Diferencia entre revisiones de «Indeterminacion»

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3.Si $\alpha=\beta=0$
3.Si $\alpha=\beta=0$
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Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo
Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo
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los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial
los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial
de segundo orden.
de segundo orden.
<ref>sahuarus.mat.uson.mx › sahuarus › article › download</ref>
<ref name="mfg06">M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator.
Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006
https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf</ref>





Revisión del 14:22 8 jul 2020

Indeterminación en la amplitud y la fase

La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y es reprersentada por la letra A.[1] En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.

Figura 1. Amplitud de una onda.

Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que es una normalización del tiempo que requiere la onda para concluir un ciclo.

Figura 2. Diferencia de fases

Físicamente hablando en una oscilación siempre encontraremos una dependencia temporal entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:



donde:
A = amplitud
$\omega$ = Frecuencia angular
t = Tiempo
$\varphi$ = Fase

Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales invariantes.[2]

Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.[3]

Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia[4].

Amisaday (discusión)

Sistemas de Ermakov

La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los 1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica, como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov, en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento un método para integrar ecuaciones del tipo:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0 \end{equation}

Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no existe un método general para obtener las soluciones de este tipo de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación con coeficientes constantes:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0 \end{equation}

Cuya la solución general es de la forma:

\begin{equation} \varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x) \end{equation}

donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.

Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1) por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura (calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo (1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación, que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W. E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado inverso y que se puede escribir como :

\begin{equation} \ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}} \end{equation}

La ecuación (4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0 \end{equation}

La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun, Ermakov demostro que la funcion

\begin{equation} I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C \end{equation}

donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además, si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente, las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las soluciones de la otra.

SISTEMAS DE ERMAKOV: Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales, acopladas, de la forma:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right) \end{equation}

\begin{equation} \ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right) \end{equation}

donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega} es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas, el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante), que es de la forma

\begin{equation} I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau \end{equation}

Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8) nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante un calculo directo, de (8) se tiene

\[ I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2} \]

lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

\begin{equation} \dot{x}=u, \end{equation}

\begin{equation} \dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x, \end{equation}

\begin{equation} \dot{y}=v \end{equation}

\begin{equation} \dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y, \end{equation}

y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este sistema esta dado por

\begin{equation} X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u} \end{equation}

Notemos que si denimos lo campos \[ Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u} \]

\[ Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v} \]

entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero se tiene

\[ X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3} \]

Ademas, notemos que si

\[ Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right) \]

entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$ $Z_{3}$

$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$ $\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$

Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas de Lie.

Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0 \end{equation}

y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion, es decir,

\begin{equation} \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0 \end{equation}

Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se obtiene

\begin{equation} u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0 \end{equation}

haciendo un campo de variable

\[ \omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx} \]

transforma la ecuación (17) en

\[ \frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0 \]

la cual al intrgrarla obtenemos:

\begin{equation} \omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right) \end{equation}

donde c es una constante.

Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion (15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente el termino de la primera derivada $dy/dx$.

En efecto, si hacemos

\[ y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right) \]

entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la variable dependiente y, (15) se transforma en

\begin{equation} \frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z \end{equation}

Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y \end{equation}

donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen, esencialmente, de las races de la ecuacion \begin{equation} px^{3}+qx^{2}+rx+s=0 \end{equation}

y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas manejable.

Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas se tiene la ecuacion diferencial

\[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y \]

la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones) si se cumple que

\[ \sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}} \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de

\[ \frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}} \]

Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20) se puede escribir como

\[ \left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y \]

la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:

1.Si \[ \sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}}, \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices.

2.Si $\alpha=0$ y

\[ \frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}, \]

es un entero impar.

3.Si $\alpha=\beta=0$ [5]

Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables. Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.

La propagación de perturbaciones en la mecánica del continuo también se escribe con frecuencia en términos de estas variables. Tal perturbación puede corresponder a una posición, velocidad o campo de fuerza. En fenómenos de onda, ya sea de naturaleza mecánica o electromagnética, la amplitud y la representación de fase De hecho, es la representación más común. La propagación de un escalar monocromático el tren de olas en un medio no homogéneo en una dimensión es formalmente equivalente al problema del oscilador armónico dependiente del tiempo (TDHO). Por lo tanto, las conclusiones extraídas del estudio del sistema unidimensional TDHO puede extenderse fácilmente a un importante clase de sistemas de propagación.

Por otro lado, el formalismo de los sistemas de Ermakov se ha generalizado a un número arbitrario de dimensiones. En particular, las funciones ortogonales el procedimiento invariante se ha extendido recientemente a la ecuación de propagación de onda escalar 3 + 1 donde el concepto se traduce en una ecuación de conservación con el complemento apropiado densidad de campos.

Los invariantes de Ermakov se han utilizado ampliamente en la mecánica cuántica para encontrar exactos o soluciones aproximadas a la ecuación de Schrödinger. La representación de amplitud y el método de aproximación integral de fase se ha implementado con éxito en diferentes problemas cuánticos.

Por otra parte, la incertidumbre cuántica entre las variables conjugadas se cumple necesariamente para la amplitud y fase observables. Sin embargo, la naturaleza de estas dos indeterminaciones es bastante independiente de la indeterminación clásica de amplitud-fase discutida aquí. Para evitar confusiones, el presente artículo evita cualquier referencia adicional a las implicaciones de los resultados actuales en el dominio cuántico.

No es necesario subrayar la importancia de la representación de amplitud y fase en diferentes campos de la física En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque ha se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos en materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d\textquoteright Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como pozos cuánticos, osciladores cuánticos, barrera de transmisión y estados de incertidumbre mínima.

También hay un generalizado uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Algunos ejemplos recientes en astronomía observacional son los mapas cósmicos de radiación de fondo de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal: pulso ultracorto de absorción de dos fotones y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física: medición de ruido interferométrico; en instrumentos científicos: diseño óptico de microscopios, apodización(es el término técnico para cambiar la forma de una función matemática , una señal eléctrica, una transmisión óptica o una estructura mecánica.) de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia.

En este artículo, primero se muestra que las variables de amplitud y fase no se determinan de manera única para una trayectoria dada que es una solución de la ecuación clásica del oscilador armónico en una dimensión Esta indeterminación no altera el valor propio de la energía en el tiempo independiente pero modifica el valor propio de las funciones ortogonales invariables.Los procedimientos habituales de medición de amplitud y fase se revisan a la luz de las anteriores derivaciones más bien contraintuitivamente, desde un punto de vista experimentalista, se muestra que ese movimiento oscilatorio con desplazamiento máximo constante no necesariamente implica un amplitud constante.

Entonces considerando la ecuación de oscilador armónico unidimensional con parámetro dependiente del tiempo $\Omega(t)$

\begin{equation} \ddot{q}+\Omega^{2}\left(t\right)q=0 \end{equation}

donde el overdot representa la diferenciación con respecto al tiempo. La solución real valorada en los términos de las variables de amplitud $"A"$ y fase $"\phi"$ se escriben como

\begin{equation} q=A\left(t\right)cos\left(\phi\left(t\right)\right). \end{equation}

La amplitud es entonces la solución a la ecuación diferencial no lineal

\begin{equation} \ddot{A}+\Omega^{2}\left(t\right)A-\frac{W^{2}}{A^{2}}=0 \end{equation}

donde W representa el Wronskiano también conocido como funciones ortogonales invariantes exactas y es de utilidad para determinar si dos o un conjunto de funciones son independientes linealmente en un intervalo dado para crear un conjunto solucion que a la vez respete la teoria de las ecuaciones diferenciales. La notación explícita de dependencia del tiempo de A (t), \textgreek{f} (t) se elimina a continuación. Esta invariante exacta se da en las variables de amplitud y fase por

\begin{equation} W=A^{2}\frac{d\phi}{dt} \end{equation}

Una constante de movimiento estrechamente relacionada es la invariante de Ermakov-Lewis dada por \[ \frac{1}{2}\left[\frac{W^{2}q^{2}}{A^{2}}+\left(q\dot{A}-A\dot{q}\right)^{2}\right] \]

donde el invariante se expresa en términos de coordenadas y variables de amplitud.

La solución general cuando $\Omega$ es independiente del tiempo generalmente se escribe como $q=A_{0}cos\left(\omega_{0}t+\theta\right)$, donde $A_{0}$ representa una amplitud constante y el argumento de la función trigonométrica representa una fase lineal. En este caso, $\omega_{0}$ representa la frecuencia constante y $\theta$ es una fase inicial. Las dos constantes arbitrarias $A_{0}$ y $\theta$ corresponden a los dos parámetros de la solución general a una ecuación diferencial de segundo orden. [6]



SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: Evamontiel (discusión)


¿Qué no es?

Veremos que no es, por ejemplo entonces esto es asi

Mfgwi (discusión) 16:41 21 may 2020 (CDT)

No es la incertidumbre cuántica

No es la indeterminación de transformadas de Fourier

representación de amplitud y fase

Mfgwi (discusión) 20:19 16 may 2020 (CDT)

pensé que esta imagen les podría ser útil ...

indeterminacion: relación entre ángulos

indeterminación [6]

  1. French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté
  2. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
  3. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
  4. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
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  6. 6,0 6,1 M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf