Invariante de Ermakov: interpretacion fisica

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La energía de un sistema mecánico que está sujeto a una fuerza conservativa dependiente linealmente del tiempo puede ser descrita mediante la formulación de variables complementarias. Sin embargo, este formalismo también puede usarse para sistemas con amortiguamiento, en donde el intercambio entre energía potencial y energía cinética de un oscilador es evidente. Es en estos sistemas donde el invariante de Ermakov es, precisamente, el intercambio de energías.

Introducción

La formulación de variables complementarias provee un conjunto de invariantes para ecuaciones diferenciales de segundo orden no autónomas. Estos invariantes son combinaciones bilineales de las variables complementarias o de sus derivadas, las cuales, claramente dependen del contexto del sistema mecánico.

Recordemos que las ecuaciones diferenciales autónomas de orden $k %mayor o igual que 1$ Son de la forma

\begin{equation} y^{(k)}=F(y, y^{\prime}, y^{\prime\prime},...,y^{(k-1)}). \end{equation}

Y una función $f$ se dice bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$, tal que, $f:V\times V \rightarrow \mathbb{F} $ si es lineal con respecto a cada uno de sus argumentos,

\begin{equation*} f(\alpha\,u+\beta\,v, w)=\alpha\,f(u,w)+\beta\,f(v,w) \end{equation*} \begin{equation*} f(u,\alpha\,v+\beta\,w)=\alpha\,f(u,v)+\beta\,f(u,w) \end{equation*}


Osciladores armónicos invariantes dependientes del tiempo

Se sabe que la ecuación de un oscilador armónico simple es una ecuación diferencial de segundo orden de la forma

\begin{equation*} \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \end{equation*}

La cual es una ecuación diferencial autónoma. Sin embargo, cuando ya hay dependencia en el tiempo la forma del oscilador armónico es

\begin{equation}\label{eq:HOTD} \ddot{x}+\Omega^2 x= 0 \end{equation}

Donde $\Omega(t)^2$ es un parámetro dependiente del tiempo, por lo que se trata de una ecuación diferencial no autónoma. Al tratarse de una ecuación diferencial lineal en $x$, la ecuación (\ref{eq:HOTD}), admite la superposición de soluciones. Digamos que $x_1$ y $x_2$ son soluciones de dicha ecuación, entonces, el invariante de orden cero es

\begin{equation} Q_{00}=x_2\dot{x_1}-\dot{x_2}x_1 \end{equation}

Cómo vemos, $Q_{00}$ es el wronskiano de las dos soluciones y además es una función bilineal, tal como se dijo en la sección anterior.

Si expresamos a $x_1$ y $x_2$ en forma trigonométrica con $\rho$ siendo la amplitud y $\phi$ la fase, como sigue

\begin{equation*} x_1=\rho\sin\phi \end{equation*}

\begin{equation*} x_2=\rho\cos\phi \end{equation*}

entonces, el invariante $Q_{00}$ toma la siguiente forma

\begin{equation*} Q_{00}=\rho^2\phi\cos^2\phi+\rho^2\phi\sin^2\phi=\rho^2\phi. \end{equation*}

Podemos hacer un cambio de sistema coordenado, en el que ahora nuestras variables son $x_1$ o $x_2$ y $\rho$, de tal forma que el invariante $Q_{00}$ queda expresado como sigue

\begin{equation}\label{eq:invariante Q00} Q_{00}=\dfrac{\rho}{\sqrt{\rho^2-x_1}}(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1}) \end{equation}

es decir, está representado en términos de la posición y de la amplitud.

El invariante de Ermakov-Lewis usualmente se escribe como $I=\dfrac{1}{2}\left(h\dfrac{x^2}{\rho^2}+(x\dot{\rho}-\rho\dot{x})^2\right)$, que en términos de $Q_{00}$ es

\begin{equation}\label{eq:invariante de Ermakov} I=\dfrac{1}{2}Q_{00}^2 =\dfrac{1}{2}\left(Q_{00}^2\dfrac{x^2}{\rho^2}+(x\dot{\rho}+\rho\dot{x})^2\right). \end{equation}

 Comprobación  

Iniciamos con el lado izquierdo de la ecuación (\ref{eq:invariante de Ermakov}) \begin{equation*} Q_{00}^2\dfrac{x_1^2}{\rho^2}+(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2=\dfrac{x_1^2}{\rho^2-x_1^2}(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2+ (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\\ = (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\left[1+\dfrac{x_1^2}{\rho^2-x_1^2}\right]\\ = (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\left[\dfrac{\rho^2}{\rho^2-x_1^2}\right]=Q_{00}^2 \end{equation*}

 Fin de la comprobación  

Oscilador armónico amortiguado

La forma del oscilador armónico amortiguado es la siguiente

\begin{equation} \label{eq:OAA} \dfrac{d^2 x}{dt^2}+\gamma \dfrac{dx}{dt}+\Omega^2x=0. \end{equation}

En donde $\gamma$ es el coeficiente de amortiguamiento y $\Omega^2$ continua siendo el coeficiente de restitución, ambos coeficientes pueden ser dependientes del tiempo.

Intercambio de energía

Cómo podemos ver el coeficiente de amortiguamiento es lineal, por lo que se siguen permitiendo la superposición de soluciones. Digamos que $x_1$ y $x_2$ son soluciones de la ecuación (\ref{eq:OAA}), entonces se cumple

\begin{equation*} \dfrac{d^2x_1}{dt^2}+\gamma\dfrac{dx_1}{dt}+\Omega^2 x_1=0\\ \dfrac{d^2x_2}{dt^2}+\gamma\dfrac{dx_2}{dt}+\Omega^2 x_2=0 \end{equation*} Y dado que $x_1$ y $x_2$ son soluciones no triviales, entonces

\begin{equation*} x_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2}+x_2\gamma\dfrac{dx_1}{dt}+x_2\Omega^2 x_1=0\\ x_1\dfrac{d^2x_2}{dt^2}+x_1\gamma\dfrac{dx_2}{dt}+x_1\Omega^2 x_2=0 \end{equation*}

Si tomamos la diferencia entre estas dos ecuaciones

\begin{equation*} x_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2}-x_1\dfrac{d^2x_2}{dt^2}+\gamma\left[x_2\dfrac{dx_1}{dt}-x_1\dfrac{x_2}{dt}\right]=0 \end{equation*}

Cambiando de notación,

\begin{equation} \label{eq:diferencia entre soluciones} x_2\ddot{x_1}-x_1\ddot{x_2}+\gamma(x_2\dot{x_1}-x_1\dot{x_2})=0 \end{equation}

De ésta última expresión reconocemos $x_2\dot{x_1}-x_1\dot{x_2}$ como el invariante $q_{00}$ (La notación en mayúsculas - $Q_{ij}$ - está reservado para los invariantes independientes del tiempo, lo contrario a la notación en minúscula).

Ahora bien, si tomamos la derivada del invariante $q_{00}$ con respecto al tiempo obtenemos

\begin{equation*} \dfrac{dq_{00}}{dt}=\dfrac{d}{dt}(x_2\dot{x_1}-x_1\dot{x_2})\\ =\dot{x_2}\dot{x_1}+x_2\ddot{x_1}-\dot{x_1}\dot{x_2}-x_1\ddot{x_2}\\ =x_2\ddot{x_1}-x_1\ddot{x_2} \end{equation*}

que corresponde a los dos primeros términos de la ecuación (\ref{eq:diferencia entre soluciones}). Por lo tanto, podemos escribir ésta ecuación en términos del invariante $q_{00}$,

\begin{equation} \dfrac{d}{dt}q_{00}+\gamma q_{00} =0 \end{equation}

Como sabemos, la solución a esta ecuación es

\begin{equation*} q_{00}(t)=Q_{00}\exp^{-\int\gamma dt} \end{equation*}

De aquí obtenemos las expresiones para el intercambio de energía \begin{equation*} \mathcal{E}^{ex}_\omega \equiv \dfrac{1}{2}mq_{00} \end{equation*}

Y el intercambio de energía invariante

\begin{equation*} \mathcal{I}^{ex}_\omega \equiv \dfrac{1}{2}mQ_{00}. \end{equation*}

Energía e invariante $Q_{10}$

Para esta sección usaremos la metodología y resultados de variables complementarias.

Primeramente cambiaremos la notación de la Ec. (\ref{eq:OAA})

\begin{equation}\label{eq:OAA punto} \ddot{x}+\gamma\dot{x}+\Omega^2 x=0 \end{equation}

Sabemos que $v=\dot{x}$, entonces si tomamos la derivada temporal de la Ec. (\ref{eq:OAA punto})

\begin{equation*} \ddot{v}+\gamma \dot{v}+\Omega^2 v+ \dot{\gamma} v +\dot{\Omega^2}x=0 \end{equation*}

Multiplicando esta ecuación por $x$

\begin{equation}\label{eq:variables complementarias 1} x\ddot{v}+\gamma x\dot{v}+\Omega^2 xv+ \dot{\gamma} xv +\dot{\Omega^2}x^2=0 \end{equation}

Ahora bien, el producto de la Ec. (\ref{eq:OAA punto}) con $v$ es

\begin{equation}\label{eq:variables complementarias 2} v\ddot{x}+\gamma v\dot{x}+\Omega^2 vx=0 \end{equation}

La diferencia de la Ec. (\ref{eq:variables complementarias 2}) menos la Ec. (\ref{eq:variables complementarias 1}) es

\begin{equation}\label{eq:diferencia variables complementarias} \dfrac{d}{dt}\left(v\dfrac{dx}{dt}-x\dfrac{dv}{dt}\right)+\gamma\left(v\dfrac{dx}{dt}-x\dfrac{dv}{dt}\right)-\dfrac{d\gamma}{dt}xv-\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2=0 \end{equation}

Notemos que el primer término de la Ec. (\ref{eq:diferencia variables complementarias}) se puede escribir en términos del w-bracket, es decir

\begin{equation*} \lfloor v, x \rfloor = v \dfrac{dx}{dt}-x\dfrac{dv}{dt}=v\dfrac{dx}{dt}-x\dfrac{dv}{dt}=v^2 +\Omega^2x^2 +\gamma x v \end{equation*}

Este w-bracket está asociado con la energía del objeto en presencia de fuerzas restitutivas y de amortiguamiento, por lo que se $q_{10}=\lfloor v, x \rfloor$.

Multiplicando la Ec. (\ref{eq:diferencia variables complementarias}) por el factor de integración $\exp^{\int\gamma dt}$, obtenemos

\begin{equation*} \dfrac{d}{dt}\left[(v^2+\Omega^2x^2 +\gamma x v )\exp^{\int\gamma dt}\right]- \left[\dfrac{d\gamma}{dt}xv +\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2\right]\exp^{\int\gamma dt}=0 \end{equation*}

Por lo tanto el invariante $Q_{10}$ es

\begin{equation*} Q_{10}= (v^2+\Omega^2x^2+\gamma xv) \exp^{\int \gamma dt}-\int \left(\dfrac{d\gamma}{dt}xv +\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2\right)\exp^{\int\gamma dt}dt \end{equation*}

Ahora se puede incluir el favor $\frac{1}{2}m$ para completar la forma usar de la energía cinética y potencial. Entonces como se vio en la sección anterior, la energía total del sistema la podemos escribir en términos del invariante $Q_{10}$

\begin{equation} \mathcal{E}=\dfrac{1}{2}mQ_{10}=\left(\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}m\Omega^2x^2+\dfrac{1}{2}m\gamma x c\right)\exp^{\int \gamma dt}-\\- \dfrac{1}{2}m\int\left(\dfrac{d\gamma}{dt}xv+\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2\right)\exp^{\int\gamma dt} \end{equation}

donde, $\mathcal{E}_k=\dfrac{1}{2}mv^2$ es la energía cinética; $\mathcal{E}_p=\dfrac{1}{2}m\Omega^2x^2$ es la energía potencial y $\mathcal{E}_{df}=-\dfrac{1}{2}m\int\left(\dfrac{d\gamma}{dt}xv+\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2\right)\exp^{\int\gamma dt}$ es la energía disipada o transferida por las fuerzas disipativas o restitutivas . Mientras que el tercer término representa la modulación de energía disipativa

\begin{equation} \mathcal{E}_\gamma=\dfrac{1}{2}m\gamma x v. \end{equation}

Notemos que, cuando $\gamma=0$ entonces, el término disipativo se anula. Si reescribimos el termino disipativo como $\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}x(m\gamma v)$ podemos ver que es igual a la fuerza de fricción por una distancia $x$, es decir, $\mathcal{E}=\dfrac{1}{2}x F_{fricción}$, dado que $F_{fricción}=m\gamma v $.

Por otra parte, el factor $\int \dot{\gamma}xv\exp^{\int \gamma dt}$ puede estar asociado con la mudlacion disipativa. Este término es cero si $\gamma$ es constante o cero.

Finalmente, el término $\mathcal{E}_{df}=-\int\dfrac{d\Omega^2}{dt}x^2 dt $ representa la variación en el tiempo de la energía debía a la transferencia de la fuerza de restitución entre el objeto y el medio. La integración en el tiempo exhibe que los términos dinámicos del campo $\mathcal{E}_{df}$ tienen memoria de la evolución del sistema oscilador-campo .

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