Función exponencial compleja

Función exponencial compleja

Algunas proposiciones.

Como en los reales tenemos nuestra función exponencial en los complejos también existe esa función, de hecho la exponencial real es un caso particular de la exponencial compleja.

A continuación se darán 7 proposiciones de la función exponencial.

1)$e^{z+w}=e^{z}e^{w}$para toda $z,w\epsilon\mathbb{C}$

Sean $z=x+iy$ y $w=s+it$ entonces

$e^{z+w}=e^{\left(x+s\right)+i\left(y+t\right)}=e^{x+s}\left[cos\left(y+t\right)+isen\left(y+t\right)\right]=\left[e^{x}\left(cosy+iseny\right)\right]\left[e^{s}\left(cost+isent\right)\right]=e^{z+w}=e^{z}e^{w}$

2)$e^{z}$nunca es cero

Para cada z tenemos que

$e^{z}\cdotp e^{-z}=e^{0}=1$

3)si x es real entonces $e^{x}>1$cuando $x>0$, y $e^{x}<1$cuando $x<0$

Sabemos que la función exponencial siempre es creciente entonces:

$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...$ Para toda $x>0$

4)$\left|e^{x+iy}\right|=e^{x}$

$\left|e^{x+iy}\right|=\left|e^{x}e^{iy}\right|=\left|e^{x}\right|\left|e^{iy}\right|=e^{x}\left|cosy+iseny\right|=e^{x}$ podemos quitar el valor absoluto de $e^{x}$por que siempre es mayor que cero y

$\left|cosy+iseny\right|=cos^{2}y+sen^{2}y=1$

5)$e^{\frac{\pi i}{2}}=i$ , $e^{\pi i}=-1$ , $e^{\frac{3\pi i}{2}}=-1$ , $e^{2\pi i}=1$

Por definición

$e^{\frac{\pi i}{2}}=cos\frac{\pi}{2}+isen\frac{\pi}{2}=i$

Por definición sirve para cualquier múltiplo de pi

6)$e^{z}$ es periódica, de periodo $2n\pi i$ con n entero

Supongamos que

$e^{z+w}=e^{z}$ para toda $z\epsilon\mathbb{C}$ si $z=0$obtenemos que $e^{w}=1$

Si $w=s+ti$entonces por 4) $e^{w}=1$esto implica que $e^{s}=1$ y por lo tanto $s=0$

Así, cualquier perdiodo de la forma ti, $t\epsilon\mathbb{R}$

Supongamos $e^{ti}=1$ esto es que $cost+isent=1$ Entonces $cost=1,sent=0$y por lo tanto $t=2\pi ni$para algún entero n

7)$e^{z}=1$si y soló si $z=2n\pi i$ para algún entero n

$e^{0}=1$ , $e^{2n\pi i}=1$pues $e^{z}$es peridoica por 6) Recíprocamente, $e^{z}=1$ implica $e^{z+w}=e^{w}$ para toda w; Así por 6) $z=2n\pi i$ para algún entero n

Bibliografía: Marsen. Análisis básico de variable compleja

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Aportación de: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:49 5 jul 2015 (CDT)

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