Ondas: 3 dimensiones
Ondas en 3 dimensiones
Las ondas tridimensionales son ondas que se propagan en tres dimensiones, se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones (3D). Ejemplos de ondas tridimensionales son: las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas
Propagación
Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi es una función continua de x,y,z,t. en un instante dado cualquiera , la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.
Donde es una función de las coordenadas espaciales y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Phi_{1} es el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \phi correspondiente a una superficie particular en el instante
En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \Phi es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Lassuperficies de onda pueden constituir una familia de esféras concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas,ondas planas, etc., segun sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.
Ecuación de onda en tres dimensiones
La función de onda dada por la ecuación (14) en el tema Ondas: planas es una solución partícular de de la ecuación diferencial en tres dimensiones, calculamos entonces las derivadas parciales de la ecuación (14) antes mencionada
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi
\end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi \end{equation}
Sumando las tres derivadas parciales y usando el hecho de que Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \alpha\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}=1
, obtenemos
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-k^{2}\psi \end{equation}
Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 4 y recordando que , llegamos a
\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}} \end{equation}
que es la ecuación diferencial de onda tridimencional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y que la forma es precisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación unidimensional que se puede ver en Ondas: ecuación de onda
La ecuación 6 se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano
\begin{equation} \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^{2}}} \end{equation}
que pasa a ser simplemente
\begin{equation} \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}} \end{equation}
Ahora que disponemos de esta ecuación muy importante, volvamos a la onda plana para ver como se adecua al esquema. Una función de la forma
\begin{equation} \psi(x,y,z,t)=Ae^{ik(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}\pm{vt})} \end{equation}
es equivalente a la ecuación (14) y como tal, es una solución de la ecuación 8. Se puede también demostrar que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(x,y,z,t)=f(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}-vt)
Y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(x,y,z,t)=g(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}+vt)
son ambas soluciones de onda plana de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son diferenciables dos veces, son arbitrarias y no necesitan ciertamente ser armónicas. Una combinación lineal de estas soluciones. es también una solución, pudiendo escribir esto de forma
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \psi(\textbf{r},t)=C_{1}f(\textbf{r}\cdot{\textbf{k}}/k-vt)+C_{2}g(\textbf{r}\cdot\textbf{k}/k+vt)
donde Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C_{1} y son constantes.
Para coordenadas cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones físicas, podemos frecuentemente sacar más provecho de las simetrías existentes utilizando otras representaciones coordenadas.
