Función analítica

Dícese que una función compleja $f(z)$ es analítica en un punto $z_{0}$, sí la función $f$ es derivable en $z_{0}$ y en cada punto de una vecindad de $z_{0}$

También se puede decir que unda función $f$ es analítica en un dominio $D$ si se cumple que sea analítica en cada punto de ese dominio $D$, por lo cual una condición es que sea diferenciable en cada punto del dominio.

Aunque la condición necesaria para la existencia de la analiticidad es que se cumplan las ecuaciones de Cauchy-Reimann, en donde estas ecuaciones relacionan la primera derivada de la parte real de función con la primera derivad de la parte imaginaria de la función, esto puede traer consecuencias tales como la función armónica, vea Función armónica en variable compleja .

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Diferenciabilidad

Para poder definir lo que es una función analítica tenemos que cubrir en el concepto de diferenciabilidad ó derivabilidad, la idea básica de la derivación en cálculo diferencial complejo es muy similar a la derivación del cálculo diferencial real, para ello la dervada de una función $f$ se define en términos de límites

Definición 1

El concepto de derivada se puede definir como sigue

Sea $A$ un conjunto abierto en $C$ y $Z_{0}\epsilon A$, se dice qe una función $f:A\rightarrow C$ es diferenciable comlejamente en $z_{0}$ si existe lo siguiente

$\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}$

y el límite anterior también es llamado derivada, se denota por $f'(z_{0})$.

Definición 2

Otra manera de verlo es de la siguiente forma, pero cabe aclarar que es la misma idea de la definición uno, por no decir que es lo mismo.

Partimos de la idea de estar en el plano complejo, sea $z$ de la forma $z=a+bi$, ahorta tomamos dos puntos $z_{1}=a_{1}+b_{1}i$ y $z_{0}=a_{0}+b_{0}i$, y analizando su diferencia

$\Delta z=z_{1}-z_{0}=(a_{1}-a_{0})+i(b_{1}-b_{0})=\Delta a+i\Delta b$

Lo hecho anteriormente es por las propiedades de los Números complejos .

Ahora la idea es hacer que $z_{1}$ se acerque a $z_{0}$, tal que el cambio sea el límite cuando $z_{1}$ tienda a $z_{0}$, y esto denota la derivada ($f'(z_{0})$), con la siguiente definición

Sea $A$ una vecindad de $C$ y $z_{0}\epsilon A$, suponemos que $f$ es definida en $A$, se cumple que para la derivada de $f$ en $z_{0}$ es

$f'(z_{0})=\lim _{\Delta z\to 0}{\frac {f(z+\Delta z)-f(z_{0})}{\Delta z}}$

Se puede observar que la definición uno y la definción dos son análogas.

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Función analítica

Denifición

Dícese que una función compleja $f(z)$ es analítica en un punto $z_{0}$, en donde $z_{0}\epsilon C$, si $f$ es derivable en ese punto y en una vecindad de $z_{0}$

Con lo anterior se tiene como consecuencia que, $f(z)$ es una función analítica en dominio D complejo si es analítica en D ó en cada parte del dominio D complejo.

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Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Sea $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ derivable en un punto $Z\epsilon C$. Entonces las derivadas parciales en ese punto de primer orden existen y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, ver Compleja:Demostracion de Ecuaciones Cauchy-Riemann .

${\frac {\partial u(x,y)}{\partial x}}={\frac {\partial v(x,y)}{\partial y}}$

$\quad {\frac {\partial u(x,y)}{\partial y}}=-{\frac {\partial v(x,y)}{\partial x}}$

Las ecuaciones anteriores son las ecuaciones de Cauchy Riemann.

Las ecuaciones de Cauchy-Reimann son un criterio suficiente para la analiticidad, es decir, que son una condicion suficiente para que haya analiticidad, pero, para que lo anterior sea cierto necesitamos aclarar que la parte real e imaginaria de la función $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ son continuas, eso quiere decir que sí $u(x,y)$ y $v(x,y)$ ambas son continuas se garantiza el criterio suficiente para la existencia de la analiticidad.

Por lo que para el criterio para la no analiticidad, se dice que sí las ecuaciones de Cauchy no se satisfacen para todos los puntos en un dominio complejo, entonces la función no cumple con la analiticidad en ese dominio.

Obviamente las ecuaciones de Cauchy-Reimann tienen una consecuencia en el criterio de la derivabilidad, en donde sí $u(x,y)$ y $v(x,y)$ son derivables en un dominio $D$ complejo y son continuas, entonces la funcion $f(z)$ es derivable en ese dominio.

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Ejercicios

Ejercicio 1

Obtén $f'(z)$ de la siguiente función, usando la definición.

$f(z)=iz^3-7z^2$

Solución

Definición de derivada es:

$f'(z_0)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$

Entonces si desarrollamos:

$ f(z+\Delta z)-f(z)= i(z+\Delta z)^3-7(z+\Delta z)^2-(iz^3-7z^2)= 3z^2\Delta zi+3z\Delta z^2i+\Delta z^3i-14z\Delta z-7\Delta z^2$

Por lo que la función derivada esta dada por

\[ f'(z)=\lim_{\,\Delta z \to 0} \frac{\Delta z\left(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z \right)}{\Delta z}\]

Después de desarrollar algebraicamente obtenemos

\[ f'(z)= \lim_{\,\Delta z \to 0}(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z) \]

Por lo tanto: Aplicando el límite y sus propiedades:

\[ f'(z)= \lim_{\,\Delta z \to 0}(3z^2i+3z\Delta zi+\Delta z^2i-14z-7\Delta z)= 3iz^2-14z \]

(Ejercicio realizado por Nancy Martínez Durán)

Ejercicio 2

Verifique la analiticidad por medio de las ecuaciones de Cauchy-Reimann para $f\left(z\right)=e^{-x}\cos y-ie^{-x}\sin y$

Solución

Si $u\left(x,y\right)=e^{-x}\cos y$; $v\left(x,y\right)=-e^{-x}\sin y$

$u$ y $v$ son continuas en todos los reales.

Además obteniendo las derivadas parciales:

$\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-x}\cos y$; $\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y$

$\frac{\partial v}{\partial x}=e^{-x}\sin y$; $\frac{\partial v}{\partial y}=-e^{-x}\cos y$

Siguen siendo continuas en todos los reales, Por último analizamos las ecuaciones de Cauchy-Reiman :

$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-x}\sin y=-\frac{\partial v}{\partial x}$

$\frac{\partial v}{\partial y}=e^{-x}\cos y=\frac{\partial u}{\partial x}$

Las ecuaciones de Cauchy-Riemman se satisfacen por lo que $f\left(z\right)$ es analítica en cualquier dominio D.

(Ejercicio hecho por Alejandro Juárez Toribio)

Referencias

1. Curso básico de variable compleja, Antonio Lascurin Orive,Facultad de ciencias, UNAM, Prensa de ciencias, 2013. 2. Introducción al análisis complejo con aplicaciones, Denns G. Zill and Patrick D. Shanahan, segunda edición, CENGAGE Learning, 2009. 3.Variable compleja y aplicaciones, Ruel V. Churchill and James Ward, Quinta Edición, McGraw-Hill