio tridimensional, es decir, Usaremos la versión continua de la transformada de Fourier.

Referencias