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| Línea 1: |
Línea 1: |
| == se resuelve ejercicio de tarea, curso de vibraciones y ondas .tres osciladores acoplados ==
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| se propone una solución de la forma:
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| \begin{equation}
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| x=A_i\cos(\omega t)\\\\
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| \end{equation}
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| por lo tanto aplicando segunda derivada:
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| \begin{equation}
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| \ddot{x}=-A_i\omega^2\cos (\omega t)
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| \end{equation}
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| \ Cada $ \ x_{i} $ deben tener la misma frecuencia y para ello se necesita que entre las amplitudes haya una relación simple.
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| Así tenemos el siguiente sistema (dividiendo entre m y donde $\omega^2=k/m $ y simplificando):
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| \begin{equation}
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| \ddot{x}_{1}=-2\dfrac{k}{m}x_1+\dfrac{k}{m}x_2+0\\
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| \ddot{x}_{2}=-\dfrac{k}{m}x_1-2\dfrac{k}{m}x_2+\dfrac{k}{m}x_3
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| \ddot{x}_{3}=0+\dfrac{k}{m}x_2-2\dfrac{k}{m}x_3
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| \end{equation}
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| es decir
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| \begin{equation}
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| -A_1\omega^2cos(\omega t)=-2\dfrac{k}{m}A_1cos(\omega t)+ \dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t)
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| -A_2\omega^2cos(\omega t)=\dfrac{k}{m}A_1cos(\omega t)-2 \dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t)+\dfrac{k}{m}A_3cos(\omega t)
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| -A_3\omega^2cos(\omega t)=\dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t)+2 \dfrac{k}{m}A_3cos(\omega t)
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| \end{equation}
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| simplificando
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| \begin{equation}
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| -A_1\omega^2=-2\dfrac{k}{m}A_1+ \dfrac{k}{m}A_2
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| -A_2\omega^2=\dfrac{k}{m}A_1-2 \dfrac{k}{m}A_2+\dfrac{k}{m}A_3
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| -A_3\omega^2=\dfrac{k}{m}A_2+2 \dfrac{k}{m}A_3
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| \end{equation}
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| Reescribiendo
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| \begin{equation}
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| \-A_1 (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)+ \dfrac{k}{m}A_2=0
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| \dfrac{k}{m}A_1-A_2(2 \dfrac{k}{m}-\omega^2)+\dfrac{k}{m}A_3=0
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| \dfrac{k}{m}A_2-(2 \dfrac{k}{m}-\omega^2)A_3=0
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| \end{equation}
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| escribiendo este sistema en forma matricial:
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| \begin{bmatrix}
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| -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m} & 0\\
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| \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m}\\
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| 0 & \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)
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| \end{bmatrix}
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| \begin{bmatrix}
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| A_1\\\
| |
| \\
| |
| A_2\\\
| |
| \\
| |
| A_3
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| \end{bmatrix}
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| =
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| \begin{bmatrix}
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| 0\\
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| \\
| |
| 0\\
| |
| \\
| |
| 0
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| \end{bmatrix}
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| No interesa la solucion trivial $ A_1=0 $ , $ A_2=0 $ , $ A_3=0 $ entonces hay que buscar una $ \omega $ que de una solucion no trivial, para ello: Det A=\\
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| \begin{vmatrix}
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| -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m} & 0\
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| \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m}\\
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| 0 & \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)
| |
| \end{vmatrix}
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| =
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| 0
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| Efectuando el determinante:\
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| \begin{equation}
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| (-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2))^3+0+0-[(\dfrac{k}{m})^2((2\dfrac{k}{m}-\omega^2)-(\dfrac{k}{m})^2((2\dfrac{k}{m}-\omega^2)]=0
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| (-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2))^3+(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)=0
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| \end{equation}
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| Factorizando:
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| \begin{equation}
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| (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)[-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)^2+2(\dfrac{k}{m})^2]=0
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| \end{equation}
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| por lo tanto:
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| \begin{equation}
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| (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)=0
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| \end{equation}
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| o sea:
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| \begin{equation}
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| \omega^2=2\dfrac{k}{m}
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| \end{equation}
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| y también:
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| \begin{equation}
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| [-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)^2+2(\dfrac{k}{m})^2]=0
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| \end{equation}
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| despejando $\omega^2$ de ecuación (22):
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| \begin{equation}
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| \omega^2=2\dfrac{k}{m}\pm\sqrt{2}\dfrac{k}{m}
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| \end{equation}
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| Para cada una de las $ \omega $, en cada modo de vibración normal, las $ A_i $ deben tener cierta relación entre ellas:
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| MODO 1
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| $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$, la frecuencia mas baja, sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuación (12),efectuando operaciones y simplificando se llega a:
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| \begin{equation}
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| A_2=\sqrt{2}A_1
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| \end{equation}
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| Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuación (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a:
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| \begin{equation}
| |
| A_3=A_1
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| \end{equation}
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| MODO 2
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| $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}$, la frecuencia intermedia,sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuación (12), efectuando operaciones y simplificando se llega a:
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| \begin{equation}
| |
| A_2=0
| |
| \end{equation}
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| Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuación (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a:
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| \begin{equation}
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| A_1=-A_3
| |
| \end{equation}
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| MODO 3
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| $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$, la frecuencia mas alta, sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuacion (12),efectuando operaciones y simplificando se llega a:
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| \begin{equation}
| |
| A_2=-\sqrt{2}A_1
| |
| \end{equation}
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| Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuacion (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a:
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| \begin{equation}
| |
| A_1=A_3
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| \end{equation}
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| En general, el movimiento que cada masa adopta es la resultante de la suma de vibrar bajo los tres modos normales con las tres frecuencias: la baja $(\omega_1)$,la intermedia $(\omega_2)$ y la alta $(\omega_3)$, por lo tanto el movimiento del sistema de los tres osciladores acoplados es descrito por las siguientes ecuaciones:
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| \begin{equation}
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| X_1=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| X_2=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| \begin{equation}
| |
| X_3=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| y tambien debe recordarse que en los modos normales de vibracion se deben cumplir las relaciones entre $ A_1$,$A_2$,$A_3$; sustituyendo estas relaciones, ya calculadas, en las ecuaciones (30) (31) y (32), efectuando operaciones,simplificando se llega a :
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| \begin{equation}
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| X_1=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| X_2=\sqrt{2}A_1\cos \omega_1 t + 0 -\sqrt{2} A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| X_3=A_1\cos \omega_1 t - A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t
| |
| \end{equation}
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| $A_1$,$A_2$,$A_3$ se obtienen a partir de condiciones iniciales en $t=0$ y conociendo $X_2inicial$,$X_3inicial$,$X_1inicial$ se resuelve simultaneamente el sistema:
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| Segun los datos del enunciado:
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| $X_1inicial=-0.05$,$X_2inicial=-.010$,$X_3inicial=-0.05$, sustituyendo estos datos en ecs. (33),(34) y (35) se obtiene:
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| \begin{equation}
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| A_1+ A_2 + A_3=-0.05
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| \sqrt{2}A_1 + 0 -\sqrt{2} A_3=-0.010
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| A_1 - A_2\ + A_3=-0.05
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| \end{equation}
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| Resolviendo simultaneamente (36) (37) y (38) se obtienen los valores:
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| $A_1=-0.061$, $A_2=0$, $ A_3=-0.0107$.
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| Pero si $k=10$, y $m=5$, sustituyendo estos datos en la expresion para $\omega_1$:
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| $ \omega_1^2=2\dfrac{10}{5}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$
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| $\omega_1=1.09$
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| similarmente para $\omega_2$:
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| $ \omega_2^2=2\dfrac{10}{5}$
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| $\omega_2=1.98$
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| similarmente para $\omega_3$:
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| $ $
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| $ \omega_3^2=2\dfrac{10}{5}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$
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| $\omega_3=2.6$
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| Entonces las ecuaciones del sistema son:
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| \begin{equation}
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| X_1=-0.061\cos 1.09 t + 0 -0.0107\cos 2.6 t
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| X_2=-0.061\sqrt{2}\cos 1.09 t + 0 -0.0107\sqrt{2}\cos 2.6 t
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| \end{equation}
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| \begin{equation}
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| X_3=-0.061\cos 1.09 t + 0 -0.0107\cos 2.6 t
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| \end{equation}
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| y para cuando esta activo solamente cada modo normal:
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| MODO 1:
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| $\omega_1=1.09$,$A_2=\sqrt{2}A_1$,$A_3=A_1$
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| $x_1=-.061\cos 1.09 t$
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| $x_2=.0854\cos 1.09 t$
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| $x_3=-.061\cos 1.09 t$
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| MODO 2:
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| $\omega_2=1.98$,$A_2=0$,$A_1=-A_3$
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| $x_1=-.061\cos 1.98 t$
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| $x_2=0$
| |
| $x_3=.061\cos 1.98 t$
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| MODO 3
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| $\omega_3=2.6$,$A_2=-\sqrt{2}A_1$,$A_3=A_1$
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| $x_1=-.061\cos 2.6 t$
| |
| $x_2=.0854\cos 2.6 t$
| |
| $x_3=-.061\cos 2.6 t$
| |
| \end{document}
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