Diferencia entre revisiones de «Efecto Doppler»

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aunque la reflexión no es especular, es decir que existe dispersión debida a que esta se lleva a cabo en una interfase entre impedancias rugosa con respecto a la amplitud del haz<ref  name = "Autor6"  />.
aunque la reflexión no es especular, es decir que existe dispersión debida a que esta se lleva a cabo en una interfase entre impedancias rugosa con respecto a la amplitud del haz<ref  name = "Autor6"  />.


El campo acústico es la zona en la que se propagan las ondas ultrasónicas en el medio, es decir, la parte del cuerpo en que se enfoca el haz ultrasónico  que emite el transductor y se divide en dos zonas; la primera, llamada de campo cercano es la más próxima al transductor y se extiende desde la salida del haz hasta el último máximo axial de intensidad de la onda, ubicado a una distancia $N$ que depende del transductor y del haz según la relación
El campo acústico es la región en la que se propagan las ondas ultrasónicas en el medio, es decir, la parte del cuerpo en que se enfoca el haz ultrasónico  que emite el transductor y se divide en dos zonas; la primera, llamada de campo cercano es la más próxima al transductor y se extiende desde la salida del haz hasta el último máximo axial de intensidad de la onda, ubicado a una distancia $N$ que depende del transductor y del haz según la relación
\[
\[
N=\dfrac{r^{2}}{\lambda}
N=\dfrac{r^{2}}{\lambda}
\]
\]
donde $r$ es el radio del transductor y $\lambda$ la longitud de onda del haz. A lo largo de esta zona, también conocida como zona de Fresnel, el comportamiento del haz es coherente y predecible.  
donde $r$ es el radio del transductor y $\lambda$ la longitud de onda del haz, por lo que esta zona es mayor cuanto mayor sean la frecuencia del haz y el radio del transductor. A lo largo de esta zona, también conocida como zona de Fresnel, el comportamiento del haz es coherente y predecible.  


La tercera zona es conocida como zona de campo lejano, también conocida como zona de Fraunhofer comienza justo donde termina la zona focal y en ella el haz diverge en un ángulo $\beta$ con respecto al eje axial que esta dado por
La segunda zona es conocida como zona de campo lejano o de Fraunhofer, comienza justo donde termina la zona focal y en ella el haz diverge en un ángulo $\beta$ con respecto al eje axial que esta dado por
\[
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\sin_{\beta}=0.6 \lambda r
\sin_{\beta}=0.6 \lambda r
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volviendo esta zona inútil para escanear estructuras pequeñas.
volviendo esta zona inútil para escanear estructuras pequeñas.


Existe una región que se ubica entre la zona de campo cercano y la zona de campo lejano que es también conocida como zona focal y es donde se obtiene la mayor resolución de escaneo, además de que es posible modificar esta zona utilizando la frecuencia adecuada para enfocar los objetos que desean ser estudiados.
Existe una región que se ubica en la zona de campo cercano y muy cerca de la zona de campo lejano que es también conocida como zona focal y es donde se obtiene la mayor resolución de escaneo, además de que es posible modificar esta zona utilizando la frecuencia adecuada para enfocar los objetos que desean ser estudiados, un lente sónico o enfocando un frente de onda mediante un transductos con muchos elementos piezoélectricos que actúen coordinadamente.


Finalmente, para poder determinar la frecuencia del ultrasonido utilizado es necesario tomar en cuenta que la intensidad de este disminuye exponencialmente mientras avanza por el medio de acuerdo con la expresión
Finalmente, para poder determinar la frecuencia del ultrasonido utilizado es necesario tomar en cuenta que la intensidad de este disminuye exponencialmente mientras avanza por el medio de acuerdo con la expresión

Revisión del 10:24 13 jun 2021

El efecto Doppler se observa cuando en un sistema comprendido por un medio, una fuente que proveerá de perturbaciones al sistema y un observador existe una diferencia en las velocidades respecto al medio entre la fuente y el observador de dicha fuente, es decir, cuando hay movimiento relativo de la fuente y el observador en el medio[1]. En su sentido más estricto, este es un efecto relativista; sin embargo, cuando las velocidades relativas entre la fuente y el observador son pequeñas en comparación con la velocidad de la luz en el caso de ondas electromagnéticas o cuando tratamos el efecto en ondas cuya velocidad de propagación es mucho menor que c ($3\times10^8\dfrac{m}{s}$), un tratamiento no relativista es una aproximación perfectamente adecuada. Debido a que el efecto depende del movimiento relativo entre fuente y observador en el medio, es posible encontrar diversas combinaciones donde es preciso tomarlo en consideración; de acuerdo con la velocidad del observador $v_{o}$, la velocidad de la fuente $v_{f}$ y la velocidad de propagación de las perturbaciones $v_{p}$.

El descubrimiento

Christian Andreas Doppler (1803-1853)[2]

Christian Andreas Doppler (1803-1853), matemático y físico austriaco, presentó en la Royal Bohemian Society el 25 de mayo de 1842 su trabajo "Über das farbige Licht der Doppelsterne" (Sobre el color de la luz de las estrellas dobles). Donde sugería que el color aparente de algunas estrellas era causado por el movimiento de la Tierra: el color de las estrellas era azul cuando estaban cerca de la Tierra y rojo cuando se alejaban. [3] Ante la imposibilidad de medir una relación cuantificable en esa época, utilizó las ondas sonoras para explicar este fenómeno.

"En 1845 diseñó y condujo un experimento en una estación de ferrocarril dónde colocó a varios trompetistas fijos en la estación y otros en un vagón del tren. Pidió a ambos grupos que tocaran la misma nota en el momento en que el tren se puso en movimiento. Cuando el tren pasó por la estación pudo percibir que la nota emitida por los músicos colocados en el vagón en movimiento era diferente a la emitida por los músicos estáticos".[3] Este fue el experimento debido al cual conocemos esta variación en la frecuencia de las perturbaciones como efecto Doppler.

Fuente fija - Observador fijo

Es en realidad el caso trivial, sin movimiento relativo entre fuente y observador respecto al medio, que sirve como comparativo al momento de analizar las demás combinaciones. Las ondas emitidas por la fuente y recibidas por el observador mantienen la misma longitud de onda $\lambda$ y frecuencia $\nu$. Cabe resaltar que dado que las ondas se propagan sobre un medio, este caso es equivalente a que el movimiento relativo entre fuente-medio y observador-medio sea nulo.

Observador móvil

Se presentan a continuación el caso en que el movimiento relativo entre fuente y observador se lleva a cabo sobre un mismo eje y el caso en que dicho movimiento se lleva a cabo sobre un mismo plano, pero no necesariamente sobre la misma línea. Ambos casos para una fuente de frentes de onda esféricos, como podría ser una fuente de sonido o una fuente de luz en un medio homogéneo.

Movimiento sobre la misma línea

Si el observador se acerca a la fuente mientras esta permanece estática, la frecuencia a la que percibirá las ondas será mayor que la frecuencia original, es decir la frecuencia de emisión de la fuente, puesto que al acercarse reduce la distancia entre los frentes de onda, sumando la velocidad de su movimiento a la de estos, por lo que como resultado observará un aumento en la frecuencia de dichos frentes de onda[1].

Sea un observador con rapidez $v_{o}$ en dirección a una fuente fija que dista de este una longitud $l$ al instante $t=0$ y que emite ondas cuya velocidad de propagación es $v_{p}$. En un instante t, el observador avanza una distancia $v_{o}t$ y por lo tanto, una onda emitida en $t=0$ que en ese instante llega al observador avanza una distancia $l-v_{o}t$. El tiempo que ha tomado a la onda, viajando a su velocidad de propagación, llegar al observador es $t$ y por lo tanto

\[ v_{p}t=l-v_{o}t \] \begin{equation} \label{Eq1} t=\dfrac{l}{v_{p}+v_{o}} \end{equation}

En $t=\tau$ la fuente emite una onda que es alcanzada por el observador en $t=t'$, entonces la distancia recorrida por la onda es $l-v_{o}t'$ y el tiempo que le tomó llegar a esa distancia es $t'-\tau$, por lo que viajó una distancia $v_{p}\left(t'-\tau\right)$, por lo tanto

\[ v_{p}\left(t'-\tau\right)=l-v_{o}t' \] \[ \rightarrow v_{p}t'+v_{o}t'=l+v_{o}\tau \] \begin{equation} \label{Eq2} t'=\dfrac{l+v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}} \end{equation}

luego, el intervalo medido por el observador entre las ondas recibidas es

\[ \tau'=t'-t=\dfrac{l+v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}} -\dfrac{l}{v_{p}+v_{o}} \] \begin{equation} \label{Eq3} \tau'=\dfrac{v_{p}}{v_{p}+v_{o}}\tau \end{equation}

entonces, si $\nu$ es la frecuencia de emisión de la fuente, al tiempo $\tau$, esta habrá emitido $\nu\tau$ ondas, mismas que son recibidas por el observador al tiempo $\tau'$ por lo que él mide una frecuencia

\[ \nu' =\dfrac{\nu\tau}{\tau'}=\nu\tau \left(\dfrac{v_{p}\tau}{v_{p}+v_{o}}\right)^{-1} \] \begin{equation} \label{Eq4} \nu'=\nu\dfrac{v_{p}+v_{o}}{v_{p}} \end{equation}

En la imagen se ilustra como el movimiento del observador influye en la distancia que deben recorrer las ondas para alcanzar su posición.

Distancia recorrida por una onda desde una fuente fija hasta un observador en movimiento.

Es evidente ahora que si el observador se mueve alejándose de la fuente, las ondas deben recorrer una distancia mayor para llegar al observador y como resultado éste percibirá una disminución en la frecuencia de las ondas con respecto a la frecuencia original de las mismas. Utilizando un razonamiento similar al expuesto con anterioridad, pero tomando en cuenta que al alejarse el observador de la fuente el frente de onda debe avanzar una distancia $l+v_{o}t$ para un tiempo $t$ es posible llegar a una ecuación equivalente a la ecuación \ref{Eq1} para este caso

\begin{equation} \label{Eq5} t=\dfrac{l}{v_{p}-v_{o}} \end{equation}

y siguiendo por el mismo camino es fácil hallar las expresiones equivalentes para las ecuaciones \ref{Eq2}, \ref{Eq3} y \ref{Eq4} obteniendo entonces que para el caso de una fuente fija y un observador móvil sobre un eje común, la frecuencia de onda percibida por el observador será

\begin{equation} \label{Eq6} \nu'=\nu\dfrac{v_{p} \pm v_{o}}{v_{p}} \end{equation}

donde la suma o resta en el numerador dependerá de si el observador se acerca o se aleja respectivamente.

Movimiento sobre el mismo plano

Contribución al efecto Doppler de la velocidad de un observador que se mueve en dirección $\phi$ respecto a la fuente.

El aumento o disminución de la frecuencia en las ondas percibidas por el observador depende de la suma de las velocidades de propagación de la onda y del observador. Cuando las velocidades no tienen la misma dirección, la frecuencia a la que el observador percibirá las perturbaciones dependerá de la velocidad del frente de onda y de la contribución de su propia velocidad en la dirección de propagación de la onda, es decir que para un observador lejano dependerá de la componente de la velocidad en la dirección que une radialmente a la fuente y al observador, esto indica que la velocidad de propagación de la onda percibida por el observador depende del ángulo de observación. Sea un observador con velocidad $v_{o}$ que se mueve sobre un eje paralelo a la posición de reposo de la fuente, es fácil observar en la figura que se forma un triángulo rectángulo entre la dirección de movimiento del observador, el radio que une a la fuente y al observador, es decir, la línea de propagación del frente de onda hacia el observador y una línea perpendicular al movimiento de este último sobre la posición de la fuente. Esta disposición nos deja ver que la contribución que hace el movimiento del observador a la velocidad de la onda percibida por este es $v_{o}\cos\phi$ por lo que la expresión previamente encontrada para la frecuencia (ecuación \ref{Eq6}) se convierte en

\begin{equation} \label{Eq7} \nu'(\phi)=\nu\dfrac{v_{p} \pm v_{o}\cos\phi}{v_{p}} \end{equation}

Con las consideraciones adecuadas se puede modelar un plano para cuales quiera observador y fuente, por lo que el desarrollo es fundamentalmente el mismo.

Fuente móvil

Cuando es la fuente quien se mueve existen dos casos muy diferentes que dependen de si la velocidad de la fuente $v_{f}$ es menor o mayor que la velocidad de la onda generada $v_{p}$.

$v_{f}< v_{p}$

Fuente acercándose a un observador.

Sea una fuente de frentes de onda esféricos que se acerca o se aleja de un observador fijo en una posición, la frecuencia detectada por el observdor será mayor o menor que la frecuencia original según el razonamiento antes expuesto. Con un análisis similar al usado en el caso de una fuente fija y un observador móvil es evidente que si la fuente se acerca al observador con una velocidad $v_{f}$ desde una distancia $l$ al instante $t=0$, instante en que comienza su recorrido una onda que alcanza al observador al instante t, entonces la onda habrá viajado una distancia $l=v_{p}t$, por lo tanto

\[ t=\dfrac{l}{v_{p}} \]

Si una segunda onda emitida por la fuente al instante $t=\tau$ alcanza al observador al tiempo $t'$, la onda habrá viajado una distancia $l-v_{f}\tau=v_{p}\left(t'-\tau\right)$ y por lo tanto

\[ t'=\dfrac{\tau\left(v_{p}-v_{f}\right)+l}{v_{p}} \]

luego, el intervalo entre ambas ondas medido por el observador es

\[ \tau'=t'-t=\dfrac{\tau\left(v_{p}-v_{f}\right)+l}{v_{p}}-\dfrac{l}{v_{p}} \]


por lo tanto

\begin{equation} \label{Eq8} \tau'=\dfrac{v_{p}-v_{f}}{v_{p}}\tau \end{equation}

entonces, igual que el caso donde la fuente permanece estática y el observador móvil, las ondas emitidas por la fuente al tiempo $\tau$ serán $\tau\nu$ las mismas que recibe el observador al tiempo

$\tau'$ por lo tanto \begin{equation} \label{Eq9} \nu'=\nu\left(\dfrac{v_{p}}{v_{p}-v_{f}}\right) \end{equation}

Un razonamiento similar lleva a la ecuación análoga a la ecuación \ref{Eq9} cuando la fuente se aleja del observador

\begin{equation} \label{Eq10} \nu'=\nu\left(\dfrac{v_{p}}{v_{p}+ v_{f}}\right) \end{equation}

por lo que como en el caso anterior es posible hallar una ecuación que describe ambos casos

\begin{equation} \label{Eq11} \nu'=\nu\left(\dfrac{v_{p}}{v_{p}\mp v_{f}}\right) \end{equation}

esta vez utilizando el signo negativo para una fuente acercándose y el positivo para el caso contrario. Es fácil ver que el denominador en la ecuación \ref{Eq9} es menor que en la ecuación \ref{Eq10}. Si la rapidez de la fuente es considerable en comparación con la velocidad de propagación de la onda, en el primer caso la frecuencia percibida por el observador $\nu'$ será igual a la frecuencia original $\nu$ multiplicada por algo mayor que uno, lo que muestra un aumento en la frecuencia, mientras que en el segundo caso se hace evidente que al ser el numerador menor al denominador, la frecuencia resultante será una fracción de la original.

Es posible además utilizar un razonamiento similar al utilizado anteriormente en el plano para hallar la ecuación análoga a la ecuación \ref{Eq7}

\begin{equation} \label{Eq12} \nu'(\theta)=\nu\left(\dfrac{v_{p}}{v_{p}\mp v_{f}cos\theta}\right) \end{equation}

Considerando una posibilidad más, que ambos observador y fuente se mueven, si la fuente se acerca al observador la frecuencia aumenta y el aumento es inversamente proporcional a la diferencia entre la velocidad de propagación y la velocidad de la fuente \ref{Eq11}, del mismo modo, cuando el observador se acerca a la fuente, el aumento en la frecuencia percibida por el observador es proporcional a la suma de la velocidad de propagación y la velocidad del observador \ref{Eq6}, por lo que utilizando un desarrollo similar a los anteriores es fácil comprobar que cuando ambos están en movimiento sobre una recta, la frecuencia percibida por el observador viene dada por

\begin{equation} \label{Eq13} \nu'=\nu\left(\dfrac{v_{p} \pm v_{o}}{v_{p}\mp v_{f}}\right) \end{equation}

$v_{f}> v_{p}$

Fuente con velocidad $v_{f}>v_{p}$

Cuando la fuente tiene una rapidez mayor a la velocidad de propagación de las ondas, esta alcanzará una distancia en el instante $t$ que es mayor al radio de una onda que fue emitida al instante $t=0$. Tras recorrer, la fuente, una distancia $v_{f}t$ las ondas emitidas durante este lapso ($t-0$) generan un frente de ondas cónico (la envolvente de las ondas) que se propaga con la misma rapidez que las ondas en dirección perpendicular a su superficie y cuyo ángulo de apertura $\alpha$ está dado, como se observa en la imagen por

\[ \sin\alpha=\dfrac{tv_{p}}{tv_{f}} \]

entonces

\begin{equation} \label{Eq14} \alpha=\arcsin\left(\dfrac{v_{p}}{v_{f}}\right) \end{equation}

En este caso, un observador que se encuentre cerca de la trayectoria de la fuente percibirá la envolvente de las ondas, lo que en el caso de las ondas sonoras se traduce en un estruendo repentino. Es posible una configuración intermedia en la que la fuente avanza a la misma velocidad que las ondas, es entonces que se crea una especie de barrera con la suma de los frentes de onda que avanza junto a la fuente, es esta la barrera que se rompe con un fuerte estallido al sobrepasar la velocidad del sonido.

Barrera del sonido.

Tavo San (discusión) 23:03 2 jun 2021 (CDT)


Ejemplo - Problema 8-12. Capítulo 8. French

En el texto [4]. se desarrolla la teoría del efecto Doppler para una fuente o foco móvil, con un observador distante en una dirección $ \theta$ respecto al movimiento del foco. Se demuestra que la frecuencia recibida viene dada por:

\begin{equation} \nu (\theta) = \frac{\nu_{0}}{1- \frac{u \cos \theta}{v}} \label{Eq15} \end{equation}

(a) Demostrar que si el foco esta en reposo y el observador tiene una velocidad $-u$, de modo que la velocidad relativa del foco y del observador es la misma que antes, la frecuencia detectada por el observador viene dada por:

\begin{equation} \nu' (\theta) = \nu_{0} \left(1+\frac{u \cos \theta}{v}\right) \label{Eq16} \end{equation}


Sabiendo que la fuente esta en reposo y que el observador se mueve con velocidad $-u$ en una dirección que forma un ángulo $\theta$ con la dirección de la distancia radial a la fuente, entonces la contribución de la velocidad del observador en dirección a la fuente estará determinada por:

\[ v_o (\theta)= -u \cos (\theta) \]

debido a que el enunciado indica que la fuente se acerca al observador según la ecuación \ref{Eq15} y se pide que la velocidad relativa sea la misma, entonces en este caso el observador se acerca a la fuente, por lo que es posible utilizar la ecuación \ref{Eq7} sustituyendo de esta $v_{o}\cos{\phi}$ por la contribución de la velocidad del observador en dirección a la fuente, tomando en cuenta que el signo menos refiere a la dirección del movimiento en un sistema de referencia que no será utilizado por resultar innecesario para el ejercicio debido a las consideraciones previamente expuestas que caracterizan en su totalidad el movimiento relativo de fuente y observador, entonces

\begin{equation} \nu' (\theta)= \nu_{0} \left(\dfrac{v + u\cos\theta}{v}\right) \label{Eq17} \end{equation}

Simplificando se obtiene la expresión:

\[ \nu' (\theta)= \nu_{0} \left(1 + \dfrac{u\cos\theta}{v}\right) \]

Que es la enunciada en la ecuación \ref{Eq16}. Queda entonces demostrado.


(b) Hallar la diferencia aproximada entre $\nu$ y $\nu'$. Es un tema de gran importancia física el que en las ondas de la luz en el vacío no existe dicha diferencia en contraste con las ondas sonoras en el aire; solo aparece en el resultado de la velocidad relativa de la fuente y el observador. Esta es una de las características reseñadas en la teoría especial de la relatividad de Einstein, de acuerdo con la cual no existe ningún medio identificable respecto al cual la velocidad de la luz tenga cierta velocidad característica.


Simplificando la ecuación \ref{Eq15}

\[ \nu(\theta)= \nu_{0} \left(\dfrac{v}{v-u\cos\theta}\right) \]

Y partiendo de $\nu'$ enunciada en la ecuación \ref{Eq17}, la diferencia entre $\nu$ y $\nu'$ será

\[ \nu-\nu'=\nu_{0} \left(\dfrac{v}{v-u\cos\theta}\right)-\nu_{0} \left(\dfrac{v + u\cos\theta}{v}\right) \]

factorizando $\nu_{0}$ y restando las fracciones

\[ \nu-\nu'=\nu_{0}\left(\dfrac{v^{2}-\left(v+u\cos\theta\right)\left(v-u\cos\theta\right)}{v\left(v-u\cos\theta\right)}\right) \]

Realizando las operaciones en el numerador y factorizando $v^{2}$ en el denominador

\[ \nu-\nu'=\dfrac{\nu_{0}\left(u\cos\theta\right)^{2}}{v^{2}\left(1-\dfrac{u}{v}\cos\theta\right)} \] Ordenando los factores de acuerdo con su potencia se obtiene la siguiente expresión

\[ \nu-\nu'=\dfrac{\nu_{0}}{1-\dfrac{u}{v}\cos\theta}\left(\dfrac{u}{v}\cos\theta\right)^2 \]

donde es fácil notar que cuando la velocidad de propagación es mucho mayor que la velocidad del observador o de la fuente ($v>>u$) como suele ocurrir en el caso de ondas electromagnéticas es posible aproximar $\dfrac{u}{v}\cos\theta\approx0$ obteniendo

\[ \nu-\nu'\approx\dfrac{\nu_{0}}{1-0}\left(0\right)\approx0 \]

de tal modo que es posible concluir que no existe diferencia entre las frecuencias recibidas por el observador si es este o la fuente quien se mueve cuando la velocidad relativa es igual.

Fernando M (discusión) 10:55 10 nov 2020 (CST) Carlosmiranda (discusión) 17:03 22 nov 2020 (CST) Tavo San (discusión) 20:49 10 jun 2021 (CDT)

Aplicaciones

Radar.[5]

Una de las aplicaciones más comunes del efecto doppler es la medición de velocidades, para lo que es necesario utilizar el principio de funcionamiento de un radar.

"El término radar fue acuñado por un oficial estadounidense en 1943 como acrónimo de RAdio Detection And Ranging. Entonces, la capacidad del radar para detectar la presencia de un objetivo y determinar el alcance de ese objetivo está incrustada en su propio nombre".[6]

Este dispositivo utiliza un pulso de radiofrecuencia, cronometrando la diferencia entre la emisión del pulso y la recepción del mismo, valiéndose de que la velocidad de propagación de esta radiofrecuencia es conocida (c) para determinar el "alcance", es decir, la distancia radial entre el emisor y el objetivo.

En un principio, para aproximar la rapidez y dirección de un objetivo se utilizaba una sucesión de puntos de detección obtenidos mediante varios escaneos. Es entonces que ante la necesidad de conocer la velocidad de un objetivo con mayor rapidez comienza a utilizarse la medición del desplazamiento Doppler, es decir, la diferencia de frecuencia entre una señal transmitida y una señal recibida cuando el transmisor y el receptor se mueven entre sí.

Un radar Doppler de pulso es el resultado de combinar la detección del desplazamiento Doppler con el funcionamiento de un radar de pulso, debido al funcionamiento de este último, se habla de un efecto Doppler bidireccional, pues considerando un radar fijo y un objetivo móvil existe primero un desplazamiento Doppler entre la antena o fuente y el objetivo u observador en la ruta de salida; después existe un nuevo desplazamiento Doppler entre el objetivo que al rebotar la señal funge como fuente de eco y el receptor u observador en la posición de la antena original en la ruta de retorno.

Este tipo de radares ofrecen mediciones directas del rango objetivo y de la velocidad. La medición de un retardo de tiempo equivale al alcance o rango objetivo, mientras que la medición de un desplazamiento de frecuencia equivale a la velocidad.

Esta es una forma muy común de utilizar el efecto Doppler. A continuación se muestra un ejemplo de este tipo de dispositivos que utiliza radiación electromagnética como los radares originales y uno que utiliza ondas sonoras.


Radar de velocidad

Radar de velocidad.

En la actualidad es común en las grandes urbes hablar de "lectores de velocidad vial", los cuales son utilizados con la finalidad de disuadir a los conductores de correr a gran velocidad por sus calles y carreteras. Se trata de dispositivos que miden la velocidad de los vehículos mediante un radar Doppler, aplicando los principios anteriormente mencionados.

Al acercarse el automóvil al radar, es detectado por un pulso de radiofrecuencia que impacta en el vehículo y vuelve al detector con la información requerida para el cálculo de la velocidad de este. A continuación se desarrolla el funcionamiento de dichos dispositivos.

Si ignoramos cualquier cambio en la fase al reflejarse en el vehículo, el cambio de fase de una señal emitida por el radar al regresar hasta el receptor está dado por

\begin{equation} \label{Eq18} \phi=2Rk \end{equation}

donde $R$ es el rango (distancia radial del radar al vehículo) y

\[ k=\dfrac{2\pi}{\lambda} \]

es el vector de onda[6]. Que R cambie linealmente con el tiempo sugiere una diferencia de velocidad entre el radar y el vehículo, lo que a su vez genera una tasa de cambio de fase que equivale a un cambio de frecuencia cuya magnitud y signo dependen de la magnitud y el signo de la velocidad del vehículo para un radar estático. A este cambio en la frecuencia se le conoce como frecuencia de desplazamiento Doppler.

Expandiendo el vector de onda y tomando la primera derivada de la fase con respecto al tiempo en la relación\ref{Eq18}, tenemos

\[ \dot{\phi}=2\dot{R}\dfrac{2\pi}{\lambda} \] entonces \[ \omega_{d}=2v_{r}\dfrac{2\pi}{\lambda} \]

donde $\omega_{d}$ es la frecuencia angular Doppler y $v_{r}$ es la velocidad relativa, es decir, la velocidad del vehículo respecto al radar. De la relación entre la frecuencia angular y la frecuencia y simplificando $2\pi$ obtenemos finalmente la frecuencia de desplazamiento Doppler percibida por el radar

\begin{equation} \label{Eq19} \nu_{d}=\dfrac{2v_{r}}{\lambda} \end{equation}

Otra forma de hallar la frecuencia de desplazamiento Doppler \ref{Eq19} es mediante un radar de pulsos sucesivos, donde el pulso A llega al vehiculo cuando este se halla en la posición A' y el pulso posterior B llega al vehículo cuando se halla en la posición B', tal que la distancia entre A' y B' sea d. Si el intervalo de llegada al vehículo entre ambos pulsos es $T_{r}$, entonces

\[ v_{r}=\dfrac{d}{T_{r}}=d\nu_{r} \]

y de acuerdo con \ref{Eq18} al expandir el vector de onda la diferencia entre las fases de los pulsos será

\[ \Delta\phi=2d\dfrac{2\pi}{\lambda} \]

Entonces, como la frecuencia angular Doppler es igual a la tasa de cambio de la fase y esta es igual a la diferencia de fase entre el lapso, tenemos

\[ \omega_{d}=\dfrac{\Delta\phi}{T_{r}}=\Delta\phi \nu_{r}=\dfrac{2\pi2d \nu_{r}}{\lambda} \]

por lo que simplificando $2\pi$ a ambos lados obtenemos la ecuación \ref{Eq19} correspondiente a la frecuencia de desplazamiento Doppler.

De la relación entre la velocidad y la longitud de una onda, para la frecuencia emitida por el radar $\nu_{t}$

\[ \nu_{t}=\dfrac{c}{\lambda} \Rightarrow \lambda=\dfrac{c}{\nu_{t}} \]

Entonces, sustituyendo $\lambda$ en \ref{Eq19} obtenemos

\[ f_{d}=\dfrac{2v_{r} \nu_{t}}{c} \]

esto nos indica que la frecuencia de la onda emitida determina que tan grande es el desplazamiento Doppler para una velocidad dada, por lo que utilizar una frecuencia de emisión más alta aumenta la sensibilidad del desplazamiento Doppler debido a la velocidad del vehículo. Finalmente, el desplazamiento Doppler proporcional está dado por

\[ \dfrac{\nu_{d}}{\nu_{t}}=\dfrac{2v_{r}}{c} \]

y esto nos muestra que el desplazamiento proporcional no es dependiente de la frecuencia de la onda emitida[6].

Tavo San (discusión) 13:28 8 jun 2021 (CDT)

Ecografía Doppler

Las ondas sonoras son perturbaciones longitudinales, es decir, el medio oscila en la dirección de la perturbación y estas oscilaciones, que viajan por un medio material, se deben a un movimiento colectivo ordenado en el que todos los átomos de un pequeño volumen experimentan esencialmente el mismo desplazamiento oscilante entre una zona de compresión y una de rarefacción por lo que se considera al sonido como una onda de presión, cuya ecuación viene dada por

\[ \dfrac{\partial^2 P}{\partial z^2}=\dfrac{1}{v_{p}^2}\dfrac{\partial^2 P}{\partial t^2} \] donde $v_{p}$ es la velocidad de propagación de la fase, $P$ la presión, $t$ el tiempo y $z$ la dirección de propagación de la perturbación[7] El sonido se clasifica según su frecuencia en infrasonido si su frecuencia es menor a $20Hz$, sonido audible para el ser humano con frecuencias entre $20Hz$ y $20kHz$ y ultrasonido si su frecuencia es mayor a $20kHz$.

En la actualidad se utilizan ondas de entre $2Hz$ y $60MHz$ en imagenología médica. El ultrasonido Doppler de uso médico es uno de estos métodos empleados en imagenología en el que se utilizan el efecto Doppler y el principio del radar con ondas ultrasónicas producidas mediante la técnica del eco pulsado, pulsando eléctricamente un cristal para emitir un haz ultrasónico de frecuencias entre $1$ y $10MHz$. Esto es posible mediante el uso de un transductor que es un dispositivo capaz de convertir una señal de energía de entrada, en otra diferente de salida (con valores muy pequeños en términos relativos con respecto a un generador). La energía ultrasónica se genera en el transductor, que contiene cristales piezoeléctricos (cristales que pueden ser polarizados electricamente generando una diferencia de potencial debida a las cargas en su superficie cuando son sometidos a tensiones mecánicas. También se deforman bajo la acción de fuerzas internas al ser sometidos a un campo eléctrico y al dejar de someter los cristales a este, comúnmente, recuperan su forma, sirven para generar frecuencias de oscilación estables [8]), transforman la energía eléctrica en sonido y viceversa, siendo el transductor el emisor y receptor de ultrasonidos. "La circonita de titanio de plomo es la cerámica usada como cristal piezoeléctrico y que constituye el alma del transductor"[9], también pueden usarse otros cristales piezoeléctricos como el cuarzo $\left(SiO_{2}\right)$ o el titanato de bario $\left(BaTiO_{3}\right)$[8]

Dado que las ondas se propagan por un medio, es muy importante conocer al mismo ya que de éste dependerán tanto la velocidad de propagación del ultrasonido como el alcance del escaneo. La velocidad de propagación dependerá de la densidad, rigidez y capacidad de compresión del medio. El cuerpo humano es en su mayoría un medio acuoso con densidad, rigidez y capacidad de compresión similares a las del agua, es por esto que la velocidad media de propagación del sonido en los tejidos blandos es de $v_{p}=1540\dfrac{m}{s}$ muy similar a la velocidad de propagación en el agua dulce que es de $v_{p}=1500\dfrac{m}{s}$ (aunque puede variar dependiendo de la presión, temperatura y salinidad) que viene dada por la ecuación

\[ v_{p}=\sqrt{\dfrac{k}{\rho_{a}}} \]

donde $k=2.25\times10^{9}Pa$ la constante de compresibilidad del agua y $\rho_{a}=1000\dfrac{kg}{m^{3}}$ es la densidad del agua.

Es esta velocidad media de propagación del sonido en los tejidos blandos la que, como en el electromagnetismo, determinará la longitud de la onda dada una frecuencia según la conocida relación $v=\lambda\nu$, por lo que es posible utilizar diferentes frecuencias de acuerdo a las necesidades del escaneo, es lógico entonces pensar que si se desea mucha precisión, lo mejor es aumentar la frecuencia del ultrasonido y de esta forma reducir la longitud de onda, sin embargo hay aún algunas consideraciones que tomar en cuenta, como la impedancia, el campo acústico o la disipación de la energía en el medio, las cuales son de suma importancia para calcular la frecuencia que se debe utilizar, dependiendo de la zona que se desea conocer y la precisión mínima requerida por el análisis.

"La impedancia mecánica de un sistema físico sometido a fuerzas impulsoras se define como el cociente entre la fuerza impulsora y la velocidad del desplazamiento asociado"[4] por lo que en el caso de la impedancia acústica se define como \begin{equation} \label{Eq20} Z=\dfrac{P}{v_{p}} \end{equation} donde $P$ es la presión y $v_{p}$ la velocidad de propagación. Esta cantidad es además directamente proporcional a la densidad del medio y la constante de proporcionalidad es la velocidad de propagación de la onda de tal modo que la impedancia acústica del medio es también

\[ Z=\rho v \]

y es una medida de la resistencia que presenta el medio al paso de la onda, por lo que hace posible el escaneo mediante la generación de ecos (reflexiones). El eco es la porción de la energía de la onda que regresa al impactar con la frontera (cambio de impedancia) llevando la información del cambio en la densidad que se reflejará en la imagen de la ecografía. Es por esto que la impedancia es imprescindible para el funcionamiento de los dispositivos de imagenología médica cuyo desempeño se funda en el principio del radar, sin embargo una impedancia demasiado grande resulta contraproducente pues no permite la transmisión del ultrasonido, incapacitando al dispositivo de obtener información más allá de esa interfase.

Las perturbaciones generadas en el transductor pueden ser dirigidas como un haz que se propaga axialmente desde el transductor, y el comportamiento de este es análogo al de un haz de radiación electromagnética atravesando medios con distinto indice de refracción, pues los fenómenos ocurridos con las ondas sonoras atravesando de un medio de impedancia $Z_{1}$ a un medio de impedancia $Z_{2}$ son análogos a los fenómenos ópticos de reflexión, refracción y transmisión, por lo que se cumplen la ley de reflexión \[ v_{i}\sin\theta_{i}=v_{i}\sin\theta_{r} \] y la ley de Snell (o de refracción) \[ \dfrac{\sin\theta_{i}}{v_{i}}=\dfrac{\sin\theta_{t}}{v_{t}} \] aunque la reflexión no es especular, es decir que existe dispersión debida a que esta se lleva a cabo en una interfase entre impedancias rugosa con respecto a la amplitud del haz[8].

El campo acústico es la región en la que se propagan las ondas ultrasónicas en el medio, es decir, la parte del cuerpo en que se enfoca el haz ultrasónico que emite el transductor y se divide en dos zonas; la primera, llamada de campo cercano es la más próxima al transductor y se extiende desde la salida del haz hasta el último máximo axial de intensidad de la onda, ubicado a una distancia $N$ que depende del transductor y del haz según la relación \[ N=\dfrac{r^{2}}{\lambda} \] donde $r$ es el radio del transductor y $\lambda$ la longitud de onda del haz, por lo que esta zona es mayor cuanto mayor sean la frecuencia del haz y el radio del transductor. A lo largo de esta zona, también conocida como zona de Fresnel, el comportamiento del haz es coherente y predecible.

La segunda zona es conocida como zona de campo lejano o de Fraunhofer, comienza justo donde termina la zona focal y en ella el haz diverge en un ángulo $\beta$ con respecto al eje axial que esta dado por \[ \sin_{\beta}=0.6 \lambda r \] volviendo esta zona inútil para escanear estructuras pequeñas.

Existe una región que se ubica en la zona de campo cercano y muy cerca de la zona de campo lejano que es también conocida como zona focal y es donde se obtiene la mayor resolución de escaneo, además de que es posible modificar esta zona utilizando la frecuencia adecuada para enfocar los objetos que desean ser estudiados, un lente sónico o enfocando un frente de onda mediante un transductos con muchos elementos piezoélectricos que actúen coordinadamente.

Finalmente, para poder determinar la frecuencia del ultrasonido utilizado es necesario tomar en cuenta que la intensidad de este disminuye exponencialmente mientras avanza por el medio de acuerdo con la expresión \[ I=I_{0}e^{-\alpha z} \] donde $z$ es la distancia recorrida por el haz y $\alpha$ el coeficiente de atenuación[8] donde el coeficiente de atenuación guarda una dependencia proporcional con la frecuencia, por lo que a frecuencias más altas el haz se disipa con mayor rapidez.

Referencias

  1. 1,0 1,1 Marcelo Alonso, Edward J. Finn, Física, Volumen 2: Campos y Ondas; 1ra Edicion; Ed. Addison-wesley Iberoamericana;1976
  2. Wikipedia; Christian Andreas Doppler; https://es.wikipedia.org/wiki/Christian_Andreas_Doppler
  3. 3,0 3,1 Dr. Alberto Barrón Vargas, Dra. Veronique Barois Boullard, Dra. Ana Cecilia Torres Vega, Dra. Susana Murillo Balderas, Dr. Miguel E. Stoopen, Christian Andreas Doppler (1803-1853), Anales de Radiología México 2003;2:101-105.
  4. 4,0 4,1 A.P.French, Vibraciones y Ondas; 1ra Edicion; Ed. Reverte,S.A.;1971
  5. <a href="https://www.freepik.es/vectores/tecnologia">Vector de Tecnología creado por macrovector - www.freepik.es</a>
  6. 6,0 6,1 6,2 Clive Alabaster, Pulse Doppler Radar. Principles, Technology, Aplications; Ed. SciTech Publishing, Edison, NJ; 2012; ISBN: 978-1-891121-98-2
  7. Leo L. Beranek; Acústica; Editorial Hispano Americana S. A. Versión castellana ~ por derechos exclusivos adquiridos a McGraw·Hill Book C. .~ Buenos Aires; 1969
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 MARTÍNEZ RODRÍGUEZ, JAIRO ALEJANDRO, VITOLA OYAGA, JAIME, SANDOVAL CANTOR, SUSANA DEL PILAR Fundamentos teórico-prácticos del ultrasonido. Tecnura [en linea]. 2007, 10(20), 4-18[fecha de Consulta 11 de Junio de 2021]. ISSN: 0123-921X. Disponible en: https://www.redalyc.org/articulo.oa?id=257021012001
  9. Angélica Vargas, Luis M Amescua-Guerra, Me. Araceli Bernal, Carlos Pineda, Principios físicos básicos del ultrasonido, sonoanatomía del sistema musculoesquelético y artefactos ecográficos; Acta Ortopédica Mexicana 2008; 22(6): Nov.-Dic: 361-373; recuperado de Medigraphic Artemisa en linea