Indeterminacion

Indeterminación en la amplitud y la fase

La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y es reprersentada por la letra A. En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.

Figura 1. Amplitud de una onda.

Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que es una normalización del tiempo que requiere la onda para concluir un ciclo.

Figura 2. Diferencia de fases

Físicamente hablando en una oscilación siempre encontraremos una dependencia temporal entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:

$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi )$

donde:
A = amplitud
$\omega$ = Frecuencia angular
t = Tiempo
$\varphi$ = Fase

Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales invariantes.

Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.

Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.

Amisaday (discusión)

Sistemas de Ermakov

La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los 1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica, como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov, en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento un método para integrar ecuaciones del tipo:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0 \end{equation}

Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no existe un método general para obtener las soluciones de este tipo de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación con coeficientes constantes:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0 \end{equation}

Cuya la solución general es de la forma:

\begin{equation} \varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x) \end{equation}

donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.

Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1) por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura (calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo (1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación, que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W. E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado inverso y que se puede escribir como :

\begin{equation} \ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}} \end{equation}

La ecuación (4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0 \end{equation}

La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun, Ermakov demostro que la funcion

\begin{equation} I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C \end{equation}

donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además, si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente, las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las soluciones de la otra.

SISTEMAS DE ERMAKOV: \bibitem{key-1}https://sahuarus.mat.uson.mx/index.php/sahuarus/article/download/76/63/

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SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: Evamontiel (discusión)

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¿Qué no es?

Veremos que no es, por ejemplo entonces esto es asi

Mfgwi (discusión) 16:41 21 may 2020 (CDT)

representación de amplitud y fase

Mfgwi (discusión) 20:19 16 may 2020 (CDT)

pensé que esta imagen les podría ser útil ...

indeterminacion: relación entre ángulos

indeterminación