Ondas: 3 dimensiones

Cuando se propaga una onda en un espacio de tres dimensiones, la fase $\phi$ es una función continua de x,y,z,t. en un instante dado cualquiera $t_{0}$, la fase tiene el mismo valor en todos los puntos de ciertas superficies a las que se da el nombre de superficie de onda. Vienen definidas por la relación.

$''h(x,y,z)=\Phi _{1}''$

Donde $''h(x,y,z)''$ es una función de las coordenadas espaciales y $\Phi _{1}$ es el valor de $\phi$ correspondiente a una superficie particular en el instante $t_{0}$

En general, las superficies de onda constituyen una familia de superficies en la que $\Phi$ es el parámetro variable que selecciona a un miembro particular de la familia. Las superficies de onda pueden constituir una familia de esféras concéntricas o una familia de planos paralelos y también puede adoptar otras formas. Las ondas se denominan ondas esféricas, ondas planas, etc., segun sea la forma de las superficies de onda. Cuando avanzan las ondas por una región que hasta entonces no había sido perturbada, la superficie correspondiente a la primera cresta de denomina frente de onda.

Ecuación de onda en tres dimensiones.

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}=-\alpha ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}=-\beta ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}=-\gamma ^{2}k^{2}\psi$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {t^{2}}}}=-\omega ^{2}\psi$

Sumando las tre derivadas parciales y usando el hecho de que $\alpha \alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1$, obtenemos

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}=-k^{2}\psi$

Combinando esto con la derivada del tiempo, ecuación 3 y recordando que $v=\omega /k$, llegamos a

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {x^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {y^{2}}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {z^{2}}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial {t^{2}}}}$

que es la ecuión diferencial de onda tridimencional. Obsérvese que x, y, y z aparecen simétricamente y que la forma es presisamente la que uno esperaría de la generalización de la ecuación ****

La ecuación +++ se escribe,por lo general, de una forma más concisa introduciendo el operador Laplaciano