Fractales

De luz-wiki

Las estructuras fractales son objetos que exhiben autosimilaridad en distintas escalas. A éstos objetos se les asocia una dimensión fraccionaria, de ahi su nombre. Ve por ejemplo una introducción a los fractales en wikipedia.

Los objetos fractales se han desarrollado fundamentalmente en el plano complejo, es decir, con números que contienen una parte real y una imaginaria.

Un importante grupo de fractales se produce ante el mapeo cuadrático.

mapeo cuadrático

Se utiliza la iteración

una y otra vez, donde es un punto en el plano complejo. Se realiza para los distintos puntos del plano complejo y se asocia un valor a cada punto dependiendo de su comportamiento con las iteraciones. Se inicia la iteración con , de manera que los primeros valores de son

y dado ,

Después de muchas iteraciones se observa si la magnitud del número complejo diverge o se mantiene acotada. Se puede mostrar que para estar acotada la magnitud debe ser menor que 2. Los puntos del plano complejo que despues de muchas iteraciones no divergen conforman el conjunto (en el plano complejo) acotado ante el mapeo cuadrático (del álgebra de los complejos). Dicho conjunto también se conoce como el célebre conjunto de Mandelbrot.

Para encontrarlo se toma como punto inicial c, un punto del plano complejo y luego otro y asi sucesivamente. A cada punto se le aplica la iteración cuadrática. La frontera entre los puntos que divergen y los que no divergen es extremadamente intrincada.

visualización

El plano complejo se puede mostrar en un espacio bidimensional (Diagrama de Argand). Cada punto sometido a la iteración cuadrática se puede colorear dependiendo de que tan rápido diverge o si está acotado. Las imágenes que se producen son bidimensionales y pueden ser muuuy interesantes e inclusive estéticas.


Aquí discutiremos los fractales de escatores ante el mapeo cuadrático.

El se modifica al conjunto ciolal.

Ciolalsx-7-rainbow.png

--Manuel-tepal 22:58 9 sep 2007 (CDT)