Diferencia entre revisiones de «Ondas: 3 dimensiones»

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=Ondas en 3 dimensiones=
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Las ondas tridimensionales son ondas que se propagan en tres dimensiones, se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones (3D). Ejemplos de  ondas tridimensionales son: las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas
Las ondas tridimensionales son ondas que se propagan en tres dimensiones, se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones (3D). Ejemplos de  ondas tridimensionales son: las ondas sonoras y las ondas electromagnéticas


[[Imagen:Ondas-t.jpg|500px|thumb|center|Onda sonora producida por un avión a una velocidad inferior a la del sonido]]
[[Imagen:Ondas-t.jpg|500px|thumb|center|Onda sonora producida por un avión a una velocidad inferior a la del sonido]]
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\end{equation}
\end{equation}


que pasa a ser simplemente
Por tanto, la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta en términos del laplaciano como:


\begin{equation}
\begin{equation}
Línea 62: Línea 62:
\end{equation}
\end{equation}


==Soluciones a la ecuación de onda tridimensional==
Las soluciones de la ecuación de onda tridimensional (ecuación 8) no son más difíciles de conseguir que los de la ecuación de onda unidimensional. De hecho, si buscamos soluciones que sean independientes de $y$ y $z$, recuperamos las soluciones obtenidas para la ecuación unidimensional. Entonces, por ejemplo, la solución (compleja) de onda


Ahora que disponemos de esta ecuación muy importante, volvamos a la onda plana para ver como se adecua al esquema. Una función de la forma
\begin{equation}
  \psi(x,y=0,z=0,t)= Ae^{ik(x-vt)}
\end{equation}
La cual es independiente de $y$ y $z$, y es una onda desplazándose positivamente en $x$.
Ahora veamos su solución general ya dependiente de las 4 variables, para ello redefinimos las siguientes ecuaciones:


\[
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi=-k_x^2\psi
\]
\[
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi=-k_y^2\psi
\]
\[
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi=-k_z^2\psi
\]
\[
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi
\]
Entonces la ecuación de onda es:
\[
\nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}}
\]
\begin{equation}
\begin{equation}
\psi(x,y,z,t)=Ae^{ik(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}\pm{vt})}
-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\psi(\vec{r},t)=-\frac{w^2}{v^2}\psi(\vec{r},t)
\end{equation}
\end{equation}


despejando $w$


es equivalente a la ecuación (14) y  como tal, es una solución de la ecuación 8. Se puede también demostrar que
\[
-(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=-\frac{w^2}{v^2}
\]


\[
w^2=v^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2)
\]


<math>\psi(x,y,z,t)=f(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}-vt)</math>
\begin{equation}
w=v\sqrt{(k_x^2+k_y^2+k_z^2)}
\end{equation}


Y
y definiendo $k$ como $\vec{k}=(k_x,k_y,k_z), entonces $w$ es:


\begin{equation}
w=v|\vec{k}|
\end{equation}


<math>\psi(x,y,z,t)=g(\alpha{x}+\beta{y}+\gamma{z}+vt)</math>
Ahora la solución para la onda tridimensional es:


son ambas soluciones de onda plana de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son diferenciables dos veces, son arbitrarias y no necesitan ciertamente  ser armónicas. Una combinación lineal de estas soluciones. es también una solución, pudiendo escribir esto de forma
\begin{equation}
\psi(\vec{r},t)=Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-wt)};\thinspace con \thinspace \vec{r}=(x,y,z)
\end{equation}


<math>\psi(\textbf{r},t)=C_{1}f(\textbf{r}\cdot{\textbf{k}}/k-vt)+C_{2}g(\textbf{r}\cdot\textbf{k}/k+vt)</math>
Por lo tanto su solución es:


donde <math>C_{1}</math> y <math>C_{2}</math> son constantes.
\begin{equation}
 
\psi(x,y,z,t)=Ae^{i(k_xx+k_yy+k_zz-wt)}
Para coordenadas cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones físicas, podemos frecuentemente sacar más provecho de las simetrías existentes utilizando otras representaciones coordenadas.
\end{equation}


=Referencias=
=Referencias=
* http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/Waves2D_3D.htm
* http://galileo.phys.virginia.edu/classes/152.mf1i.spring02/Waves2D_3D.htm
[[Categoría: Ondas]]
[[Categoría: Ondas]]

Revisión del 22:20 8 nov 2020

Ondas en 3 dimensiones

Las ondas tridimensionales son ondas que se propagan en tres dimensiones, se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones (3D). Ejemplos de ondas tridimensionales son: las ondas sonoras y las ondas electromagnéticas

Onda sonora producida por un avión a una velocidad inferior a la del sonido

Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase es una función continua de x,y,z,t. en un instante dado cualquiera , la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.

Donde es una función de las coordenadas espaciales y es el valor de correspondiente a una superficie particular en el instante

En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Lassuperficies de onda pueden constituir una familia de esféras concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas,ondas planas, etc., segun sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.


Ecuación de onda en tres dimensiones

La función de onda dada por la ecuación (14) en el tema Ondas: planas es una solución partícular de de la ecuación diferencial en tres dimensiones, calculamos entonces las derivadas parciales de la ecuación (14) antes mencionada


\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi \end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi \end{equation}


Sumando las tres derivadas parciales y usando el hecho de que , obtenemos

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-k^{2}\psi \end{equation}

Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 4 y recordando que , llegamos a

\begin{equation} \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}} \end{equation}

que es la ecuación diferencial de onda tridimencional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y que la forma es precisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación unidimensional que se puede ver en Ondas: ecuación de onda

La ecuación 6 se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano

\begin{equation} \nabla^{2}=\frac{\partial^{2}}{\partial{x^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{y^{2}}}+\frac{\partial^{2}}{\partial{z^{2}}} \end{equation}

Por tanto, la ecuación de onda se puede escribir de forma compacta en términos del laplaciano como:

\begin{equation} \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}} \end{equation}

Soluciones a la ecuación de onda tridimensional

Las soluciones de la ecuación de onda tridimensional (ecuación 8) no son más difíciles de conseguir que los de la ecuación de onda unidimensional. De hecho, si buscamos soluciones que sean independientes de $y$ y $z$, recuperamos las soluciones obtenidas para la ecuación unidimensional. Entonces, por ejemplo, la solución (compleja) de onda

\begin{equation} \psi(x,y=0,z=0,t)= Ae^{ik(x-vt)} \end{equation} La cual es independiente de $y$ y $z$, y es una onda desplazándose positivamente en $x$. Ahora veamos su solución general ya dependiente de las 4 variables, para ello redefinimos las siguientes ecuaciones:

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{x^{2}}}=-\alpha^{2}k^{2}\psi=-k_x^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{y^{2}}}=-\beta^{2}k^{2}\psi=-k_y^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{z^{2}}}=-\gamma^{2}k^{2}\psi=-k_z^2\psi \]

\[ \frac{\partial^{2}\psi}{\partial{t^{2}}}=-\omega^{2}\psi \]

Entonces la ecuación de onda es:

\[ \nabla^{2}\psi=\frac{1}{v^{2}}\frac{\partial^{2}{\psi}}{\partial{t^{2}}} \] \begin{equation} -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)\psi(\vec{r},t)=-\frac{w^2}{v^2}\psi(\vec{r},t) \end{equation}

despejando $w$

\[ -(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=-\frac{w^2}{v^2} \]

\[ w^2=v^2(k_x^2+k_y^2+k_z^2) \]

\begin{equation} w=v\sqrt{(k_x^2+k_y^2+k_z^2)} \end{equation}

y definiendo $k$ como $\vec{k}=(k_x,k_y,k_z), entonces $w$ es:

\begin{equation} w=v|\vec{k}| \end{equation}

Ahora la solución para la onda tridimensional es:

\begin{equation} \psi(\vec{r},t)=Ae^{i(\vec{k}\cdot\vec{r}-wt)};\thinspace con \thinspace \vec{r}=(x,y,z) \end{equation}

Por lo tanto su solución es:

\begin{equation} \psi(x,y,z,t)=Ae^{i(k_xx+k_yy+k_zz-wt)} \end{equation}

Referencias