Efecto Doppler

El efecto Doppler se observa cuando en un sistema comprendido por un medio, una fuente que proveerá de perturbaciones al sistema y un observador existe una diferencia entre las velocidades respecto al medio de la fuente y el observador de dicha fuente, es decir, cuando hay movimiento relativo de la fuente y el observador en el medio. Este movimiento puede existir en una sola dimensión, sea que la fuente se mueva desde o hacia el observador o viceversa, pero también puede ocurrir que fuente y observador no interactúen sobre un eje común.

Debido a que el efecto depende del movimiento relativo entre fuente y observador en el medio, podemos encontrar diversas combinaciones donde se considera este efecto.

Fuente fija - Observador fijo (Ff-Of)

Es en realidad el caso trivial, sin movimiento relativo entre fuente y observador respecto al medio, que sirve como comparativo al momento de analizar las demás combinaciones. Como se observa en la imagen, las ondas emitidas por la fuente y recibidas por el observador mantienen la misma longitud de onda $\lambda$ y frecuencia $\nu$. Cabe resaltar que dado que las ondas se propagan sobre un medio, este caso no es equivalente a que el movimiento relativo entre fuente y observador sea nulo si hay movimiento de la fuente respecto al medio.

Fuente fija - Observador móvil (Ff-Om)

Veamos ahora el caso en que el movimiento relativo entre fuente y observador se lleva a cabo sobre un mismo eje y el caso en que dicho movimiento se lleva a cabo sobre un mismo plano, pero no necesariamente sobre la misma línea. Ambos casos para una fuente de frentes de onda esféricos, como podría ser una fuente de sonido o una fuente de luz.

Ff-Om Movimiento sobre la misma línea

En esta combinación es fácil notar que si el observador se acerca a la fuente, la frecuencia a la que percibirá las ondas será mayor que la frecuencia original, es decir la frecuencia en que la fuente las emite, puesto que al acercarse reduce la distancia entre los frentes de onda, sumando la velocidad de su movimiento a la de los frentes de onda, por lo que como resultado observará un aumento en la frecuencia de las ondas.

Sea un observador con rapidez $v_{o}$ en dirección a una fuente fija que dista de este una longitud $l$ al instante $t=0$ y que emite ondas cuya velocidad de propagación es $v_{p}$. En un instante t, el observador avanza una distancia $v_{o}t$ y una onda emitida en $t=0$ que en ese instante llega al observador avanza $l-v_{o}t$, por lo tanto \[ v_{p}t=l-v_{o}t \] \begin{equation} t=\dfrac{l}{v_{p}+v_{o}} \label{Eq1} \end{equation} En $t=\tau$ la fuente emite una onda que es alcanzada por el observador en $t=t'$, entonces la distancia recorrida por la onda es $l-v_{o}t'$ y el tiempo que le tomó llegar a esa distancia es $t'-\tau$, por lo que viajó una distancia $v_{p}\left(t'-\tau\right)$, por lo tanto \[ v_{p}\left(t'-\tau\right)=l-v_{o}t' \] \[ \rightarrow v_{p}t'+v_{o}t'=l+v_{o}\tau \] \begin{equation} t'=\dfrac{l+v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}} \label{Eq2} \end{equation}

luego, el intervalo medido por el observador entre las ondas recibidas es \[ \tau'=t'-t=\dfrac{l+v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}} -\dfrac{l}{v_{p}+v_{o}} \] \begin{equation} \tau'=\dfrac{v_{p}}{v_{p}+v_{o}}\tau \label{Eq3} \end{equation} entonces, si $\nu$ es la frecuencia de emisión de la fuente, al tiempo $\tau$, esta habrá emitido $\nu\tau$ ondas, mismas que son recibidas por el observador al tiempo $\tau'$ por lo que él mide una frecuencia \[ \nu' =\dfrac{\nu\tau}{\tau'}=\nu\tau \left(\dfrac{v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}}\right)^{-1} \] \begin{equation} \nu'=\nu\dfrac{v_{p}+v_{o}}{v_{p}} \label{Eq4} \end{equation}

En la imagen se ilustra como el movimiento del observador influye en su percepción de las ondas.

Es evidente ahora que si el observador se mueve alejándose de la fuente, tenemos el caso contrario, en el que las ondas deben recorrer una distancia mayor para llegar al observador y como resultado éste percibirá una disminución en la frecuencia de las ondas con respecto a la frecuencia original de las mismas. Utilizando un razonamiento similar al expuesto con anterioridad, pero tomando en cuenta que al alejarse el observador de la fuente el frente de onda debe avanzar una distancia $l+v_{o}t$ para un tiempo $t$ podemos llegar a una ecuación equivalente a la ecuación \ref{Eq1} para este caso \begin{equation} t=\dfrac{l}{v_{p}-v_{o}} \label{Eq5} \end{equation} y siguiendo por el mismo camino podemos fácilmente hallar las expresiones equivalentes para \ref{Eq2}, \ref{Eq3} y \ref{Eq4} obteniendo entonces que para el caso de una fuente fija y un observador móvil sobre un eje común, la frecuencia de onda percibida por el observador será \begin{equation} \nu'=\nu\dfrac{v_{p} \pm v_{o}}{v_{p}} \label{Eq6} \end{equation} donde la suma o resta en el numerador dependerá de si el observador se acerca o se aleja respectivamente.

Ff-Om Movimiento sobre el mismo plano

Como vimos anteriormente, el aumento o disminución de la frecuencia en las ondas percibidas por el observador depende de la suma de las velocidades de propagación de la onda y del observador. Cuando las velocidades no tienen la misma dirección, la frecuencia a la que el observador percibirá la onda dependerá de la velocidad del frente de onda y de la contribución de su propia velocidad en la dirección de propagación de la onda, es decir, en la dirección que une radialmente a la fuente y al observador, lo que nos indica que la velocidad de propagación de la onda percibida por el observador depende del ángulo de observación.

Sea un observador con velocidad $v_{o}$ que se mueve sobre un eje paralelo a la posición de reposo de la fuente, es fácil observar en la figura que se forma un triángulo rectángulo entre la dirección de movimiento del observador, el radio que une a la fuente y al observador, es decir, la línea de propagación del frente de onda hacia el observador y una línea perpendicular al movimiento de este último sobre la posición de la fuente. Esta dispocición nos deja ver que la contribución que hace el movimiento del observador a la velocidad de la onda percibida por este es $v_{o}\cos\phi$ por lo que la expresión previamente encontrada para el efecto Doppler (ecuación \ref{Eq6}) se convierte en \begin{equation} \nu'=\nu\dfrac{v_{p} \pm v_{o}\cos\phi}{v_{p}} \label{Eq7} \end{equation}

Con las consideraciones adecuadas se puede modelar un plano para cuales quiera observador y fuente, por lo que el desarrollo es fundamentalmente el mismo.

Fuente móvil - Observador fijo (Fm-Of)

Cuando es la fuente quien se mueve existen dos casos muy diferentes que dependen de si la velocidad de la fuente $\textbf{v}_{f}$ es menor o mayor que la velocidad de la onda generada $\textbf{v}_{p}$. Veamos ambos casos para una fuente de frentes de onda esféricos.

Fm-Of, $\textbf{v}_{f}< \textbf{v}_{p}$

Si la fuente se acerca o se aleja del observador, la frecuencia de las ondas será mayor o menor a la frecuencia original según el razonamiento antes expuesto. Con un análisis similar al usado en el caso de Ff-Om podemos observar que si la fuente se acerca al observador y este es alcanzado por una onda en el instante t, entonces la onda habrá viajado una distancia $l=v_{p}t$, por lo tanto

\[ t=\dfrac{l}{v_{p}} \]

Si una segunda onda emitida por la fuente al instante $t=\tau$ alcanza al observador al tiempo $t'$, la onda habrá viajado una distancia $l-v_{f}\tau=v_{p}\left(t'-\tau\right)$ y por lo tanto

\[ t'=\dfrac{\tau\left(v_{p}-v_{f}\right)+l}{v_{p}} \]

luego, el intervalo medido por el observador es

\[ \tau'=t'-t=\dfrac{\tau\left(v_{p}-v_{f}\right)+l}{v_{p}}-\dfrac{l}{v_{p}} \]

por lo tanto \begin{equation} \tau'=\dfrac{v_{p}-v_{f}}{v_{p}}\tau \label{Eq8} \end{equation} entonces, igual que el caso donde Ff-Om las ondas emitidas por la fuente al tiempo $\tau$ serán $\tau\nu$ las mismas que recibe el observador al tiempo $\tau'$ por lo tanto \begin{equation} \nu'=\nu\left(\dfrac{v_{p}}{v_{p}-v_{f}}\right) \label{Eq9} \end{equation}

Fm-Of, $\textbf{v}_{f}> \textbf{v}_{p}$

Tavo San (discusión) 23:03 2 jun 2021 (CDT)

Problema 8-12. Capítulo 8. French

En el texto . se desarrolla la teoría del efecto Doppler para una fuente o foco móvil, con un observador distante en una dirección $ \theta$ respecto al movimiento del foco. Se demuestra que la frecuencia recibida viene dada por:

\[ \nu (\theta) = \frac{\nu_0}{1- \frac{u \cos \theta}{v}} \]

(a) Demostrar que si el foco esta en reposo y el observador tiene una velocidad --u, de modo que la velocidad relativa del foco y del observador es la misma que antes, la frecuencia detectada por el observador viene dada por:

\[ \nu' (\theta) = \nu_0 (1+\frac{u \cos \theta}{v}) \]

(b) Hallar la diferencia aproximada entre $\nu$ y $\nu'$. Es un tema de gran importancia física el que en las ondas de la luz en el vació no existe dicha diferencia en contraste con las ondas sonoras en el aire; solo aparece en el resultado de la velocidad relativa de la fuente y el observador. Esta es una de las características reseñadas en la teoría especial de la relatividad de Einstein, de acuerdo con la cual no existe ningún medio identificable respecto al cual la velocidad de la luz tenga cierta velocidad característica.

(a): Sabiendo que la fuente esta en reposo y que el observador se mueve con --u hacia la fuente, y en una dirección tal que la dirección del del observador forma un angulo $\theta$ con la fuente, de ahí la velocidad relativa del observador es entonces: \[ v_s = u \cos (\theta) \]

El signo negativo nos indica la dirección del observador, y sabiendo que se mueve hacia la fuente, esto significa que la distancia ente los frentes de onda disminuirán, teniendo como resultado un valor mas alto para el de la frecuencia recibida y por lo tanto el signo asociado a la velocidad de la fuente en la ecuación de Doppler debe ser positivo, por lo tanto la frecuencia recibida esta dad por:

\[ \nu' = \nu_0 (\frac{v + v_s}{v}) \]

sustituyendo $v_s$:

\[ \nu' = \nu_0 (\frac{v + u \cos (\theta)}{v}) \]

Simplificando tenemos:

\[ \fbox{$\nu' = \nu_0 (1 + \frac{u}{v} \cos (\theta))$} \]

Lo cual es la expresión que se buscaba demostrar.

(b): Conociendo ambas frecuencias $\nu$ y $\nu'$, podemos encontrar la diferencia entre ambas frecuencias, de eso tenemos:

\[ \nu - \nu' = \frac{v_0}{1-\frac{u}{v} \cos (\theta)} - (v_0 + \frac{u v_0 \cos (\theta)}{v}) \] \[ = v_0 (\frac{1}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}-1-\frac{u \cos(\theta)}{v}) \]

Realzando las operaciones y simplificación dentro de los paréntesis tenemos:

\[ = v_0 (\frac{1-1+\frac{u}{v} \cos (\theta)}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}- \frac{u \cos (\theta)}{v}) \] \[ = v_0 (\frac{\frac{u}{v} \cos (\theta)}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}- \frac{u \cos (\theta)}{v}) \]

Factorizando $ \frac{u}{v} \cos (\theta)$, obtenemos:

\[ = v_0 \frac{u}{v} \cos(\theta) (\frac{1}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}-1) \]

Operaciones dentro del paréntesis.

\[ = v_0 \frac{u}{v}\cos(\theta)(\frac{1-1+\frac{u}{v}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \] \[ = v_0 \frac{u}{v}\cos(\theta)(\frac{\frac{u}{v}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \] \[ =v_0 (\frac{\frac{u^2}{v^2}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \]

o bien: \[ ={\LARGE \fbox{$\frac{v_0}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}(\frac{u}{v}\cos(\theta))^2$}} \]

Por lo tanto esta ecuación nos da la representación de la diferencia entre $\nu$ y $\nu'$. Si la velocidad de la onda es mucho mayor que la del observador, entonces tenemos: \[ \frac{u}{v}\cos(\theta)\ll 1 \]

Por lo tanto la expresión obtenida se podría aproximar de la siguiente manera:

\[ \nu- \nu' \approx \frac{v_0}{1} (\frac{u}{v}\cos(\theta))^2 \]

Hablando de ondas electromagnéticas, la velocidad de onda es c (velocidad de la luz) y la velocidad máxima que un objeto en movimiento puede alcanzar es c, por lo tanto tenemos: \[ \nu -\nu' = v_0 \]

Y si el objeto que se mueve, su velocidad es mucho mas pequeña que la velocidad de la luz, podemos aproximar: \[ \frac{u \cos(\theta)}{v} \approx 0 \] Por lo tanto tenemos que: \[ \nu - \nu' = 0 \]

Lo que bien podemos deducir de esto es entonces que no existe diferencia entre las frecuencias recibidas en el caso del observador mientras se mueve hacia la fuente o viceversa con las mismas velocidades relativas entre si, dicho esto para ondas electromagnéticas.

Fernando M (discusión) 10:55 10 nov 2020 (CST) Carlosmiranda (discusión) 17:03 22 nov 2020 (CST)