Holografía

--Alma (discusión) 00:47 2 jun 2021 (CDT)

Historia

La holografía fue propuesta por Dennis Gabor en 1948, esta idea consiste en obtener imágenes en solo dos etapas, sin la necesidad de utilizar lentes ópticos. Gabor denomino a esta técnica reconstrucción del frente de onda

Dennis Gabor (1900 - 1979)

"Gabor reconoció que cuando una onda de referencia coherente adecuada está presente simultáneamente con la luz difractada o dispersada por un objeto, entonces la información sobre la amplitud y la fase de las ondas difractadas o dispersadas puede ser registrada, a pesar del hecho de que los medios de grabación responden sólo a la intensidad de la luz." Gabor acuño el termino de Holograma al patrón de interferencia registrado, a partir del cual se puede obtener una imagen del objeto original.

En 1971, Gabor recibió el premio Nobel de Física por su invento.

Recostrucción del frente de onda

La reconstrucción de un frente de onda se divide en dos etapas:

• Una etapa de detección
• Una etapa de reconstrucción

Etapa de detección

En esta etapa se detecta la información codificada en la amplitud y la fase de las ondas. Dado que los medios de grabación solamente pueden registrar la intensidad de la luz (debido a que la información de fase de la onda colapsa), la fase se reconstruye midiendo las variaciones de intensidad en el campo a reconstruir con respecto a una onda de referencia, a esta técnica se les conoce como interferometría. En esencia, la interferometría consiste en hacer interactuar el frente de onda que resulta de la difracción de la luz por el objeto de interés y un segundo frente de onda que desempeña el papel de onda de referencia, el cual es coherente al primero y cuya amplitud y fase son bien conocidas

Entonces si el frente de onda que se detecta y que se quiere reconstruir esta dado por

$\Psi (x,y)=|\Psi (x,y)|e^{i\phi (x,y)}$

y la onda de referencia con la que interfiere $R(x,y)$ esta descrita como:

$R(x,y)=|R(x,y)|e^{ir(x,y)}$

en donde $|\Psi(x,y)|$ y $|R(x,y)|$ son las normas de las funciones $\Psi(x,y)$ y $R(x,y)$ respectivamente, entonces definimos el cuadrado de la suma de las ondas como la intensidad de propagación:

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)]^{2}$

Desarrollando tenemos que

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)][{\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)]$

$I=|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)$

Mientras que las dos primeras formas de esta expresión dependen de las intensidades de las ondas individuales, la tercera depende de sus fases relativas

Durante la etapa de detección, tanto la detección de la luz como la modulación del frente de onda se realizan mediante una película o placa fotográfica a lo que se le conoce como $Holograma$ y matemáticamente corresponde a la función $I$.

Para construir la onda de referencia se necesitan una serie de condiciones iniciales, para realizar algunos ejemplos usamos las siguientes

1. $x_0$: La distancia del objeto a donde se construirá el holograma (En este caso $x_0=2 cm$)
2. $f$: La distancia del holograma a donde se vera la reconstrucción del campo (Para este ejemplo es $f=0.2 cm$)
3. $\lambda$: Longitud de onda de la onda de referencia (En este caso $\lambda=500x10^{-9}$)
4. $f_0$: Distancia focal de la onda y esta dada por $x_0/\lambda f$
5. $k$: El numero de onda que se describe como $2\pi/\lambda$
6. $X$: Longitud a donde termina la onda

Entonces la onda de referencia, con estas condiciones tenemos que $r(x,y)=-2\pi f_0X$ por tanto

$R(x,y)=e^{-2i\pi f_{0}X}$

A continuación se muestra la onda de referencia (onda plana)

Frente de onda de referencia

A continuación vamos a observar los hologramas obtenidos a partir de distintos objetos con forma regular.

• Holograma a partir de un objeto circular

Tenemos un objeto circular que nos describirá el frente de onda que se quiere detectar y reconstruir, este frente de onda se puede describir con la función $circ(r)$, entonces

$\Psi (x,y)=circ(r_{c}/R_{c})$

donde $r_c$ es la ecuación de la circunferencia ($r_c=\sqrt{x^2+y^2}$), $R_c$ el radio de mi objeto y la funcion $circ(r_c)$ se escribe como \[circ(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & r_c\leq 1\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & r_c\geq 1 \\ \end{array} \right. \] (Para este ejemplo quise usar un radio de $R_c=3x10^{-4} cm$ para el objeto circular). Entonces la construcción del holograma $I$ del objeto circular es

Objeto circular

Construcción del holograma

• Holograma a partir de un objeto cuadrado

Ahora el frente de onda que se quiere detectar lo describirá un objeto cuadrado. La función asociada $\Psi(x,y)$ es

$\Psi (x,y)=rect(ax)rect(by)$

donde $ax$ y $ay$ son las medidas de los lados y la funcion $rect(x)$ esta dada por \[rect(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x\leq 0.5\\ & & \\ 0 & \mbox{si} & x\geq 0.5\\ \end{array} \right. \]

(En este caso se usó un cuadrado de $ax=by=5x10^{-4}cm$ de lado) Por tanto el holograma $I$ para el objeto cuadrado es

Objeto cuadrado

Construccion del holograma

• Holograma a partir de un objeto en forma de un anillo

Tenemos ahora un frente de onda para detectar que el objeto que la describe es un anillo, la funciones que se utilizaron fueron

$\Psi _{1}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e}),\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{i})$

Por tanto podemos escribir el frente de onda total como

$\Psi (x,y)=\Psi _{1}(x,y)-\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e})-disk(r_{c}/r_{i})$

donde de igual manera que la circulo, se usó la ecuación de la circunferencia descrita por $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$ pero ahora usando dos radios que son $r_i$ el radio interior, $r_e$ el radio exterior y la función $disk(r_c)$ se escribe como \[disk(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x\leq 1\\ & & \\ 0.5 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right. \] (en este caso se utilizó un radio interior de $r_i=3x10^{-4}cm$ y un radio exterior de $r_e=5x10^{-4}cm$) entonces la construcción del holograma $I$ es

Objeto en forma de anillo

Construccion del holograma

Etapa de reconstrucción

La etapa de reconstrucción incluye varios procesos e incorpora la aplicación de la Transformada de Fourier. A partir de esta transformación, el holograma se describe en el espacio de frecuencias, con el fin de calcular el campo final y reconstruir el frente de onda de interés. Consideremos que el campo final se escribe como

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I\}$

Si desarrollamos tenemos que

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}\}$

De aqui podemos llamar a $I_{\Sigma}(x,y)=|R(x,y)|^2+|\Psi(x,y)|^2$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}$

Pero por la propiedad de ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{{\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{\Psi (x,y)\}$

Para no escribir todo esto podemos definir que

1. $\mathcal{F}\{I_{\Sigma}(x,y)\}=\widetilde{I}_{\Sigma}(f_x,f_y)$
2. $\mathcal{F}\{R(x,y)\}=\widetilde{R}(f_x,f_y)$
3. $\mathcal{F}\{\overline{R}(x,y)\}=\widetilde{\overline{R}}(f_x,f_y)$
4. $\mathcal{F}\{\Psi(x,y)\}=\widetilde{\Psi}(f_x,f_y)$
5. $\mathcal{F}\{\overline{\Psi}(x,y)\}=\widetilde{\overline{\Psi}}(f_x,f_y)$

entonces podemos escribir el campo final como

$\Psi _{f}={\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})+{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})+{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})$

Este ultimo resultado describe graficamente para cada uno de nuestros ejemplos anteriores lo siguiente:

Campo Final del objeto circular

Campo Final del objeto en forma de anillo

Campo Final del objeto cuadrado

A este resultado, si le colocamos un filtro oscuro que lo podemos denominar una funcion $G(f_x,f_y)$ que predomina en el espacio de frecuencias para que el campo final filtrado sea:

$\Psi _{f-filtrado}=\Psi _{f}\cdot G(f_{x},f_{y})={\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\cdot G(f_{x},f_{y})+[{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})+[{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})$

Con este se tiene el campo final de cada objeto filtrado:

Campo final del objeto circular filtrado

Campo final del objeto en forma de anillo filtrado

Campo final del objeto cuadrado filtrado

Por ultimo solo aplicamos transformada de Fourier al campo final filtrado $\Psi_{f-filtrado}$

${\mathcal {F}}\{\Psi _{f-filtrado}\}={\mathcal {F}}\{\Psi _{f}\cdot G(f_{x},f_{y})\}$

Sea $I_{Reconstruido}=\mathcal{F}\{\Psi_{f-filtrado}\}$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\cdot G(f_{x},f_{y})\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})\}$

Por las propiedades de ${\mathcal {F}}\{f\otimes g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$ y ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\}\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}$

Por tanto todo este resultado nos da como solución la reconstrucción del frente de onda, aquí se muestran la reconstrucción de cada uno de los objetos que se trabajaron

Reconstrucción del frente de onda del objeto circular

Reconstrucción del frente de onda del objeto en forma de anillo

Reconstrucción del frente de onda del objeto cuadrado