Holografía
--Alma (discusión) 00:47 2 jun 2021 (CDT)
Historia
La holografía fue propuesta por Dennis Gabor en 1948, esta idea consiste en obtener imágenes sin utilizar alguna lente en solo dos pasos, a lo que él denominó reconstrucción del frente de onda a esto es lo que se le conoce actualmente como holografía.
"Gabor reconoció que cuando una onda de referencia coherente adecuada está presente simultáneamente con la luz difractada o dispersada por un objeto, entonces la información sobre la amplitud y la fase de las ondas difractadas o dispersadas puede ser registrada, a pesar del hecho de que los medios de grabación responden sólo a la intensidad de la luz."[2] El patron de interferencia registrado lo llamo Holograma y con este se puede obtener una ultima imagen del objeto original.
En 1971, Gabor recibió el premio Nobel de Física por su invento.
Recostrucción del frente de onda
Para reconstruir un frente de onda necesitamos solo dos pasos:
- Una etapa de detección
- Una etapa de reconstrucción
Etapa de detección
En esta etapa es necesario la detección de información que nos transmite la amplitud y la fase de las ondas, pero para las grabaciones, estas reaccionan solo con la intensidad de la luz, entonces se necesita que la fase se tome algunas variaciones de intensidad para fines de grabación y para lograr esto se utiliza la interferometría. Lo que hace la interferometría es que usa un segundo frente de onda que sea coherente al primer frente de onda, pero de esta segundo se sabe la amplitud y la fase y se pone a interactuar con la primera.
Entonces si el frente de onda que se detecta y que se quiere reconstruir esta dado por
y la onda de referencia con la que interfiere $R(x,y)$ esta descrita como:
en donde $|\Psi(x,y)|$ y $|R(x,y)|$ son las normas de las funciones $\Psi(x,y)$ y $R(x,y)$ respectivamente, entonces definimos el cuadrado de la suma de las ondas como la intensidad de propagación:
Desarrollando tenemos que
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I=|R(x,y)|^2+|\Psi(x,y)|^2+R(x,y)\overline{\Psi}(x,y)+\overline{R}(x,y)\Psi(x,y) }
Mientras que las dos primeras formas de esta expresión dependen de las intensidades de las ondas individuales, la tercera depende de sus fases relativas [3]
Durante la etapa de detección tenemos lo que es la grabación del medio en donde tanto la detección de la luz como la modulación del frente de onda se realizan mediante una película o placa fotográfica a lo que se le conoce como $Holograma$ y este holograma es realmente $I$.
Para construir la onda de referencia se necesitan una serie de condiciones iniciales, para realizar algunos ejemplos usamos las siguientes
- $x_0$: La distancia del objeto a donde se construirá el holograma (En este caso $x_0=2 cm$)
- $f$: La distancia del holograma a donde se vera la reconstrucción del campo (Para este ejemplo es $f=0.2 cm$)
- $\lambda$: Longitud de onda de la onda de referencia (En este caso $\lambda=500x10^{-9}$)
- $f_0$: Distancia focal de la onda y esta dada por $x_0/\lambda f$
- $k$: El numero de onda que se describe como $2\pi/\lambda$
- $X$: Longitud a donde termina la onda
Entonces la onda de referencia, con estas condiciones tenemos que $r(x,y)=-2\pi f_0X$ por tanto
A continuación se muestra la onda de referencia (onda plana)
A continuación vamos a observar los hologramas obtenidos a partir de distintos objetos con forma regular.
- Holograma a partir de un objeto circular
Tenemos un objeto circular que nos describirá el frente de onda que se quiere detectar y recosntruir, este frente de onda se puede describir con la función $circ(r)$, entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi(x,y)=circ(r_c/R_c) }
donde $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$, $R_c$ el radio de mi objeto y \[circ(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & r_c\leq 1\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & r_c\geq 1 \\ \end{array} \right. \] (Para este ejemplo quise usar un radio de $R_c=3x10^{-4} cm$ para el objeto circular). Entonces la construcción del holograma $I$ del objeto circular es
- Holograma a partir de un objeto cuadrado
Ahora el frente de onda que se quiere detectar lo describira un objeto cuadrado. La funcion asociada $\Psi(x,y)$ es
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi(x,y)=rect(ax)rect(by)}
donde $ax$ y $ay$ son las medidas de los lados y la funcion $rect(x)$ esta dada por \[rect(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x\leq 0.5\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & x\geq 0.5\\ \end{array} \right. \]
(En este ejemplo utilice un cuadrado de $ax=by=5x10^{-4}cm$ de lado) Por tanto el holograma $I$ para el objeto cuadrado es
- Holograma a partir de un objeto en forma de un anillo
Tenemos ahora un frente de onda para detectar que el objeto que la describe es un anillo, la funciones que se utilizaron fueron
Por tanto podemos escribir el frente de onda total como
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi(x,y)=\Psi_1(x,y)-\Psi_2(x,y)=disk(r_c/r_e)-disk(r_c/r_i)}
donde $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$, $r_i$ el radio interior, $r_e$ el radio exterior y \[disk(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x\leq 1\\ & & \\ 0.5 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right. \] (en este caso utilice un radio interior de $r_i=3x10^{-4}cm$ y un radio exterior de $r_e=5x10^{-4}cm$) entonces la construcción del holograma $I$ es
Etapa de reconstrucción
Para la etapa de reconstrucción tenemos un proceso largo, para esta proceso utilizaremos la Transformada de Fourier. Este proceso nos hace llevar el holograma a un espacio de frecuencias para tener un campo final que nos ayudara a reconstruir el frente de onda original Consideremos que el campo final se escribe como
Si desarrollamos tenemos que
De aqui podemos llamar a $I_{\Sigma}(x,y)=|R(x,y)|^2+|\Psi(x,y)|^2$ entonces
Pero por la propiedad de entonces
- Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi_f=\mathcal{F}\{I_{\Sigma}(x,y)\}+\mathcal{F}\{R(x,y)\}\otimes\mathcal{F}\{\overline{\Psi}(x,y)\}+\mathcal{F}\{\overline{R}(x,y)\}\otimes\mathcal{F}\{\Psi(x,y)\} }
Para no escribir todo esto podemos definir que
- $\mathcal{F}\{I_{\Sigma}(x,y)\}=\widetilde{I}_{\Sigma}(f_x,f_y)$
- $\mathcal{F}\{R(x,y)\}=\widetilde{R}(f_x,f_y)$
- $\mathcal{F}\{\overline{R}(x,y)\}=\widetilde{\overline{R}}(f_x,f_y)$
- $\mathcal{F}\{\Psi(x,y)\}=\widetilde{\Psi}(f_x,f_y)$
- $\mathcal{F}\{\overline{\Psi}(x,y)\}=\widetilde{\overline{\Psi}}(f_x,f_y)$
entonces podemos escribir el campo final como
Este ultimo resultado describe graficamente para cada uno de nuestros ejemplos anteriores lo siguiente:
A este resultado, si le colocamos un filtro oscuro que lo podemos denominar una funcion $G(f_x,f_y)$ que predomina en el espacio de frecuencias para que el campo final filtrado sea:
Con este se tiene el campo final de cada objeto filtrado:
Por ultimo solo aplicamos transformada de Fourier al campo final filtrado $\Psi_{f-filtrado}$
Sea $I_{Reconstruido}=\mathcal{F}\{\Psi_{f-filtrado}\}$ entonces
Por las propiedades de y entonces
Por tanto todo este resultado nos da como solución la reconstrucción del frente de onda, aquí se muestran la reconstrucción de cada uno de los objetos que se trabajaron
Referencias
- ↑ https://static3.abc.es/media/tecnologia/2017/08/11/holografia-k4WE--510x286@abc.jpg
- ↑ Introduction to Fourier Optics,W. Goodman Joseph, Third Edition, pag. 297
- ↑ [Introduction to Fourier Optics,W. Goodman Joseph, Third Edition, pag. 299]