Figuras de Lissajous

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Introduccion

Las figuras de Lissajous, también conocidas como curvas de Bowditch , son el resultado del movimiento de dos osciladores armónicos simples cuyas direcciones son perpendiculares. Si estas dos direcciones las denominamos como X y Y, tendríamos entonces que el movimiento de estos osciladores esta descrito por:

$X=ASin(\omega_x t-\alpha)$ , $Y=BSin(\omega_y t-\beta)$ , $\delta=\alpha-\beta$

Donde:

$A$ y $B$ son las amplitudes de los osciladores, $\omega_x$ y $\omega_y$ son las frecuencias a las que oscila cada uno y $\delta$ es el angulo de desfase entre ambos osciladores. Al eliminar la variable de tiempo ($t$) de las expresiones anteriores obtenemos la ecuacion parametrica:

$f(X,Y,\delta)=cte$

que corresponde a la figura de lissajous.

Figura de Lissajous simple

Propiedades

La forma que se observe de la figura de lissajous dependera de los 3 parametros mencionados (amplitud, frecuencia y angulo de desfase), pero el principal parametro a considerar es la relacion entre ambas frecuencias, ya que esta determinara la complejidad de la figura resultante. Si las frecuencias tienen una relacion tal que $\omega_x/\omega_y=1$ entonces tendremos que la figura resultante sera una elipse pero dependiendo del angulo de desfase ($\delta$) se podria observar como un circulo o una linea recta.

Figuras de lissajous correspondientes a sus relaciones de frecuencias y diferentes angulos de desfase.

En figuras de Lissajous simples es sencillo determinar la relacion entre frecuencias y el angulo de desfase con solo observar la figura. Para conocer la relacion entre frecuencias uno se debe fijar solamente en los puntos maximos de la figura y sus curvas laterales, siendo el numero de curvas laterales que tiene la figura la frecuencia en X ($\omega_x$) y el numero de maximos que tenga su frecuancia en Y ($\omega_y$).

Como ejemplo:

Figura de lissajous con una relacion de frecuencias 3/4

Como se puede observar en la imagen, esta figura tiene 3 curvas laterales y 4 maximos, por lo tanto su relacion de frecuencias es de $3/4$. Este metodo se puede usar cuando la relacion entre frecuencias es simple, es decir, que $\omega_x$ y $\omega_y$ sean numeros enteros. Otro factor a considerar es que si la relacion $\omega_x/\omega_y$ es un numero racional, la figura sera cerrada, mientras que si es un numero irracional, la figura sera una curva abierta.

Para conocer el angulo de desfase se debe tener a la figura centrada en un eje de coordenadas (X,Y).

Figura de Lissajous centrada en un plano (X,Y)

Como las figuras de Lissajous son ondas senoidales se utilizan las siguientes relaciones:

$Sin\delta=\frac{Y_0}{Y_M}$

$\delta=arcoSin\frac{Y_0}{Y_M}$

Siendo $Y_0$ el valor donde la figura corta el eje Y, $Y_M$ el valor maximo de la curva y $\delta$ el angulo de desfase.


Historia

El físico frances Jules Antoine Lissajous presentó a mediados del siglo XIX un informe sobre unas curvas que había estudiado a la luz. Encontró un metódo para visualizar la curva que generaba la combinación de dos movimientos armónicos simples.

Su metódo consistia de dos diapasones identicos con un espejo ligero fijado en el que reflejó un haz de luz, posteriormente, aplicó una vibración con cierta frecuencia a cada diapason y esta reflexion formaba una figura al ser proyectada, la forma de estas figuras era determinada por la frecuencia de las vibraciones en los diapasones.

Jules Antoine Lissajous y su experimento con diapasones

Lissajous no fue el primero en estudiar este tipo de curvas. En 1815, Nathaniel Bowditch estaba interesado en el movimiento ondulatorio y publicó sus conclusiones en un artículo de la revista de la American Academy of Arts and Science. Sin embargo, no recurrió a diapasones y espejos, como haría después Lissajous, sino que se limitó a utilizar el péndulo.

Bowditch cogió un pequeño hilo y lo suspendió por sus dos extremos, fijándolo a una tabla horizontal. Un hilo en cuyo extremo se encontraba una pelota plomiza. De manera que se veía asi:

El péndulo de Bowditch

Este péndulo así construido tenía dos modos de oscilación distintos. Cuando el péndulo oscilaba en una de estas dos direcciones, el resultado no tenía nada de especial. Sin embargo, cuando lo hacia en una dirección oblicua algunas veces el péndulo trazaba una trayectoria circular, en otras elíptica, parabólica o describía una curva con dos ramas. Bodwitch comprendió que había una inmensa variedad de estas curvas o de combinaciones de ellas, y que dependían de las proporciones que las diferentes partes del péndulo mantuviesen entre ellas

Aplicaciones

Algunas de las diversas aplicaciones de las figuras de Lissajous son:

Lectores ópticos: ciertos artefactos como los lectores de precios del supermercado utilizan mecanismos a traves de un haz de luz que genera las figuras de Lissajous lo que permite la lectura del codigo de barras lo cual se reduce a un analisis del precio del producto.

Encriptar datos: algunos datos que son comunicados por fibras ópticas, si alguien desea robarle la señal, no podrá descifrarla con facilidad.

Sonido: Se ha presentado una metodología para lograr trayectorias de fuentes sonoras que siguen esquemas delineados por figuras de Lissajous. Generar patrones de movimiento con figuras de Lissajous es un método ágil para generar trayectorias de sonidos que no son tan predecibles como metodologías lineales o circulares, este modelo ha sido utilizado exitosamente en diversas composiciones.

Análisis de circuitos: Con ayuda del osciloscopio se mide el voltaje pico en cada elemento de un circuito y haciendo uso de las figuras de Lissajous se miden los ángulos de desfase con respecto a la señal de entrada, cuando el ángulo de fase entre ambas señales cambie, la figura de Lissajous variará.


Bibliografía

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Anthony Ashton, Harmonograph: a visual guide to the mathematics of music. Walker & Company, 2003.

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