Efecto Doppler

Cuando la fuente de ondas y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio material en el cual la onda se propaga, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de las ondas emitidas por la fuente . Este fenómeno recibe el nombre de efecto Doppler en honor al fisico C. J. Doppler, quien observo este fenómeno en las ondas sonoras.

Para obtener la relacion entre la frecuencia $\epsilon$ de las ondas producidas por la fuente y la frecuencia $\epsilon$' registrada por el observador, razonamos de la siguiente manera (por sencillez se supondrá que tanto la fuente como la fuente como el observador se mueven en la misma dirección): suponemos que en el instante $t=0$, cuando la distancia entre el observador y la fuente tiene un valor de $l$, la fuente emite una onda que llega al observador en el tiempo $t$; durante este tiempo el observador ha recorrido la distancia $v_{0}t$ y la distancia total recorrida por la onda en el tiempo $t$ es $l+v_{0}t$; si $v$ es la velocidad de propagacion de la onda, esta distancia tambien es $vt$. Entonces

$vt=l+v_{0}t,$

de manera que

$t={\frac {l}{v-v_{0}}}.$

Al tiempo $t=\tau$ la fuente a cambiado de posición y la onda emitida en aquel intante alcanzara al observador al tiempo $t'$ medido desde el mismo origen de tiempos que el primero. La distancia recorrida por la onda desde el tiempo en que fue emitida hasta que fue capta por el observador es $(l-v_{s}\tau )+v_{0}t$. El tiempo real durante el cual viajo la onda es $t$'$-\tau$ y la distancia recorrida es $v(t$'$-\tau )$. Por lo tanto,

$v(t$'$-\tau )=l-v_{s}\tau +v_{0}t$',

de donde se obtiene el tiempo $t',$

$t$'$={\frac {l+(v-v_{s})\tau }{v-v_{0}}}.$

El intervalo de tiempo registrado por el observador entre las ondas emitidas por al fuente es

$\tau '=t'-t=\tau {\frac {v-v_{s}}{v-v_{0}}}.$

Ahora bien, si $\epsilon$ es la frecuencia de la fuente, el numero de ondas emitido por ella en el tiempo $\tau$ es $\epsilon \tau$. Como estas ondas las recibe el observador en ele tiempo $\tau '$ la frecuencia que el mide es $\epsilon '=\epsilon \tau /\tau '$ o sea

$\epsilon '=\epsilon {\frac {v-v_{0}}{v-v_{s}}}$

Esta ecuación da la relación entre la frecuencia v de la fuente y la frecuencia v' medida por el observador cuando ambos se están moviendo en la misma dirección de propagación. Simplificando la ecuación anterior se puede tener la expresión:

$\epsilon '=\left(1-{\frac {\Delta v}{v}}\right)\epsilon$

Donde $\Delta v=v_{0}-v_{s}$ es la velocidad del observador es la velocidad del observador con respecto a la fuente.

--Alejandro Angel Galvan Garcia 04:34 30 mar 2012 (UTC) Mfgwi (discusión) 09:34 10 nov 2020 (CST)

Problema 8-12. Capítulo 8. French

En el texto se desarrolla la teoría del efecto Doppler para una fuente o foco móvil, con un observador distante en una dirección $ \theta$ respecto al movimiento del foco. Se demuestra que la frecuencia recibida viene dada por

\[ \nu (\theta) = \frac{\nu_0}{1- \frac{u \cos \theta}{v}} \]

(a) Demostrar que si el foco esta en reposo y el observador tiene una velocidad --u, de modo que la velocidad relativa del foco y del observador es la misma que antes, la frecuencia detectada por el observador viene dada por

\[ \nu' (\theta) = \nu_0 (1+\frac{u \cos \theta}{v}) \]

(b) Hallar la diferencia aproximada entre $\nu$ y $\nu'$. Es un tema de gran importancia física el que en las ondas de la luz en el vació no existe dicha diferencia en contraste con las ondas sonoras en el aire; solo aparece en el resultado de la velocidad relativa de la fuente y el observador. Esta es una de las características reseñadas en la teoría especial de la relatividad de Einstein, de acuerdo con la cual no existe ningún medio identificable respecto al cual la velocidad de la luz tenga cierta velocidad característica.

(a): Sabiendo que la fuente esta en reposo y que el observador se mueve con --u hacia la fuente, y en una dirección tal que la dirección del del observador forma un angulo $\theta$ con la fuente, de ahí la velocidad relativa del observador es entonces \[ v_s = u \cos (\theta) \]

El signo negativo nos indica la dirección del observador, y sabiendo que se mueve hacia la fuente, esto significa que la distancia ente los frentes de onda disminuirán, teniendo como resultado un valor mas alto para el de la frecuencia recibida y por lo tanto el signo asociado a la velocidad de la fuente en la ecuación de Doppler debe ser positivo, por lo tanto la frecuencia recibida esta dad por:

\[ \nu' = \nu_0 (\frac{v + v_s}{v}) \]

sustituyendo $v_s$

\[ \nu' = \nu_0 (\frac{v + u \cos (\theta)}{v}) \]

Simplificando tenemos

\[ \fbox{$\nu' = \nu_0 (1 + \frac{u}{v} \cos (\theta))$} \]

Lo cual es la expresión que se buscaba demostrar.

(b): Conociendo ambas frecuencias $\nu$ y $\nu'$, podemos encontrar la diferencia entre ambas frecuencias, de eso tenemos:

\[ \nu - \nu' = \frac{v_0}{1-\frac{u}{v} \cos (\theta)} - (v_0 + \frac{u v_0 \cos (\theta)}{v}) \] \[ = v_0 (\frac{1}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}-1-\frac{u \cos(\theta)}{v}) \]

Realzando las operaciones y simplificación dentro de los paréntesis tenemos:

\[ = v_0 (\frac{1-1+\frac{u}{v} \cos (\theta)}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}- \frac{u \cos (\theta)}{v}) \] \[ = v_0 (\frac{\frac{u}{v} \cos (\theta)}{1- \frac{u}{v} \cos (\theta)}- \frac{u \cos (\theta)}{v}) \]

Factorizando $ \frac{u}{v} \cos (\theta)$, obtenemos

\[ = v_0 \frac{u}{v} \cos(\theta) (\frac{1}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}-1) \]

Operaciones dentro del paréntesis

\[ = v_0 \frac{u}{v}\cos(\theta)(\frac{1-1+\frac{u}{v}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \] \[ = v_0 \frac{u}{v}\cos(\theta)(\frac{\frac{u}{v}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \] \[ =v_0 (\frac{\frac{u^2}{v^2}\cos(\theta)}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}) \]

o bien \[ ={\LARGE \fbox{$\frac{v_0}{1-\frac{u}{v}\cos(\theta)}(\frac{u}{v}\cos(\theta))^2$}} \]

Por lo tanto esta ecuación nos da la representación de la diferencia entre $\nu$ y $\nu'$. Si la velocidad de la onda es mucho mayor que la del observador, entonces tenemos \[ \frac{u}{v}\cos(\theta)\ll 1 \]

Por lo tanto la expresión obtenida se podría aproximar de la siguiente manera

\[ \nu- \nu' \approx \frac{v_0}{1} (\frac{u}{v}\cos(\theta))^2 \]

Hablando de ondas electromagnéticas, la velocidad de onda es c (velocidad de la luz) y la velocidad máxima que un objeto en movimiento puede alcanzar es c, por lo tanto tenemos \[ \nu -\nu' = v_0 \]

Y si el objeto que se mueve, su velocidad es mucho mas pequeña que la velocidad de la luz,podemos aproximar \[ \frac{u \cos(\theta)}{v} \approx 0 \] Por lo tanto tenemos que \[ \nu - \nu' = 0 \]

Lo que bien podemos deducir de esto es entonces que no existe diferencia entre las frecuencias recibidas en el caso del observador mientras se mueve hacia la fuente o viceversa con las mismas velocidades relativas entre si, dicho esto para ondas electromagnéticas.