Diferencia entre revisiones de «Indeterminacion»

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\end{equation}
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donde \ensuremath{\eta}, \ensuremath{\tau}, \ensuremath{\xi}, \ensuremath{\mathtt{p}},
donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,
\ensuremath{\mathtt{q}}, \ensuremath{\mathtt{r}}, \ensuremath{\mathtt{s}}
son constantes.De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen,
esencialmente, de las races de la ecuacion
esencialmente, de las races de la ecuacion
\begin{equation}
\begin{equation}

Revisión del 11:35 8 jul 2020

Indeterminación en la amplitud y la fase

La amplitud es una medida del recorrido máximo de una vibración u oscilación desde su punto de equilibrio, también es una característica que describe la intencidad de una vibración, esta tiene la carcterística de ser constante y es reprersentada por la letra A.[1] En la figura 1 se puede observar claramente la amplitud en la función de una onda.

Figura 1. Amplitud de una onda.

Por otra parte la fase $\varphi$ es la diferencia de tiempo entre dos ondas senoidales. Aunque esta mida un tiempo por lo general será medida en terminos de un ángulo, esto es debido a que es una normalización del tiempo que requiere la onda para concluir un ciclo.

Figura 2. Diferencia de fases

Físicamente hablando en una oscilación siempre encontraremos una dependencia temporal entre su desplazamiento y su valor de equilibrio la cual es llamada como oscilación armónica, esta oscilación es descrita matemáticamente por la ecuación:



donde:
A = amplitud
$\omega$ = Frecuencia angular
t = Tiempo
$\varphi$ = Fase

Es importante mencionar que aunque siempre encontremos una relación temporal entre la amplitud y la fase, podremos determinarlas aunque algúna de ellas sea independiente del tiempo, lo que demuestra que la amplitud y la frecuencia podría ser linealmente dependiente del tiempo y la fase mostrar{ia una dependencia no lineal. Una de las consecuencias de esta indeterminación se vería reflejada en la energía y en la evaluación de las funciones ortogonales invariantes.[2]

Tener claro el concepto de estas variables es de suma importancia dado que en física se puede describir la posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto, usualmente descrito en terminos de la amplitud y la fase en un movimiento periódico.[3]

Es necesario enfatizar la importancia de la representacióon de estas dos variables en diferentes campos de la física. En los últimos años, desde un punto de vista teórico, este enfoque se ha utilizado para estudiar problemas de dispersión en medios electromagnéticos aleatorios y acústicos, materiales no homogéneos; soluciones de ecuaciones diferenciales para el Coulomb de dos centros, d’Alambert y problemas de TDHO; sistemas de mecánica cuántica como la correlación enredos por pares propios de EPR, pozos cuánticos, osciladores cuánticos, transmisión de barrera y estados de incertidumbre mínima. También se ha generalizado el uso de estas variables en la detección y análisis de datos experimentales. Por ejemplo. En astronomía observacional hay mapas de fondo cósmicos de microondas y correlaciones en el ciclo solar; en óptica no lineal se observa en el pulso ultracorto de absorción de dos fotones, óptico amplificadores y señales ópticas dependientes del tiempo; en óptica física como ruido interferométrico medidas y estándares; en instrumentos científicos como diseño óptico de confocal microscopios, apodización de pupilas telescópicas y análisis de espectros de reflectancia[4].

Amisaday (discusión)

Sistemas de Ermakov

La posición de un cuerpo en un sistema mecánico discreto a menudo se expresa en términos de la amplitud y variables de fase en movimiento periódico o cuasiperiódico. Las relaciones que gobiernan las variables de posición y amplitud en una dimensión producen un par de ecuaciones de Ermakov estas ecuaciones conducen a invariantes exactos incluso en el caso donde la energía del sistema no se conserva. Los invariantes exactos son constantes de movimiento para parámetros arbitrarios dependientes del tiempo, La representación de la amplitud y la fase es concomitante a la derivación de invariantes exactas, es decir aparecen o actúan conjuntamente. Por esta razón, la determinación de estas cantidades es crucial para establecer el valor propio de los invariantes. De ahí la relevancia de los sistemas de Ermakov ya que son usados en una amplia variedad de modelos y disciplinas de física. Los sistemas de Ermakov involucran ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias y han sido estudiados ampliamente desde finales de la década de los 1970s por sus conexiones con problemas importantes de la físico-matématica, como por ejemplo, el oscilador armónico dependiente del tiempo, tanto en el caso clásico como en el cuántico. Asimismo, varios casos de la ecuación de Schrödinger, se pueden estudiar desde la óptica de estos sistemas. Por ello hablaremos un poco acerca de que son los sistemas de Ermakov En 1880, el matemático ucraniano Vasily P. Ermakov, en un artículo publicado por la Universidad de Kiev (Ucrania) presento un método para integrar ecuaciones del tipo:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+A(x)\frac{dy}{dx}+B(x)y=0 \end{equation}

Suponiendo que se conoce una solución particular de esta ecuación diferencial. Como sabemos, las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden con coecientes variables, como (1), son completamente integrables solo en unos cuantos casos. Es decir no existe un método general para obtener las soluciones de este tipo de ecuaciones, a diferencia, por ejemplo, del caso de una ecuación con coeficientes constantes:

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by=0 \end{equation}

Cuya la solución general es de la forma:

\begin{equation} \varphi(x)=c_{1}\varphi_{1}(x)+c_{2}\varphi_{2}(x) \end{equation}

donde $\varphi_{1}$y $\varphi_{2}$son soluciones independientes de (2) con $c_{1}$y $c_{2}$ciertas constantes.

Ermakov obtiene soluciones completas para ecuaciones dela forma (1) por medio de cambios de variables que las reducen a una cuadratura (calcular una integral) también se muestra, como algunos tipos de ecuaciones no-lineales de segundo orden se pueden reducir, mediante cambios de variables apropiados, al estudio de ecuaciones del tipo (1) Uno de los ejemplos más notables que presenta Ermakov es una ecuación, que mucho tiempo después, y de manera independiente, estudiaron W. E. Milne (1930) y E. Pinney (1950), la cual representa un modelo para un oscilador armónico, dependiente del tiempo, con un potencial cuadrado inverso y que se puede escribir como :

\begin{equation} \ddot{y}+\omega^{2}(t)y=\frac{1}{y^{3}} \end{equation}

La ecuación (4), es conocida como la ecuación de Ermakov-Milne-Pinney Ermakov y demuestra que la ecuación no-lineal (4) está estrechamente relacionada con el oscilador armónico dependiente del tiempo en la frecuencia:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=0 \end{equation}

La cual es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden. Mas aun, Ermakov demostro que la funcion

\begin{equation} I=\frac{1}{2}\left[(x\dot{y}-y\dot{x})^{2}+\left(\frac{x}{y}\right)^{2}\right]=C \end{equation}

donde $C$ es una constante, es una integral primera de (4), lo cual se comprueba por medio de un calculo directo:$\frac{dI}{dt}=0.$Además, si $x_{1}=x_{1}(t)$ y $x_{2}=x_{2}(t)$ son son dos soluciones particulares de (5), entonces sustituyendo estas soluciones en (6) se obtienen dos soluciones para (4) A la cantidad conservada I dada por (6) se le llama invariante de Ermakov-Lewis ya que también fue encontrado posteriormente por R. Lewis en 1967, de forma independiente. Precisamente, las ecuaciones (4) y (5), junto con la integral primera (6), es lo que caracteriza a un sistema de Ermakov. Es decir, un sistema de Ermakov viene dado por dos ecuaciones acopladas ligadas por un invariante que nos permite encontrar soluciones de una ecuación, conociendo las soluciones de la otra.

SISTEMAS DE ERMAKOV: Para fijar notacion y nomenclatura, diremos que un sistema de Ermakov es un par de ecuaciones diferenciales de segundo orden, no-lineales, acopladas, de la forma:

\begin{equation} \ddot{x}+\omega^{2}(t)x=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right) \end{equation}

\begin{equation} \ddot{y+}\omega^{2}(t)y=\frac{1}{xy^{2}}f\left(\frac{x}{y}\right) \end{equation}

donde f y g son funciones arbitrarias en sus argumentos y \ensuremath{\omega} es la funcion de frecuencia, que usualmente depende del tiempo. Ademas, el sistema (7)-(8) siempre posee una constante de movimiento (invariante), que es de la forma

\begin{equation} I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop f(\tau)d\tau+\intop g(\tau)d\tau \end{equation}

Notemos que si $f\left(y/x\right)=0$ y $g(x/y)=x/y$, entonces (7)-(8) nos dan las ecuaciones (5) y (4), respectivamente. Asimismo, mediante un calculo directo, de (8) se tiene

\[ I=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\intop\tau d\tau=\frac{1}{2}(x\ddot{y}-y\ddot{x})^{2}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{y}\right)^{2} \]

lo cual nos da (6). Aqui suponemos, que las funciones involucradas estan bien definidas y son lo sucientemente derivables. Si hacemos los cambios de variables $u=x$ y $v=y$ , entonces el sistema de Ermakov (7)-(18) se escribe como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

\begin{equation} \dot{x}=u, \end{equation}

\begin{equation} \dot{u}=\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x, \end{equation}

\begin{equation} \dot{y}=v \end{equation}

\begin{equation} \dot{v}=\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y, \end{equation}

y el campo vectorial, dependiente del tiempo, que representa este sistema esta dado por

\begin{equation} X(t)=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\left(\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)-\omega^{2}(t)x\right)\frac{\partial}{\partial u}+\left(\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)-\omega^{2}(t)y\right)\frac{\partial}{\partial u} \end{equation}

Notemos que si denimos lo campos \[ Z_{1}=u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+\frac{1}{yx^{2}}f\left(\frac{y}{x}\right)\frac{\partial}{\partial u}+\frac{1}{xy^{2}}g\left(\frac{x}{y}\right)\frac{\partial}{\partial u} \]

\[ Z_{3}=-x\frac{\partial}{\partial u}-y\frac{\partial}{\partial v} \]

entonces $Z_{1},Z_{3}$son campos que no dependen del tiempo t, pero se tiene

\[ X\left(t\right)=Z_{1}+\omega^{2}(t)Z_{3} \]

Ademas, notemos que si

\[ Z_{2}=\frac{1}{2}\left(x\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial y}-u\frac{\partial}{\partial u}-v\frac{\partial}{\partial v}\right) \]

entonces se tienen las siguientes relaciones de los campos $Z_{1},Z_{2}y$ $Z_{3}$

$\left[Z_{1},Z_{3}\right]=2Z_{2},$ $\left[Z_{1},Z_{2}\right]=Z_{1},$ $\left[Z_{2},Z_{3}\right]=Z_{3}$

Esto nos permitira reconocer los sistemas de Ermakov como sistemas de Lie.

Ahora consideremos la ecuacion diferencial lineal de segundo orden

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx}+\frac{dy}{dx}+\beta(x)y=0 \end{equation}

y supongamos que $u=u(x)$ es una solucion particular de esta ecuacion, es decir,

\begin{equation} \frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha(x)\frac{du}{dx}+\beta(x)u=0 \end{equation}

Si multiplicamos (15) por $u$ y (16) por $y$, obtenemos dos expresiones que luego restamos para eliminar los terminos con $\beta(x)$ y se obtiene

\begin{equation} u\frac{d^{2}y}{dx^{2}}-y\frac{d^{2}u}{dx^{2}}+\alpha\left(u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx}\right)=0 \end{equation}

haciendo un campo de variable

\[ \omega=u\frac{dy}{dx}-y\frac{du}{dx} \]

transforma la ecuación (17) en

\[ \frac{d\omega}{dx}+\alpha\omega=0 \]

la cual al intrgrarla obtenemos:

\begin{equation} \omega=cexp\left(-\int\alpha dx\right) \end{equation}

donde c es una constante.

Por otra parte, mediante un cambio de varible apropiado, la ecuacion (15) puede transformarse en otra ecuacion en la cual no este presente el termino de la primera derivada $dy/dx$.

En efecto, si hacemos

\[ y=zexp\left(-\frac{1}{2}\int\alpha dx\right) \]

entonces un calculo directo nos muestra que con este cambio de la variable dependiente y, (15) se transforma en

\begin{equation} \frac{d^{2}z}{dx^{2}}=\left(\frac{1}{4}\alpha^{2}+\frac{1}{2}\frac{d\alpha}{dx}-\beta\right)z \end{equation}

Precisamente esta forma de la ecuacion (15) hace mas facil encontrar condiciones de integrabilidad, como lo muestra Ermakov para el caso en que la expresion entre parentesis de la parte derecha de (19) es un cociente de ciertos polinomios. Mas precisamente, Ermakov obtiene condiciones de integrabilidad para cualquier ecuacion de la forma

\begin{equation} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(px^{3}+qx^{2}+rx+s\right)^{2}}y \end{equation}

donde $\eta,\tau,\xi,p,q,r$ son constantes. De hecho, tales condiciones de integrabilidad dependen, esencialmente, de las races de la ecuacion \begin{equation} px^{3}+qx^{2}+rx+s=0 \end{equation}

y Ermakov analiza los diferentes casos, proporcionando las soluciones para cada uno de ellos y donde la herramienta principal es utilizar el metodo de fracciones parciales para descomponer la funcion racional en el lado derecho de (20) y transformar la ecuacion a una forma mas manejable.

Por ejemplo, en el caso de que todas las raices de (21) sean distintas se tiene la ecuacion diferencial

\[ \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}\right)^{2}}y \]

la cual es completamente integrable (se pueden obtener todas sus soluciones) si se cumple que

\[ \sqrt{1+\frac{4\alpha}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\beta}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)}}\pm\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}} \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices. Aqui $\alpha,\beta,\gamma$ son los terminos de la descomposicion en fracciones parciales de

\[ \frac{\eta x^{2}+\xi x+\tau}{\left(x+a\right)^{2}+\left(x+b\right)^{2}+\left(x+c\right)^{2}} \]

Analogamente, cuando (21) tiene dos races iguales, la ecuacion (20) se puede escribir como

\[ \left(x+b\right)^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\left(\frac{\alpha}{\left(x+b\right)^{2}}+\frac{\beta}{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}+\frac{\gamma}{\left(x+a\right)^{2}}\right)y \]

la cual es completamente integrable en los siguientes tres casos:

1.Si \[ \sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}\pm\frac{\beta}{\left(a-b\right)\sqrt{\alpha}}, \]

es un entero impar para alguna eleccion de los signos que acompañan a las raices.

2.Si $\alpha=0$ y

\[ \frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{4\gamma}{\left(a-b\right)^{2}}}, \]

es un entero impar.

3.Si $\alpha=\beta=0$

Como mencionamos anteriormente, Ermakov analiza caso por caso, estableciendo condiciones de integrabilidad y proporcionando ejemplos que, en la mayora de los casos, son ecuaciones diferenciales no-lineales de segundo orden que reduce, por medio de cambios de variable, a los casos integrables.


SECCIÓN SISTEMAS DE ERMAKOV: Evamontiel (discusión)


¿Qué no es?

Veremos que no es, por ejemplo entonces esto es asi

Mfgwi (discusión) 16:41 21 may 2020 (CDT)

No es la incertidumbre cuántica

No es la indeterminación de transformadas de Fourier

representación de amplitud y fase

Mfgwi (discusión) 20:19 16 may 2020 (CDT)

pensé que esta imagen les podría ser útil ...

indeterminacion: relación entre ángulos

indeterminación [5]

  1. French, A. (2018). Vibraciones y ondas. Barcelona: Editorial Reverté
  2. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
  3. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
  4. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf
  5. M. Fernández-Guasti. Indeterminacy of amplitude and phase variables in classical dynamical systems: the harmonic oscillator. Europhysics Letters, 74(6):1013-1019, 2006 https://luz.izt.uam.mx/mfg/arti/06-10/ampind-epl06.pdf