Ondas: 3 dimensiones

Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase $\phi$ es una función continua de x,y,z,t. en un instante dado cualquiera $t_{0}$, la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.

$''h(x,y,z)=\Phi _{1}''$

Donde $''h(x,y,z)''$ es una función de las coordenadas espaciales y $\Phi _{1}$ es el valor de $\phi$ correspondiente a una superficie particular en el instante $t_{0}$

En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que $\Phi$ es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Lassuperficies de onda pueden constituir una familia de esféras concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas, ondas planas, etc., segun sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.

Ecuación de onda en tres dimensiones.

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}=-\alpha ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}=-\beta ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}=-\gamma ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {t^{2}}}}=-\omega ^{2}\psi$

Sumando las tre derivadas parciales y usando el hecho de que $\alpha \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$, obtenemos

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}=-k^{2}\psi$

Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 3 y recordando que $v=\omega /k$, llegamos a

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {t^{2}}}}$

que es la ecuión diferencial de onda tridimencional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y que la forma es presisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación unidimensional que se puede ver en Ondas: ecuación de onda

La ecuación +++ se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano

$\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial {z^{2}}}}$

que pasa a ser simplemente

$\nabla ^{2}\psi ={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\psi }}{\partial {t^{2}}}}$

Ahora que disponemos de esta ecuación muy importante, volvamos a la onda plana para ver como se adecua al esquema. Una función de la forma

$\psi (x,y,z,t)=Ae^{ik(\alpha {x}+\beta {y}+\gamma {z}\pm {vt})}$

es equivalente a la ecuación +++ y como tal, es una solución de la ecuación +++. Se puede también demostrar que

$\psi (x,y,z,t)=f(\alpha {x}+\beta {y}+\gamma {z}-vt)$

Y

$\psi (x,y,z,t)=g(\alpha {x}+\beta {y}+\gamma {z}+vt)$

son ambas soluciones de onda plana de la ecuación diferencial de onda. Las funciones f y g, que son diferenciables dos veces, son arbitrarias y no necesitan ciertamente ser armónicas. Una combinación lineal de estas soluciones. es también una solución, pudiendo escribir esto de forma

$\psi ({\textbf {r}},t)=C_{1}f({\textbf {r}}\cdot {\textbf {k}}/k-vt)+C_{2}g({\textbf {r}}\cdot {\textbf {k}}/k+vt)$

donde $C_{1}$ y $C_{2}$ son constantes.

Para coordenadas cartesianas son particularmente adecuadas para describir ondas planas. Sin embargo, cuando aparecen varias situaciones físicas, podemos frecuentemente sacar más provecho de las simetrías existentes utilizando otras representaciones coordenadas.