Holografía

--Alma (discusión) 00:47 2 jun 2021 (CDT)

Historia

La holografía fue propuesta por Dennis Gabor en 1948, esta idea es obtener imágenes en solo dos pasos, sin utilizar alguna lente, a lo que él denominó reconstrucción del frente de onda a esto es lo que se le conoce actualmente como holografía.

Dennis Gabor (1900 - 1979)

"Gabor reconoció que cuando una onda de referencia coherente adecuada está presente simultáneamente con la luz difractada o dispersada por un objeto, entonces la información sobre la amplitud y la fase de las ondas difractadas o dispersadas puede ser registrada, a pesar del hecho de que los medios de grabación responden sólo a la intensidad de la luz." El patron de interferencia registrado lo llamo Holograma y con este se puede obtener una ultima imagen del objeto original.

En 1971, Gabor recibió el premio Nobel de Física por su invento.

Recostrucción del frente de onda

Para reconstruir un frente de onda necesitamos solo dos pasos:

• Una etapa de detección
• Una etapa de reconstrucción

Etapa de detección

En esta etapa es necesario la detección de información que nos transmite la amplitud y la fase de las ondas, pero para las grabaciones, estas reaccionan solo con la intensidad de la luz, entonces se necesita que la fase se tome algunas variaciones de intensidad para fines de grabación y para lograr esto se utiliza la interferometría. Lo que hace la interferometría es que usa un segundo frente de onda que sea coherente al primer frente de onda, pero de esta segundo se sabe la amplitud y la fase y se pone a interactuar con la primera.

Entonces si el frente de onda que se detecta y que se quiere reconstruir esta dado por

$\Psi (x,y)=|\Psi (x,y)|e^{i\phi (x,y)}$

y la onda de referencia con la que interfiere $R(x,y)$ esta descrita como:

$R(x,y)=|R(x,y)|e^{ir(x,y)}$

en donde $|\Psi(x,y)|$ y $|R(x,y)|$ son las normas de las funciones $\Psi(x,y)$ y $R(x,y)$ respectivamente, entonces definimos el cuadrado de la suma de las ondas como la intensidad de propagación:

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)]^{2}$

Desarrollando tenemos que

$I=[\Psi (x,y)+R(x,y)][{\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)]$

$I=|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)$

Mientras que las dos primeras formas de esta expresión dependen de las intensidades de las ondas individuales, la tercera depende de sus fases relativas

Durante la etapa de detección tenemos lo que es la grabación del medio en donde tanto la detección de la luz como la modulación del frente de onda se realizan mediante una película o placa fotográfica a lo que se le conoce como $Holograma$ y este holograma es realmente $I$.

Para construir la onda de referencia se necesitan una serie de condiciones iniciales, para realizar algunos ejemplos usamos las siguientes

1. $x_0$: La distancia del objeto a donde se construirá el holograma (En este caso $x_0=2 cm$)
2. $f$: La distancia del holograma a donde se vera la reconstrucción del campo (Para este ejemplo es $f=0.2 cm$)
3. $\lambda$: Longitud de onda de la onda de referencia (En este caso $\lambda=500x10^{-9}$)
4. $f_0$: Distancia focal de la onda y esta dada por $x_0/\lambda f$
5. $k$: El numero de onda que se describe como $2\pi/\lambda$
6. $X$: Longitud a donde termina la onda

Entonces la onda de referencia, con estas condiciones tenemos que $r(x,y)=-2\pi f_0X$ por tanto

$R(x,y)=e^{-2i\pi f_{0}X}$

A continuación se muestra la onda de referencia (onda plana)

Frente de onda de referencia

A continuación vamos a observar los hologramas obtenidos a partir de distintos objetos con forma regular.

• Holograma a partir de un objeto circular

Tenemos un objeto circular que nos describirá el frente de onda que se quiere detectar y recosntruir, este frente de onda se puede describir con la función $circ(r)$, entonces

$\Psi (x,y)=circ(r_{c}/R_{c})$

donde $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$, $R_c$ el radio de mi objeto y \[circ(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & r_c\leq 1\\ & & \\ 0 & todo lo demas \\ \end{array} \right. \] (Para este ejemplo quise usar un radio de $R_c=3x10^{-4} cm$ para el objeto circular). Entonces la construcción del holograma $I$ del objeto circular es

Objeto circular

Construcción del holograma

• Holograma a partir de un objeto cuadrado

Ahora el frente de onda que se quiere detectar lo describira un objeto cuadrado. La funcion asociada $\Psi(x,y)$ es

$\Psi (x,y)=rect(ax)rect(by)$

donde $ax$ y $ay$ son las medidas de los lados y la funcion $rect(x)$ esta dada por \[rect(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} 1 & \mbox{si} & x\leq 0.5\\ & & \\ 0 & todo lo demas \\ \end{array} \right. \]

(En este ejemplo utilice un cuadrado de $ax=by=5x10^{-4}cm$ de lado) Por tanto el holograma $I$ para el objeto cuadrado es

Objeto cuadrado

Construccion del holograma

• Holograma a partir de un objeto en forma de un anillo

Tenemos ahora un frente de onda para detectar que el objeto que la describe es un anillo, la funciones que se utilizaron fueron

$\Psi _{1}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e}),\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{i})$

Por tanto podemos escribir el frente de onda total como

$\Psi (x,y)=\Psi _{1}(x,y)-\Psi _{2}(x,y)=disk(r_{c}/r_{e})-disk(r_{c}/r_{i})$

donde $r_c=\sqrt{x^2+y^2}$, $r_i$ el radio interior, $r_e$ el radio exterior y \[disk(r_c)=\left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{si} & x\leq 1\\ & & \\ 0.5 & \mbox{si} & x=1\\ \end{array} \right. \] (en este caso utilice un radio interior de $r_i=3x10^{-4}cm$ y un radio exterior de $r_e=5x10^{-4}cm$) entonces la construcción del holograma $I$ es

Objeto en forma de anillo

Construccion del holograma

Etapa de reconstrucción

Para la etapa de reconstrucción tenemos un proceso largo, para esta proceso utilizaremos la Transformada de Fourier. Este proceso nos hace llevar el holograma a un espacio de frecuencias para tener un campo final que nos ayudara a reconstruir el frente de onda original Consideremos que el campo final se escribe como

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I\}$

Si desarrollamos tenemos que

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{|R(x,y)|^{2}+|\Psi (x,y)|^{2}+R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)+{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}\}$

De aqui podemos llamar a $I_{\Sigma}(x,y)=|R(x,y)|^2+|\Psi(x,y)|^2$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y){\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\Psi (x,y)\}$

Pero por la propiedad de ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$\Psi _{f}={\mathcal {F}}\{I_{\Sigma }(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{R(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{{\overline {\Psi }}(x,y)\}+{\mathcal {F}}\{{\overline {R}}(x,y)\}\otimes {\mathcal {F}}\{\Psi (x,y)\}$

Para no escribir todo esto podemos definir que

1. $\mathcal{F}\{I_{\Sigma}(x,y)\}=\widetilde{I}_{\Sigma}(f_x,f_y)$
2. $\mathcal{F}\{R(x,y)\}=\widetilde{R}(f_x,f_y)$
3. $\mathcal{F}\{\overline{R}(x,y)\}=\widetilde{\overline{R}}(f_x,f_y)$
4. $\mathcal{F}\{\Psi(x,y)\}=\widetilde{\Psi}(f_x,f_y)$
5. $\mathcal{F}\{\overline{\Psi}(x,y)\}=\widetilde{\overline{\Psi}}(f_x,f_y)$

entonces podemos escribir el campo final como

$\Psi _{f}={\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})+{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})+{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})$

Este ultimo resultado describe graficamente para cada uno de nuestros ejemplos anteriores lo siguiente:

Campo Final del objeto circular

Campo Final del objeto en forma de anillo

Campo Final del objeto cuadrado

A este resultado, si le colocamos un filtro oscuro que lo podemos denominar una funcion $G(f_x,f_y)$ que predomina en el espacio de frecuencias para que el campo final filtrado sea:

$\Psi _{f-filtrado}=\Psi _{f}\cdot G(f_{x},f_{y})={\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\cdot G(f_{x},f_{y})+[{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})+[{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})$

Con este se tiene el campo final de cada objeto filtrado:

Campo final del objeto circular filtrado

Campo final del objeto en forma de anillo filtrado

Campo final del objeto cuadrado filtrado

Por ultimo solo aplicamos transformada de Fourier inversa al campo final filtrado $\Psi_{f-filtrado}$

${\mathcal {F}}\{\Psi _{f-filtrado}\}={\mathcal {F}}\{\Psi _{f}\cdot G(f_{x},f_{y})\}$

Sea $I_{Reconstruido}=\mathcal{F}\{\Psi_{f-filtrado}\}$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\cdot G(f_{x},f_{y})\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})\}+{\mathcal {F}}\{[{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\otimes {\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})]G(f_{x},f_{y})\}$

Por las propiedades de ${\mathcal {F}}\{f\otimes g\}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}$ y ${\mathcal {F}}\{f\cdot g\}={\mathcal {F}}\{f\}\otimes {\mathcal {F}}\{g\}.$ entonces

$I_{Reconstruido}={\mathcal {F}}\{{\widetilde {I}}_{\Sigma }(f_{x},f_{y})\}\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {R}}(f_{x},f_{y})\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {\Psi }}}(f_{x},f_{y})\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}+[{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\overline {R}}}(f_{x},f_{y})\}{\mathcal {F}}\{{\widetilde {\Psi }}(f_{x},f_{y})\}]\otimes {\mathcal {F}}\{G(f_{x},f_{y})\}$

Por tanto todo este resultado nos da como solución la reconstrucción del frente de onda, aquí se muestran la reconstrucción de cada uno de los objetos que se trabajaron

Reconstrucción del frente de onda del objeto circular

Reconstrucción del frente de onda del objeto en forma de anillo

Reconstrucción del frente de onda del objeto cuadrado