Holografía

--Alma (discusión) 00:47 2 jun 2021 (CDT)

La holografía fue propuesta por Dennis Gabor en 1948, esta idea consiste en obtener imágenes en solo dos etapas, sin la necesidad de utilizar lentes ópticos. Gabor denomino a esta técnica reconstrucción del frente de onda

Figura 1. Dennis Gabor (1900 - 1979)

"Gabor reconoció que cuando una onda de referencia coherente adecuada está presente simultáneamente con la luz difractada o dispersada por un objeto, entonces la información sobre la amplitud y la fase de las ondas difractadas o dispersadas puede ser registrada, a pesar del hecho de que los medios de grabación responden sólo a la intensidad de la luz." Gabor acuño el termino de Holograma al patrón de interferencia registrado, a partir del cual se puede obtener una imagen del objeto original.

En 1971, Gabor recibió el premio Nobel de Física por su invento.

Historia

Al hacer este descubrimiento, Gabor se motivo a conocer todas las posibles aplicaciones de su invento por lo que en 1949 y 1951 ya había publicado dos trabajos en donde habla de la posible aplicación de la holografía en la microscopía, pero por razones practicas no pudo realizar dichas aplicaciones.

Para 1950 diversos autores como G.L Rogers, H.M.A El-Sum y A.W Lohmann ampliaron la teoría y la comprensión de la holografía. "En la década de 1960 de nuevo fueron los trabajadores del Laboratorio de Radar de la Universidad de Michigan, en particular E.N. Leith y J. Upatnieks [203], quienes reconocieron la similitud del proceso de obtención de imágenes sin lente de Gabor con el problema del radar de apertura sintética y sugirieron una modificación de su técnica original que mejoró considerablemente el proceso."

Actualmente se pueden encontrar en museos y galerías que se dedican especialmente en holografía, aunque cada una trabaja independiente y separada a la capacidad de obtener estas imágenes tridimensionales.

Recostrucción del frente de onda

La reconstrucción de un frente de onda se divide en dos etapas:

• Una etapa de detección
• Una etapa de reconstrucción

Etapa de detección

En esta etapa se detecta la información codificada en la amplitud y la fase de las ondas. Dado que los medios de grabación solamente pueden registrar la intensidad de la luz (debido a que la información de fase de la onda colapsa), la fase se reconstruye midiendo las variaciones de intensidad en el campo a reconstruir con respecto a una onda de referencia, a esta técnica se les conoce como interferometría. En esencia, la interferometría consiste en hacer interactuar el frente de onda que resulta de la difracción de la luz por el objeto de interés y un segundo frente de onda que desempeña el papel de onda de referencia, el cual es coherente al primero y cuya amplitud y fase son bien conocidas

Entonces si el frente de onda que se detecta y que se quiere reconstruir esta dado por

$\Psi (x,y)=|\Psi (x,y)|e^{i\phi (x,y)}$

y la onda de referencia con la que interfiere $R(x,y)$ esta descrita como:

$R(x,y)=|R(x,y)|e^{ir(x,y)}$

en donde $|\Psi(x,y)|$ y $|R(x,y)|$ son las normas de las funciones $\Psi(x,y)$ y $R(x,y)$ respectivamente, entonces definimos el cuadrado de la suma de las ondas como la intensidad de propagación:

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)]^{2}$

Desarrollando tenemos que

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)][{\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)]$

Donde $\overline{\Psi}(x,y)$ y $\overline{R}(x,y)$ es el conjugado de $\Psi(x,y)$ y $R(x,y)$ respectivamente por tanto reescribimos $I$ como

$I=|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)$

Mientras que las dos primeras formas de esta expresión dependen de las intensidades de las ondas individuales, la tercera depende de sus fases relativas

Durante la etapa de detección, tanto la detección de la luz como la modulación del frente de onda se realizan mediante una película o placa fotográfica a lo que se le conoce como $Holograma$ y matemáticamente corresponde a la función $I$.

Para construir la onda de referencia se necesitan una serie de condiciones iniciales, para realizar algunos ejemplos usamos las siguientes

1. $x_0$: Orden de difracción de la onda.
2. $f$: La distancia del holograma a donde se vera la reconstrucción del campo (Para este ejemplo es $f=0.2 \: \mathrm{cm}$)
3. $\lambda$: Longitud de onda de la onda de referencia (En este caso $\lambda=500\times 10^{-9} \: \mathrm{cm}$)
4. $f_0$: Distancia focal de la onda y esta dada por $x_0/\lambda f$
5. $k$: El numero de onda que se describe como $2\pi/\lambda$
6. $X$: La distancia de donde comienza la onda a donde se quiere construir el holograma (Para este ejemplo $X=2 \: \mathrm{cm}$

Entonces la onda de referencia, con estas condiciones tenemos que $r(x,y)=-2\pi f_0X$ por tanto

$R(x,y)=e^{-2i\pi f_{0}X}$

A continuación se muestra como se vería la onda de referencia (onda plana y graficada en Matlab)

Frente de onda de referencia

A continuación vamos a observar los hologramas obtenidos a partir de distintos objetos con forma regular.

• Holograma a partir de un objeto circular

Tenemos un objeto circular que nos describirá el frente de onda que se quiere detectar y reconstruir, este frente de onda se puede describir con la función $\: \mathrm{circ}(r)$, entonces

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Psi(x,y)=\: \mathrm{circ}(r_c/R_c) }

donde $r_c$ es la ecuación de la circunferencia ($r_c=\: \mathrm{\sqrt{x^2+y^2}}$), $R_c$ el radio de mi objeto y la funcion $$\: \mathrm{circ(r)}$$ se escribe como \[\: \mathrm{circ}(r)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & r_c\leq 1\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & r_c\geq 1 \\ \end{array} \right. \] (Para este ejemplo quise usar un radio de $R_c=3\times 10^{-4} \: \mathrm{cm}$ para el objeto circular). Entonces la construcción del holograma $I$ del objeto circular es

Figura 2. Objeto circular

Figura 3. Construcción del holograma

• Holograma a partir de un objeto cuadrado

Ahora el frente de onda que se quiere detectar lo describirá un objeto cuadrado. La función asociada $\Psi(x,y)$ es

$\Psi (x,y)=rect(ax)rect(by)$

donde $ax$ y $ay$ son las medidas de los lados y la funcion $rect(x)$ esta dada por \[rect(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x\leq 0.5\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & x\geq 0.5\\ \end{array} \right. \]

(En este caso se usó un cuadrado de $ax=by=5\times 10^{-4} \: \mathrm{cm}$ de lado) Por tanto el holograma $I$ para el objeto cuadrado es

Figura 4. Objeto cuadrado

Figura 5. Construcción del holograma

• Holograma a partir de un objeto en forma de un anillo

Tenemos ahora un frente de onda para detectar que el objeto que la describe es un anillo, la funciones que se utilizaron fueron

$\Psi _{1}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e})$

$\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{i})$

Por tanto podemos escribir el frente de onda total como

$\Psi (x,y)=\Psi _{1}(x,y)-\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e})-disk(r_{c}/r_{i})$

donde de igual manera que la circulo, se usó la ecuación de la circunferencia descrita por $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$ pero ahora usando dos radios que son $r_i$ el radio interior, $r_e$ el radio exterior y la función $disk(r_c)$ se escribe como \[disk(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x\leq 1\\ & & \\ 0.5 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right. \] (en este caso se utilizó un radio interior de $r_i=3\times 10^{-4} \: \mathrm{cm}$ y un radio exterior de $r_e=5\times 10^{-4} \: \mathrm{cm}$) entonces la construcción del holograma $I$ es

Figura 6. Objeto en forma de anillo

Figura 7. Construcción del holograma

Etapa de reconstrucción

La etapa de reconstrucción incluye varios procesos e incorpora la aplicación de la Transformada de Fourier. A partir de esta transformación, el holograma se describe en el espacio de frecuencias, con el fin de calcular el campo final y reconstruir el frente de onda de interés. Consideremos que el campo final se escribe como

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I\}$

Si desarrollamos tenemos que

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}\}$

De aqui podemos llamar a $I_{\Sigma}(x,y)=|R(x,y)|^2+|\Psi(x,y)|^2$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}$

Pero por la propiedad de ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{{\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{\Psi (x,y)\}$

Para no escribir todas las transformadas de Fourier podemos llamar a cada uno de los términos de $\Psi_f$

1. $\mathcal{F}\{I_{\Sigma}(x,y)\}=\widetilde{I}_{\Sigma}(f_x,f_y)$. Es la transformada de Fourier de la suma de los cuadrados de las normas de las funciones.
2. $\mathcal{F}\{R(x,y)\}=\widetilde{R}(f_x,f_y)$. Es la transformada de Fourier de la función del frente de onda.
3. $\mathcal{F}\{\overline{R}(x,y)\}=\widetilde{\overline{R}}(f_x,f_y)$. Es la transformada de Fourier del conjugado de la función del frente de onda.
4. $\mathcal{F}\{\Psi(x,y)\}=\widetilde{\Psi}(f_x,f_y)$. Es la transformada de Fourier de la función que describe la onda que se quiere reconstruir.
5. $\mathcal{F}\{\overline{\Psi}(x,y)\}=\widetilde{\overline{\Psi}}(f_x,f_y)$. Es la transformada de Fourier del conjugado de la función que describe la onda que se quiere reconstruir.

entonces podemos escribir el campo final como

$\Psi _{f}(f_{x},f_{y})={\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})+{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})+{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})$

Nota que toda la función $\Psi_f$ dependen de $f_x$ y $f_y$, entonces se va a omitir en cada una de las funciones la dependencia y se reescribe la función $\Psi_f$ como

$\Psi _{f}={\widetilde {I}}_{\Sigma }+{\widetilde {R}}\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}+{\widetilde {\overline {R}}}\otimes {\widetilde {\Psi }}$

La ecuación anterior se puede determinar numéricamente para cada uno de los ejemplos anteriores, de manera que, gráficamente obtenemos:

Figura 8. Campo Final del objeto circular

Figura 9. Campo Final del objeto en forma de anillo

Figura 10. Campo Final del objeto cuadrado

Note que cada imagen contiene copias de una misma estructura, a esto se le denomina ordenes de difracción. Estos ordenes son visibles numéricamente si se coloca un filtro en el centro del campo final. Para reconstruir el objeto de interés, se aísla cualquiera de los órdenes de difracción a partir de un filtro oscuro que podemos definir con la función $G(f_x,f_y)=G$ de manera que el campo final filtrado en forma general queda descrito por:

$\Psi _{f-filtrado}=\Psi _{f}\cdot G$

$\Psi _{f-filtrado}={\widetilde {I}}_{\Sigma }\cdot G+[{\widetilde {R}}\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}]G+[{\widetilde {\overline {R}}}\otimes {\widetilde {\Psi }}]G$

Con este se tiene el campo final de cada objeto filtrado:

Figura 11. Campo final del objeto circular filtrado

Figura 12. Campo final del objeto en forma de anillo filtrado

Figura 13. Campo final del objeto cuadrado filtrado

Ya teniendo este campo final filtrado $\Psi_{f-filtrado}$, podemos llamar a la Transformada de Fourier del campo filtrado como la reconstruccion del frente de onda a la que le denominaremos $I_{Reconstruido}$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{\Psi _{f-filtrado}\}={\mathcal {F}}\{\Psi _{f}\cdot G\}$

sustituyendo $\Psi_{f-filtrado}$ entonces el frente de onda reconstruido es

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }\cdot G\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {R}}\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}]G\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {\overline {R}}}\otimes {\widetilde {\Psi }}]G\}$

Por las propiedades de ${\mathcal {F}}\{f\otimes g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$ y ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }\}\otimes {\mathcal {F}}\{G\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {R}}\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {\Psi }}}\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {R}}}\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\Psi }}\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G\}$

Por tanto todo este resultado nos da como solución la reconstrucción del frente de onda, aquí se muestran la reconstrucción de cada uno de los objetos que se plantearon

Figura 14. Reconstrucción del frente de onda del objeto circular

Figura 15. Reconstrucción del frente de onda del objeto en forma de anillo

Figura 16. Reconstrucción del frente de onda del objeto cuadrado

Programación en Matlab

Los gráficos que se presentaron para la reconstrucción del frente de onda, fueron programados en la versión gratuita de Matlab que es Octave, pero funciona de igual manera.

Programar en Matlab suele ser difícil, ya que tiene la cualidad de funcionar vectorialmente, pero es una gran forma de graficar fenómenos físicos que algunas veces no son perceptibles ante el ojo humano. A continuación se explicara como obtener los gráficos anteriormente mostrados para la reconstrucción del frente de onda de los objetos seleccionados.

Antes de pasar a las funciones primero debemos establecer las dimensiones en las que se desean trabajar $(x,y)$, la cantidad de resultados que se desean mostrar $(N)$ y como van a estar distribuidas (Matrices de $N\times N$).

Para este caso se utilizo una $N=1024$, y para establecer la distribución de estos números se puede tomar el valor de la mínima escala de lo que su utiliza para medir, en este caso se utilizan los $\: \mathrm{cm}$ entonces su mínima escala es $W=0.01 \: \mathrm{cm}$, además se debe indicar como debe de estar divido todo el espacio, y eso se obtiene solo dividiendo la minima escala entre la cantidad de datos a mostrar, es decir, $Dx=W/N$ entonces el eje $x$ va a ir de $-W/2$ a $W/2-Dx$ en trozos de $Dx$ y el eje $y$ tambien se distribuye igual por tanto con estas distribuciones se colocan en una matriz en donde $x$ y $y$ son los vectores que componen esa matriz. Por tanto toda esta explicación en Matlab se escribe

       W=0.01; N=1024; Dx=W/N;
       x = -W/2:Dx:W/2-Dx; y=x;
       [X Y] = meshgrid(x,y);

en donde "la funcion meshgrid devuelve coordenadas de cuadrícula 2-D basadas en las coordenadas contenidas en los vectores $x$ y $y$. $X$ es una matriz en la que cada fila es una copia de $x$, y $Y$ es una matriz en la que cada columna es una copia de $y$. La cuadrícula representada por las coordenadas $X$ y $Y$ tiene length(y) filas y length(x) columnas."

Ya con esto se puede proceder a trabajar con las funciones.

Funciones

Antes de empezar a graficar debemos comenzar con las funciones que describen las ondas de los objetos, para eso ya habíamos descrito cada una de ellas durante la etapa de detección. Cada una de estas funciones se deben escribir en distintas hojas de editor y se les colocara el nombre de las funciones.

• Para el círculo mencionamos que la función es:

\[circ(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & r_c\leq 1\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & r_c\geq 1 \\ \end{array} \right. \] entonces en Matlab escribimos lo siguiente en el editor del programa

   function f=circ(x)
            f=zeros(size(x));
            f(abs(x)<1)=1;
            f(abs(x)==1)=0.5;
   end

En la función, la parte f=zeros(size(x)) indica la parte oscura y f(abs(x)<1)=1 la apertura dependiendo el radio de la circunferencia de la Figura 2.

• Para el cuadrado se mencionó que la función esta dada por:

\[rect(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x\leq 0.5\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & x\geq 0.5\\ \end{array} \right. \] por tanto en el editor de Matlab escribimos

   function f=rect(x)
            f=zeros(size(x));
            f(abs(x)<0.5)=1;
            f(abs(x)==0.5)=0.0;
   end

donde de igual forma f=zeros(size(x)) indica la parte oscura y f(abs(x)<0.5)=1 la parte blanca del cuadrado de la Figura 4.

• Por ultimo el anillo, esta función se escribe

\[disk(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x\leq 1\\ & & \\ 0.5 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right. \] entonces si se quiere escribir en el editor de Matlab, tenemos que

   function f=disk(x)
            f=ones(size(x));
            f(abs(x)<1)=0;
            f(abs(x)==1)=0.5;
   end

de tal manera que f=ones(size(x)) y f(abs(x)==1)=0.5 indica la parte blanca y f(abs(x)<1)=0 la parte oscura de la Figura 6.

Por tanto, ya teniendo estas funciones podemos empezar a colocar todas las condiciones iniciales enlistadas en la etapa de detección.

Función del frente de onda a detectar $\Psi(x,y)$

Para la programación de la función $\Psi(x,y)$ primero se deben establecer ciertas condiciones y que para cada figura tiene sus respectivas medidas.

• Para el círculo se había mencionado que se utilizo un radio $R_c=3\times 10^{-4} \: \mathrm{cm}$. Si $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$ es la ecuación de la circunferencia entonces para obtener la Figura 2 en Matlab, después de establecer el "área de trabajo", colocamos lo siguiente

    rc = sqrt(X.^2 + Y.^2);
    Rc = 3e-4; %Radio del circulo
    Psi=circ(rc/Rc);

    figure
    imagesc(abs(Psi)) %Indica lo representación de Psi
    pbaspect([1 1 1]) %Indica donde se quiere centrar
    title('Initial Opening') %Titulo del grafico
    colormap hot %Color en el que se quiere presentar

En la ecuación de la circunferencia se coloca "$.^$" porque como se había mencionado que $X$ y $Y$ son vectores, entonces esto indica que la multiplicación de vectores sea termino a termino. Por tanto $\Psi(x,y)=circ(rc/Rc)$