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Línea 588: Línea 588:
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia
la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$.  
de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$.  
CANTIDADES CONSERVATIVAS
Las funciones ortogonales invariantes de (25) y las relaciones no
lineales para la amplitud (27) y la fase (28) están dadas por
\begin{equation}
W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi}
\end{equation}
Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario
dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar
soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo
clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante
en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador
de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El
valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente
si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes
del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a
\begin{equation}
W=A_{0}B_{0}\omega_{0}
\end{equation}
El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes
valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía
con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa
la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante
$k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma
de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$.
En términos de amplitud y variables de fase
\begin{equation}
E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c}
\end{equation}
Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$
por un parámetro constante en (33) y (34)
\begin{equation}
E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi
\end{equation}
Observe que aunque (37) involucra a $B_{0}$a través de las funciones
de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$,
esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución
de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado
bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto,
la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$
o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la
calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial.
Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo
y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$
no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia
dependen del tiempo.
MEDICIONES
Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento
armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera:
La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde
el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma
amplitud máxima después de cada ciclo.
La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones
en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier
caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas
y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas
coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante
si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.
La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada
por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.
Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto
considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce
que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido
considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con (33).
Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la
fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según
(34). Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud
constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse
ya que son una opción más simple.
Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir
en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud
constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$
gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante
$\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro
$\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo
de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De
acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el
desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud
también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$
La relación invariante (25) conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$.
Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin
cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante
no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta
debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro
dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto
que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción
se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan
del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial
sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$
en este estado inicial.
Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando
se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces
$A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de
la relación invariante en condiciones de estado estable (36), a saber,
$W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el
estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$,
que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto,
la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema
particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del
subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución
analítica aproximada.
Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del
tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta
condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben
ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud
y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen
no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos
con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período
del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas
en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede
extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto
Concluciones
La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de
amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado
para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes
del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual
pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales
no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con
la propagación. También se espera que la representación de amplitud
y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado
que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes
del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud
y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros
dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son
la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la
elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto
de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento
máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente
del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación
a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha
demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere,
a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el
tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes
del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.


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Revisión del 13:39 12 jul 2020

Indeterminación en la amplitud y la fase

La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y es reprersentada por la letra A.[1] En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.

Figura 1. Amplitud de una onda.

Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que es una normalización del tiempo que requiere la onda para concluir un ciclo.

Figura 2. Diferencia de fases

Físicamente hablando en una oscilación siempre encontraremos una dependencia temporal entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:



donde:
A = amplitud
$\omega$ = Frecuencia angular
t = Tiempo
$\varphi$ = Fase

Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales invariantes.[2]

Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.[3]

Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia[4].

Amisaday (discusión)

Sistemas de Ermakov

La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los 1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica, como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov, en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento un método para integrar ecuaciones del tipo:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0 \end{equation}

Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no existe un método general para obtener las soluciones de este tipo de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación con coeficientes constantes:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0 \end{equation}

Cuya la solución general es de la forma:

\begin{equation} \varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x) \end{equation}

donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.

Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1) por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura (calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo (1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación, que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W. E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado inverso y que se puede escribir como :

\begin{equation} \ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}} \end{equation}

La ecuación (4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0 \end{equation}

La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun, Ermakov demostro que la funcion

\begin{equation} I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C \end{equation}

donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además, si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente, las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las soluciones de la otra.

SISTEMAS DE ERMAKOV: Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales, acopladas, de la forma:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right) \end{equation}

\begin{equation} \ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right) \end{equation}

donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega} es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas, el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante), que es de la forma

\begin{equation} I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau \end{equation}

Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8) nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante un calculo directo, de (8) se tiene

\[ I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2} \]

lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

\begin{equation} \dot{x}=u, \end{equation}

\begin{equation} \dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x, \end{equation}

\begin{equation} \dot{y}=v \end{equation}

\begin{equation} \dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y, \end{equation}

y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este sistema esta dado por

\begin{equation} X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u} \end{equation}

Notemos que si denimos lo campos \[ Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u} \]

\[ Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v} \]

entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero se tiene

\[ X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3} \]

Ademas, notemos que si

\[ Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right) \]

entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$ $Z_{3}$

$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$ $\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$

Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas de Lie.

Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0 \end{equation}

y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion, es decir,

\begin{equation} \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0 \end{equation}

Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se obtiene

\begin{equation} u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0 \end{equation}

haciendo un campo de variable

\[ \omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx} \]

transforma la ecuación (17) en

\[ \frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0 \]

la cual al intrgrarla obtenemos:

\begin{equation} \omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right) \end{equation}

donde c es una constante.

Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion (15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente el termino de la primera derivada $dy/dx$.

En efecto, si hacemos

\[ y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right) \]

entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la variable dependiente y, (15) se transforma en

\begin{equation} \frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z \end{equation}

Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y \end{equation}

donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen, esencialmente, de las races de la ecuacion \begin{equation} px^{3}+qx^{2}+rx+s=0 \end{equation}

y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas manejable.

Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas se tiene la ecuacion diferencial

\[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y \]

la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones) si se cumple que

\[ \sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}} \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de

\[ \frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}} \]

Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20) se puede escribir como

\[ \left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y \]

la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:

1.Si \[ \sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}}, \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices.

2.Si $\alpha=0$ y

\[ \frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}, \]

es un entero impar.

3.Si $\alpha=\beta=0$

Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables. Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables. [5]

La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética, la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO). Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas de propagación.

Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado densidad de campos.

Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas cuánticos.

Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales en el dominio cuántico.

No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.

También hay un generalizado uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal: pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico; en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es el término técnico para cambiar la forma de una función matemática , una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.) de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.

En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.

Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$

\begin{equation} \ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0 \end{equation}

donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo. La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud $"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como

\begin{equation} q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right). \end{equation}

La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal

\begin{equation} \ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0 \end{equation}

donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante exacta se da en las variables de amplitud y fase por

\begin{equation} W=A^{2}\frac{d\phi}{dt} \end{equation}

Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante de Ermakov-Lewis dada por \[ \frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right] \]

donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables de amplitud.

La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde $A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$ representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial. Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial de segundo orden. [6]



SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: Evamontiel (discusión)


¿Qué no es?

Veremos que no es, por ejemplo entonces esto es asi

Mfgwi (discusión) 16:41 21 may 2020 (CDT)

No es la incertidumbre cuántica

No es la indeterminación de transformadas de Fourier

representación de amplitud y fase

Mfgwi (discusión) 20:19 16 may 2020 (CDT)

pensé que esta imagen les podría ser útil ...

indeterminacion: relación entre ángulos

Considerando la función

\begin{equation} cos\left[arctan\left(\frac{Bsen\phi}{Asen\phi}\right)\right]=cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right], \end{equation}


donde $B$ es una función arbitraria del tiempo. La identidad trigonométrica

\begin{equation} cos\left[arctan\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\right]=\frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}}} \end{equation}

Si tomamos $\alpha=tan\phi$ y $\beta=A/B$ tenemos que

\begin{equation} cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right]=\frac{Acos\phi}{\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}} \end{equation}

entonces

\begin{equation} Acos\phi=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi}cos\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right] \end{equation}

donde las amplitudes estan dadas por

\[ A,\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi} \]

y las fases por \[ \phi,\left[arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right)\right] \]

Para cualquier función real $B$ la función de amplitud es entonces

\begin{equation} g(t)=\sqrt{A^{2}cos^{2}\phi+B^{2}sen^{2}\phi} \end{equation}

mientras que la fase es

\begin{equation} \gamma(t)=arctan\left(\frac{B}{A}tan\phi\right) \end{equation}

Si $A$ satisface la ecuación diferencial de amplitud, la amplitud $g(t)$ también es una solución si $B$ satisface la ecuación de amplitud (24). Esta afirmación es, de hecho, la declaración del principio de superposición aplicable a la ecuación diferencial de amplitud no lineal.Este principio es análogo al principio de superposición lineal que gobierna la coordenada lineal, ecuación diferencial (22). Por lo tanto, si proyectamos la solución de coordenadas en términos de amplitud y variables de fase, estas variables son indeterminadas hasta una función $B$ según las ecuaciones (29) y (30) siempre que esta función satisfaga la ecuación no lineal de amplitud (24). \subsection*{Parametro constante}

En el caso particular de un parámetro constante $\Omega$, una solución con amplitud constante y una fase lineal es admisible. La función $B$ se puede establecer en la constante $B_{0}$ que cumple la ecuación diferencial de amplitud. La identidad (30) es entonces

\begin{equation} A_{0}cos(\omega_{0}t+\theta)=g_{c}(t,A_{0},B_{0})cos\left(\intop\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})dt\right) \end{equation}

donde la amplitud

\begin{equation} g_{c}(t,A_{0},B_{0})=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} } \end{equation}

ahora depende del tiempo. La face

\[ \gamma_{c}(t,A_{0},B_{0})=arctan\frac{B_{0}}{A_{0}}tan\left(\omega_{0}t+\theta\right) \]

es no lineal y la frecuencia tambien esta en funcion del tiempo.

\begin{equation} \frac{d_{\gamma_{c}}(t,A_{0},B_{0})}{dt}\equiv\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})=\frac{A_{0}B_{0}\omega_{0}}{\frac{1}{2}\left\{ \left(A_{0}^{2}+B_{0}^{2}\right)+\left(A_{0}^{2}-B_{0}^{2}\right)cos\left[2(\omega_{0}t+\theta)\right]\right\} } \end{equation}

Si elegimos $B_{0}=0$, entonces la frecuencia $\omega_{c}(t,A_{0},B_{0})$ es cero y la amplitud $g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ lleva toda la información de la función. En el caso opuesto cuando $B_{0}=A_{0}$, una identidad trivial es recuperada donde la amplitud es constante y la fase es lineal. Por lo tanto, la amplitud de un oscilador armónico con parámetro independiente del tiempo no es necesariamente constante pero puede ser dependiente del tiempo y su frecuencia no es una constante fortiori.

No obstante, el producto de la amplitud dependiente del tiempo multiplicada por el coseno de la fase no lineal $q=g_{c}(t)cos\left[\gamma_{c}(t)\right]$produce la misma trayectoria que la dada por la amplitud constante y la dependencia de fase lineal con frecuencia constante $q=A_{0}cos\left[\omega_{0}t+\theta\right]$.

CANTIDADES CONSERVATIVAS

Las funciones ortogonales invariantes de (25) y las relaciones no lineales para la amplitud (27) y la fase (28) están dadas por

\begin{equation} W=g^{2}\dot{\gamma}=\frac{1}{2}\left(A\dot{B}-B\dot{A}\right)sen\left(2\phi\right)+AB\dot{\phi} \end{equation}

Esta cantidad permanece invariable incluso para un parámetro arbitrario dependiente del tiempo. Esta propiedad ha sido usada para encontrar soluciones tanto en problemas unidimensionales dependientes del tiempo clásicos como cuánticos. Además, se ha enfatizado que esta invariante en el caso dependiente del tiempo, juega el papel que hace el operador de energía cuando los parámetros son independientes del tiempo. El valor de la invariante depende de la elección de B y desaparece claramente si B se establece en cero. Si las cantidades A, B son independientes del tiempo, las funciones ortogonales invariables se simplifican a

\begin{equation} W=A_{0}B_{0}\omega_{0} \end{equation}

El valor propio de la invariante difiere claramente para diferentes valores de $B_{0}$. Por el contrario, si hay un parámetro que varía con el tiempo, el hamiltoniano depende del tiempo y ya no representa la energía del sistema. En el caso particular del parámetro constante $k=\Omega^{2}m$, la energía de un oscilador viene dada por la suma de las energías cinética y potencial $E=\frac{1}{2}mq^{2}+\frac{1}{2}kq^{2}$. En términos de amplitud y variables de fase

\begin{equation} E=\frac{1}{2}m\left(\dot{g}_{c}cos\gamma_{c}-g_{c}\dot{\gamma}_{c}sin\gamma_{c}\right)^{2}+\frac{1}{2}kg_{c}^{2}cos^{2}\gamma_{c} \end{equation}

Sustitucyendo $g_{c}\left(t\right)$y $\gamma_{c}\left(t\right)$ por un parámetro constante en (33) y (34)

\begin{equation} E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\left(\dot{\phi sen\phi}\right)^{2}+\frac{1}{2}kA_{0}^{2}cos^{2}\phi \end{equation}

Observe que aunque (37) involucra a $B_{0}$a través de las funciones de amplitud $g_{c}\left(t\right)$ y fase $\gamma_{c}\left(t\right)$, esta última expresión ya no depende de la constante $B_{0}$. La sustitución de $\sqrt{\frac{k}{m}}=\dot{\phi}=\omega_{0}$, produce el resultado bien conocido $E=\frac{1}{2}mA_{0}^{2}\omega_{0}^{2}$. Por lo tanto, la función de energía es idéntica para $A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$ o $g_{c}\left(t\right)cos\gamma_{c}\left(t\right)$, siempre que la calculemos a partir de la suma de las energías cinética y potencial. Esta afirmación es cierta incluso si la amplitud depende del tiempo y la fase no es lineal. Vale la pena señalar que la expresión $\frac{1}{2}mg_{c}^{2}\left(t\right)\dot{\gamma}_{c}^{2}\left(t\right)$ no representa la energía del sistema si la amplitud y la frecuencia dependen del tiempo.

MEDICIONES

Desde un punto de vista experimental, la amplitud y la fase del movimiento armónico-oscilatorio se miden de la siguiente manera:

La amplitud $A_{0}$ se establece igual al desplazamiento máximo desde el equilibrio y se considera constante si el sistema alcanza la misma amplitud máxima después de cada ciclo.

La frecuencia a su vez se evalúa a partir del número de oscilaciones en un intervalo de tiempo o de la duración de un período. En cualquier caso, el movimiento se marca en una posición y velocidad determinadas y se completa una oscilación cuando el cuerpo vuelve a las mismas coordenadas de posición y velocidad. La frecuencia se considera constante si el período de las oscilaciones es independiente del tiempo.

La fase, lineal en el tiempo, se considera igual a la frecuencia multiplicada por el tiempo con una constante de fase inicial arbitraria.

Sin embargo, los resultados actuales muestran que es demasiado pronto considerar que si el desplazamiento máximo es constante, se deduce que la amplitud es independiente del tiempo. Es igualmente válido considerar que la amplitud depende del tiempo de acuerdo con (33). Por otro lado, incluso si el período de oscilación es constante, la fase puede ser no lineal y la frecuencia depende del tiempo según (34). Se puede argumentar, con buenas razones, que dado que la amplitud constante y la fase lineal son igualmente válidas, deben preferirse ya que son una opción más simple.

Sin embargo, no siempre es posible hacer tal elección sin incurrir en inconsistencias. Por ejemplo, considere un sistema con una amplitud constante inicial $A_{0i}$ y una frecuencia $\omega_{i}=\Omega_{i}$ gobernada por la ecuación del oscilador con el parámetro constante $\Omega^{2}\left(t\right)=\varOmega_{i}^{2}$. Deje que el parámetro $\Omega$ cambie abruptamente cuando el desplazamiento sea máximo de $\varOmega_{i}$ a una constante diferente $\varOmega_{f}$. De acuerdo con el procedimiento de medición convencional, dado que el desplazamiento máximo permanece constante e inalterado, la amplitud también permanecerá constante e inalterada $A_{i}=A_{f}=A_{0}$

La relación invariante (25) conduce a $A_{0}^{2}\Omega_{i}=A_{0}^{2}\Omega_{f}$. Entonces, el parámetro $\varOmega_{i}=\varOmega_{f}$ permanece sin cambios, lo que contradice la suposición inicial, o la relación invariante no se cumple y $W_{i}\neq W_{f}$. Sin embargo, la invariante exacta debe ser constante durante todo el movimiento, incluso si el parámetro dependiente del tiempo varía en un lapso de tiempo mucho más corto que el período característico del sistema. Esta aparente contradicción se resuelve si se permite que la amplitud y la frecuencia dependan del tiempo en el estado inicial o final. Deje que la amplitud inicial sea constante $Ai=g_{c}(t,A_{i,}A_{0})=A_{0}$, donde $B_{0i}=A_{0i}$ en este estado inicial.

Dado que la posición se encuentra en el desplazamiento máximo cuando se produce el cambio brusco $q_{i}(\phi=0)=q_{i}(\phi=0)$, entonces $A_{0i}=A_{0f}=A_{0}$. En el estado final, $B_{0f}$ se obtiene de la relación invariante en condiciones de estado estable (36), a saber, $W=A_{0}^{2}\varOmega=A_{0}B_{0f}\varOmega_{f}$. La amplitud en el estado final es entonces $A_{f}=g_{c}(t,A_{0},B_{0})$ con $B_{0}=\frac{A_{0}\varOmega_{i}}{\varOmega_{f}}$, que es claramente una amplitud dependiente del tiempo. Por lo tanto, la elección de amplitud constante no siempre es posible. Este problema particular de un TDHO con un parámetro dependiente del tiempo del subperíodo se ha tratado recientemente en detalle utilizando una solución analítica aproximada.

Los procesos adiabáticos requieren que el parámetro dependiente del tiempo $\varOmega$ varíe lentamente con respecto al tiempo. Esta condición, a su vez, implica que la amplitud y la frecuencia deben ser funciones cuasiestáticas. Por lo tanto, las funciones de amplitud y frecuencia dependientes del tiempo deben asociarse con el régimen no adiabático. Por lo tanto, los sistemas de osciladores armónicos con parámetros rápidos dependientes del tiempo con respecto al período del sistema, es decir, no adiabáticos, deben exhibir variaciones rápidas en las variables de amplitud y frecuencia. Si esta afirmación puede extenderse a otros sistemas dinámicos sigue siendo un tema abierto

Concluciones

La trayectoria de una partícula puede describirse en variables de amplitud y fase de una manera no única. Esta afirmación se ha demostrado para un oscilador armónico unidimensional con parámetros dependientes del tiempo. Sin embargo, parece plausible que la derivación actual pueda extenderse al movimiento tridimensional, potenciales más generales no lineales en las variables espaciales y problemas relacionados con la propagación. También se espera que la representación de amplitud y fase no sea única en estos contextos más generales. Se ha demostrado que la energía del oscilador unidimensional con parámetros independientes del tiempo sigue siendo la misma, incluso si las soluciones de amplitud y frecuencia dependen del tiempo. Para un oscilador armónico con parámetros dependientes del tiempo, las funciones ortogonales invariantes son la cantidad conservada. El valor de este invariante depende de la elección inicial de las funciones de amplitud y fase. Desde el punto de vista de la teoría de la medición, se ha demostrado que un desplazamiento máximo constante no implica necesariamente una amplitud independiente del tiempo. Del mismo modo, un período que no varía de una oscilación a otra también admite una frecuencia dependiente del tiempo. Se ha demostrado que un TDHO con un cambio de frecuencia repentino requiere, a priori, un comportamiento de amplitud y frecuencia variable en el tiempo. Además, la amplitud y la frecuencia se vuelven dependientes del tiempo cuando no se cumple la condición adiabática.



Representación de Amplitud y Fase: Evamontiel (discusión)

indeterminación [6]

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  5. sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download
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