Diferencia entre revisiones de «Función exponencial compleja»
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A continuación se darán 7 proposiciones de la función exponencial. | A continuación se darán 7 proposiciones de la función exponencial. | ||
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Sean $z=x+iy$ y $w=s+it$ entonces | |||
$e^{z+w}=e^{\left(x+s\right)+i\left(y+t\right)}=e^{x+s}\left[cos\left(y+t\right)+isen\left(y+t\right)\right]=\left[e^{x}\left(cosy+iseny \right)\right]\left[e^{s}\left(cost+isent\right)\right]=e^{z+w}=e^{z}e^{w}$ | |||
* $e^{z}$nunca es cero | |||
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$\left|cosy+iseny\right|=cos^{2}y+sen^{2}y=1$ | $\left|cosy+iseny\right|=cos^{2}y+sen^{2}y=1$ | ||
* $e^{\frac{\pi i}{2}}=i$ , $e^{\pi i}=-1$ , $e^{\frac{3\pi i}{2}}=-1$ | |||
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Por definición sirve para cualquier múltiplo de pi | Por definición sirve para cualquier múltiplo de pi | ||
* $e^{z}$ es periódica, de periodo $2n\pi i$ con n entero | |||
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Supongamos $e^{ti}=1$ esto es que $cost+isent=1$ Entonces $cost=1,sent=0$y | Supongamos $e^{ti}=1$ esto es que $cost+isent=1$ Entonces $cost=1,sent=0$y | ||
por lo tanto $t=2\pi ni$para algún entero n | por lo tanto $t=2\pi ni$para algún entero n | ||
* $e^{z}=1$si y soló si $z=2n\pi i$ para algún entero n | |||
$e^{0}=1$ , $e^{2n\pi i}=1$pues $e^{z}$es peridoica por 6) Recíprocamente, | $e^{0}=1$ , $e^{2n\pi i}=1$pues $e^{z}$es peridoica por 6) Recíprocamente, | ||
Revisión del 10:01 18 may 2023
Función exponencial compleja
Algunas proposiciones.
Como en los reales tenemos nuestra función exponencial en los complejos también existe esa función, de hecho la exponencial real es un caso particular de la exponencial compleja.
A continuación se darán 7 proposiciones de la función exponencial.
- $e^{z+w}=e^{z}e^{w}$para toda $z,w\epsilon\mathbb{C}$
Sean $z=x+iy$ y $w=s+it$ entonces
$e^{z+w}=e^{\left(x+s\right)+i\left(y+t\right)}=e^{x+s}\left[cos\left(y+t\right)+isen\left(y+t\right)\right]=\left[e^{x}\left(cosy+iseny \right)\right]\left[e^{s}\left(cost+isent\right)\right]=e^{z+w}=e^{z}e^{w}$
- $e^{z}$nunca es cero
Para cada z tenemos que
$e^{z}\cdotp e^{-z}=e^{0}=1$
- Si x es real entonces $e^{x}>1$cuando $x>0$, y $e^{x}<1$cuando
$x<0$
Sabemos que la función exponencial siempre es creciente entonces:
$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+...$ Para toda $x>0$
- $\left|e^{x+iy}\right|=e^{x}$
$\left|e^{x+iy}\right|=\left|e^{x}e^{iy}\right|=\left|e^{x}\right|\left|e^{iy}\right|=e^{x}\left|cosy+iseny\right|=e^{x}$ podemos quitar el valor absoluto de $e^{x}$por que siempre es mayor que cero y
$\left|cosy+iseny\right|=cos^{2}y+sen^{2}y=1$
- $e^{\frac{\pi i}{2}}=i$ , $e^{\pi i}=-1$ , $e^{\frac{3\pi i}{2}}=-1$
, $e^{2\pi i}=1$
Por definición:
$e^{\frac{\pi i}{2}}=cos\frac{\pi}{2}+isen\frac{\pi}{2}=i$
Por definición sirve para cualquier múltiplo de pi
- $e^{z}$ es periódica, de periodo $2n\pi i$ con n entero
Supongamos que
$e^{z+w}=e^{z}$ para toda $z\epsilon\mathbb{C}$ si $z=0$obtenemos que $e^{w}=1$
Si $w=s+ti$entonces por 4) $e^{w}=1$esto implica que $e^{s}=1$ y por lo tanto $s=0$
Así, cualquier periodo de la forma ti, $t\epsilon\mathbb{R}$
Supongamos $e^{ti}=1$ esto es que $cost+isent=1$ Entonces $cost=1,sent=0$y por lo tanto $t=2\pi ni$para algún entero n
- $e^{z}=1$si y soló si $z=2n\pi i$ para algún entero n
$e^{0}=1$ , $e^{2n\pi i}=1$pues $e^{z}$es peridoica por 6) Recíprocamente, $e^{z}=1$ implica $e^{z+w}=e^{w}$ para toda w; Así por 6) $z=2n\pi i$ para algún entero n
Bibliografía: Marsen. Análisis básico de variable compleja
Aportación de: Luis Enrique Martínez Valverde (discusión) 15:49 5 jul 2015 (CDT)
