Invariante de Ermakov: interpretacion fisica

La energía de un sistema mecánico que está sujeto a una fuerza conservativa dependiente linealmente del tiempo puede ser descrita mediante la formulación de variables complementarias. Sin embargo, este formalismo también puede usarse para sistemas con amortiguamiento, en donde el intercambio entre energía potencial y energía cinética de un oscilador es evidente. Es en estos sistemas donde el invariante de Ermakov es, precisamente, el intercambio de energías.

Introducción

La formulación de variables complementarias provee un conjunto de invariantes para ecuaciones diferenciales de segundo orden no autónomas. Estos invariantes son combinaciones bilineales de las variables complementarias o de sus derivadas, las cuales, claramente dependen del contexto del sistema mecánico.

Recordemos que las ecuaciones diferenciales autónomas de orden $k %mayor o igual que 1$ Son de la forma

\begin{equation} y^{(k)}=F(y, y^{\prime}, y^{\prime\prime},...,y^{(k-1)}). \end{equation}

Y una función $f$ se dice bilineal en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$, tal que, $f:V\times V \rightarrow \mathbb{F} $ si es lineal con respecto a cada uno de sus argumentos,

\begin{equation*} f(\alpha\,u+\beta\,v, w)=\alpha\,f(u,w)+\beta\,f(v,w) \end{equation*} \begin{equation*} f(u,\alpha\,v+\beta\,w)=\alpha\,f(u,v)+\beta\,f(u,w) \end{equation*}

Osciladores armónicos invariantes dependientes del tiempo

Se sabe que la ecuación de un oscilador armónico simple es una ecuación diferencial de segundo orden de la forma

\begin{equation*} \ddot{x} + \omega^2 x = 0 \end{equation*}

La cual es una ecuación diferencial autónoma. Sin embargo, cuando ya hay dependencia en el tiempo la forma del oscilador armónico es

\begin{equation}\label{eq:HOTD} \ddot{x}+\Omega^2 x= 0 \end{equation}

Donde $\Omega(t)^2$ es un parámetro dependiente del tiempo, por lo que se trata de una ecuación diferencial no autónoma. Al tratarse de una ecuación diferencial lineal en $x$, la ecuación (\ref{eq:HOTD}), admite la superposición de soluciones. Digamos que $x_1$ y $x_2$ son soluciones de dicha ecuación, entonces, el invariante de orden cero es

\begin{equation} Q_{00}=x_2\dot{x_1}-\dot{x_2}x_1 \end{equation}

Cómo vemos, $Q_{00}$ es el wronskiano de las dos soluciones y además es una función bilineal, tal como se dijo en la sección anterior.

Si expresamos a $x_1$ y $x_2$ en forma trigonométrica con $\rho$ siendo la amplitud y $\phi$ la fase, como sigue

\begin{equation*} x_1=\rho\sin\phi \end{equation*}

\begin{equation*} x_2=\rho\cos\phi \end{equation*}

entonces, el invariante $Q_{00}$ toma la siguiente forma

\begin{equation*} Q_{00}=\rho^2\phi\cos^2\phi+\rho^2\phi\sin^2\phi=\rho^2\phi. \end{equation*}

Podemos hacer un cambio de sistema coordenado, en el que ahora nuestras variables son $x_1$ o $x_2$ y $\rho$, de tal forma que el invariante $Q_{00}$ queda expresado como sigue

\begin{equation}\label{eq:invariante Q00} Q_{00}=\dfrac{\rho}{\sqrt{\rho^2-x_1}}(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1}) \end{equation}

es decir, está representado en términos de la posición y de la amplitud.

El invariante de Ermakov-Lewis usualmente se escribe como $I=\dfrac{1}{2}\left(h\dfrac{x^2}{\rho^2}+(x\dot{\rho}-\rho\dot{x})^2\right)$, que en términos de $Q_{00}$ es

\begin{equation}\label{eq:invariante de Ermakov} I=\dfrac{1}{2}Q_{00}^2 =\dfrac{1}{2}\left(Q_{00}^2\dfrac{x^2}{\rho^2}+(x\dot{\rho}+\rho\dot{x})^2\right). \end{equation}

 Comprobación  

Iniciamos con el lado izquierdo de la ecuación (\ref{eq:invariante de Ermakov}) \begin{equation*} Q_{00}^2\dfrac{x_1^2}{\rho^2}+(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2=\dfrac{x_1^2}{\rho^2-x_1^2}(x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2+ (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\\ = (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\left[1+\dfrac{x_1^2}{\rho^2-x_1^2}\right]\\ = (x_1\dot{\rho}-\rho\dot{x_1})^2\left[\dfrac{\rho^2}{\rho^2-x_1^2}\right]=Q_{00}^2 \end{equation*}

 Fin de la comprobación  

Oscilador armónico amortiguado

La forma del oscilador armónico amortiguado es la siguiente

\begin{equation} \label{eq:OAA} \dfrac{d^2 x}{dt^2}+\gamma \dfrac{dx}{dt}+\Omega^2x=0. \end{equation}

En donde $\gamma$ es el coeficiente de amortiguamiento y $\Omega^2$ continua siendo el coeficiente de restitución, ambos coeficientes pueden ser dependientes del tiempo.

Cómo podemos ver el coeficiente de amortiguamiento es lineal, por lo que se siguen permitiendo la superposición de soluciones. Digamos que $x_1$ y $x_2$ son soluciones de la ecuación (\ref{eq:OAA}), entonces se cumple

\begin{equation*} \dfrac{d^2x_1}{dt^2}+\gamma\dfrac{dx_1}{dt}+\Omega^2 x_1=0\\ \dfrac{d^2x_2}{dt^2}+\gamma\dfrac{dx_2}{dt}+\Omega^2 x_2=0 \end{equation*} Y dado que $x_1$ y $x_2$ son soluciones no triviales, entonces

\begin{equation*} x_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2}+x_2\gamma\dfrac{dx_1}{dt}+x_2\Omega^2 x_1=0\\ x_1\dfrac{d^2x_2}{dt^2}+x_1\gamma\dfrac{dx_2}{dt}+x_1\Omega^2 x_2=0 \end{equation*}

Si tomamos la diferencia entre estas dos ecuaciones

\begin{equation*} x_2\dfrac{d^2x_1}{dt^2}-x_1\dfrac{d^2x_2}{dt^2}+\gamma\left[x_2\dfrac{dx_1}{dt}-x_1\dfrac{x_2}{dt}\right]=0 \end{equation*}