Investigacion: RO18O

Este espacio es para que desarrollen su tema de investigación.

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Quiralidad Óptica y su interacción con la materia

El objetivo de esta información es mostrar una introducción y generar ideas elementales de qué teoría y qué se deben usar para explicar el efecto de la quiralidad óptica ya que puede ser bastante engorroso mostrar paso a paso los desarrollos matemáticos.

Un objeto quiral (en general en tres dimensiones) es un objeto tal que no se puede superponer con su imagen especular. En otras palabras, dichos objetos, por más que lo rotemos en distintos sentidos, nunca se obtendrá su imagen especular. El ejemplo clásico de un objeto quiral, son las manos. Uno puede hacer el simple experimento en intentar rotar y mover la mano (por ejemplo, la izquierda) para generar una imagen igual a la otra mano. Claramente nunca podrá quedar igual.

Ya que entendemos la definición de un objeto quiral, se define como enantiómeros, que son objetos con quiralidad opuesta (al superponerlos quedan de cierta forma en “sentidos opuestos”). En la física, dichos objetos enantiomerismo, generalmente son idénticos en sus magnitudes físicas como la densidad, peso molecular, entalpía de formación, frecuencias de vibración, etcétera

Para aterrizar los conceptos, la luz circularmente polarizada (LCP) es un objeto quiral. Y al tener una molécula quiral dicha molécula tendrá diferentes secciones rectas de absorción cuando se ilumina con LCP izquierda o ferecha.

En la ciencia, definen el factor de desimetría g que es la fracción entre las diferentes absorciones de luz. Cabe resaltar que este efecto de absorción de LCP no puede ser visible teóricamente con la expansión dipolar del sistema, sino que requiere expansión a primer orden de la forma ka~〖10〗^(-3) donde k es el el vector de la onda de luz mientras que a es el tamaño de la molécula.

Como nota para observar las dimensiones de dificultad de este tipo de estudios, cuando se tiene una onda electromagnética no plana que varía (aunque sea poco) sobre la distancia en dimensiones de la molécula, se tiene que los grados de desimetría dependen locamente, cosa que genera muchos problemas para el estudio de los mismos comparado con un campo homogéneo ya que para éste sucede lo mismo en cualquier punto del espacio de la molécula.

Para el estudio de las interacciones quirales, se una un pseudoescalar (cantidad que se comporta como escalar, pero cambia de signo bajo rotaciones impropias). En la literatura, Lipkin propuso la siguiente cantidad:

Error al representar (error de sintaxis): C≡\frac{ϵ_0}{2}E∙∇×E+\frac{1}{2μ_0}B∙∇×B

Usando las ecuaciones de Maxwell podemos reescribir dicha ecuación de la siguiente forma:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): C=\frac{ϵ_0}{2}{-E∙\frac{∂B}{∂t}+B∙\frac{∂E}{∂t}}

Donde ϵ_0 y μ_0 es la permitibidad y permeabilidad en el vacío mientras que E y B son el campo eléctrico y magnético respectivamente.

Dicha cantidad C representa el grado de asimetría quiral de excitación para una molécula pequeña. La respuesta de éstas moléculas interactuando con una perturbación de un campo electromagnético (CEM) pueden ser obtenidos desde la teoría o desde el experimento. Una molécula sujeta a un CEM monocromático (una sola longitud de onda) genera un momento dipolar eléctrico p y un momento dipolar eléctrico m. dados por:

$p=\alpha E'-iG'B'$

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): m=χ'B'+iG'E'

NOTA IMPORTANTE: toda cantidad "primas", son valores complejos. Las cantidades α y χ. Son la polarización eléctrica y la susceptibilidad magnética respectivamente mientras que los campos eléctrico y magnético son campos locales de la molécula (ya que locálmente, en general dichos campos no son iguales). También cabe resaltar que solo las cantidades que pertenecen a los reales son las cantidades físicas.

Ahora consideremos los siguientes campos eléctrico y magnético:

$E'(t)=E'_{0}e^{-i\omega t}$ y $B'(t)=B'_{0}e^{-i\omega t}$

Nota: el campo E posee paridad (inversión de coordenadas espaciales) par mientras que B es impar.

Entonces, la taza de excitación de la molécula, (suponiendo que interactúa con la LCP un tiempo razonablemente largo) está dada por el promedio temporal de:

Error al representar (error de sintaxis): A^{±}=<E∙''p''+B∙''m''>=\frac{\omega}{2}Im(E´*∙p'+B´*∙m')

Donde el asterisco implica el conjugado de dicho número complejo, las letras en cursiva implican la derivada respecto al tiempo y el signo ± representa la dirección de giro de la LCP (+ si es a la izquierdaq y - es a la derecha).

Usando las ecuaciones del momento dipolar eléctrico, magnético y desarrollando el álgebra, se puede llegar a:

Error al representar (error de sintaxis): A^{±}=\frac{\omega}{2}(\alpha''ǀEǀ^{2}+χ''ǀBǀ^{2})±G'' \omega Im(E'*∙B')

los valores biprimados son de la forma: $a''=Im(a')$

En general, el valor de χes muy pequeño a comparación de la mayoría de las moléculas así que puede descartarse. Por otro lado, existe la identidad Error al representar (error de sintaxis): \omega Im(E'*∙B')=''B''∙E-''E''∙B y como las variables en cursiva son derivadas parciales respecto al tiempo, usamos las ecuaciones de Maxwell para poder reescribir dicha expresión de la siguiente forma:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A^{±}=\frac{2}{ϵ_0}(\omega U_e\alpha ''∓CG'')<math> Donde: <math>U_e=\frac{ϵ_0}{4}ǀEǀ^{2} que el promedio temporal de la densidad de energía electríca.

Para una onda plana monocromática, el factor de desimetría está definido por:

$g={\frac {A^{+}-A^{-}}{A^{+}+A^{-}}}$

Donde Error al representar (error de sintaxis): A^{±} es la taza de absorción para cualquier par de ondas electromagnéticas con paridades intercambiadas. Sustituyendo la Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): A^{±} que se acaba de encontrar en g, tenemos:

$g=-{\frac {G''}{\alpha ''}}{\frac {2C}{\omega U_{e}}}$

Este resultado nos muestra que la taza de excitación de una molécula pequeña es proporcional al producto de la quiralidad de la materia (primer fracción) y la quiralidad del campo EM (el término C).

Todo esto es para un material que no tiene alguna fuente o sumidero de quiralidad óptica, sin embargo, como un pequeño paréntesis, se puede ver que materiales tipo "Material currents" funcionan como fuente o sumidero. asi que tomando la derivada respecto al tiempo de C y usando las ecuaciones de Maxwell, tenemos que:

Error al representar (error de sintaxis): \frac{dC}{dt}=\frac{∂C}{∂t}+\frac{1}{\mu_0}∇×F=-\frac{1}{2}(j∙∇×E+E∙∇×j)

Donde

Error al representar (error de sintaxis): F≡\frac{E×(∇×B)-B×(∇×E)}{2}

Que representa el flujo de quiralidad y podemos notar que tiene la misma estructura que el teorema del vector de Pointing, asi es como se deduce que el vector de Pointing

Error al representar (error de sintaxis): S=E×B

y la cantidad

Error al representar (error de sintaxis): j∙E

describe cómo estos materiales actúan como fuente o sumidero.

Regresando a la LCP, esta mejorada asimetría quiral tiene la información de los nodos de la onda estacionaria y las moléculas pequeñas que estén localizadas en estas regiones se predice que mostrarán una mejora en la asimetría quiral en su taza de excitación. Como se sabe, una onda estacionaria está construída a partir de dos ondas que se contraponen y que tengan sentidos opuestos, misma frecuencia y un cambio pequeño entre sus intensidades.

Sea $E_{1}$ un campo eléctrico de una LCP en sentido izquierdo, que se mueve dederecha a izquierda, mientras que $E_{2}$ es el campo eléctrico de ootra LCP en sentido derecho propagandose de izquierda a derecha, y se asume que $E_{1}$ es ligeramente mayor que $E_{2}$. Como se sabe, estas dos ondas genererán una interferencia entre los haces de luz, mientras que su densidad de energía está dada por:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_e(z)=\frac{ϵ_0}{2}[E_1^{2}+E_2^{2}-2E_1E_2cos(2kz)]

donde claramente, el mínimo de la energía es cuando $cos(2kz)=-1$. Por tanto, la densidad de energía mínima es:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): U_{e min}=\frac{ϵ_0}{2}[E_1-E_2]^{2}

Con esto y con las definiciones anteriores, se puede mostrar que el grado de asimetría quiral está dada por:

$C(z)=\omega \epsilon _{0}{\frac {(E_{1}^{2}-E_{2}^{2}}{c}})$ que es independiente de la posició. Entonces el valor de g será:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g=-\frac{G''}{\alpha''}\frac{2C(z)}{\omega U_{emin}}

Y sustituyendo los valores encontrados, se llega a que:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): g_{max}=\frac{-4G''}{c\alpha''}\frac{E_1+E_2}{E_1-E_2}

El valor de g es máximo ya que como el valor de la densidad de energía era mínimo, y por propiedad elemental de una fracción, si el denominador es menor, el resultado será mayor.

Es fácil ver que cuando las energías van teniendo casi la misma intensidad, la taza de asimetría aumenta mucho. Esto se le conoce como onda estacionaria superquiral. La presente teoría está limitada a efectos quirales donde el campo EM no es tan intenso, es decir, el material responde linealmente con dicho campo. Otro detalle a tomar en cuenta que se deberá contemplar los momentos cuadrupolares para moléculas que sean del tamaño aproximadamente de la longitud de onda del campo EM.

Bibliografía

Yiqiao Tang and Adam E. Cohen, Optical quirality and interaction with Matter (Harvard University, Massachusetts, 2010)

--Fernando Valencia Hernández