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se resuelve ejercicio de tarea, curso de vibraciones y ondas .tres osciladores acoplados

se propone una solución de la forma: \begin{equation} x=A_i\cos(\omega t)\\\\ \end{equation} por lo tanto aplicando segunda derivada: \begin{equation} \ddot{x}=-A_i\omega^2\cos (\omega t) \end{equation} \ Cada $ \ x_{i} $ deben tener la misma frecuencia y para ello se necesita que entre las amplitudes haya una relación simple. Así tenemos el siguiente sistema (dividiendo entre m y donde $\omega^2=k/m $ y simplificando): \begin{equation} \ddot{x}_{1}=-2\dfrac{k}{m}x_1+\dfrac{k}{m}x_2+0\\ \end{equation} \begin{equation} \ddot{x}_{2}=-\dfrac{k}{m}x_1-2\dfrac{k}{m}x_2+\dfrac{k}{m}x_3 \end{equation} \begin{equation} \ddot{x}_{3}=0+\dfrac{k}{m}x_2-2\dfrac{k}{m}x_3 \end{equation} es decir \begin{equation} -A_1\omega^2cos(\omega t)=-2\dfrac{k}{m}A_1cos(\omega t)+ \dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t) \end{equation} \begin{equation} -A_2\omega^2cos(\omega t)=\dfrac{k}{m}A_1cos(\omega t)-2 \dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t)+\dfrac{k}{m}A_3cos(\omega t) \end{equation} \begin{equation} -A_3\omega^2cos(\omega t)=\dfrac{k}{m}A_2cos(\omega t)+2 \dfrac{k}{m}A_3cos(\omega t) \end{equation} simplificando \begin{equation} -A_1\omega^2=-2\dfrac{k}{m}A_1+ \dfrac{k}{m}A_2 \end{equation} \begin{equation} -A_2\omega^2=\dfrac{k}{m}A_1-2 \dfrac{k}{m}A_2+\dfrac{k}{m}A_3 \end{equation} \begin{equation} -A_3\omega^2=\dfrac{k}{m}A_2+2 \dfrac{k}{m}A_3 \end{equation} Reescribiendo \begin{equation} \-A_1 (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)+ \dfrac{k}{m}A_2=0 \end{equation} \begin{equation} \dfrac{k}{m}A_1-A_2(2 \dfrac{k}{m}-\omega^2)+\dfrac{k}{m}A_3=0 \end{equation} \begin{equation} \dfrac{k}{m}A_2-(2 \dfrac{k}{m}-\omega^2)A_3=0 \end{equation} escribiendo este sistema en forma matricial: \begin{bmatrix} -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m} & 0\\ \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m}\\ 0 & \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1\\\ \\ A_2\\\ \\ A_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ \\ 0\\ \\ 0 \end{bmatrix}

No interesa la solucion trivial $ A_1=0 $ , $ A_2=0 $ , $ A_3=0 $ entonces hay que buscar una $ \omega $ que de una solucion no trivial, para ello: Det A=\\ \begin{vmatrix} -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m} & 0\ \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) & \dfrac{k}{m}\\ 0 & \dfrac{k}{m} & -(2\dfrac{k}{m}-\omega^2) \end{vmatrix} = 0 Efectuando el determinante:\ \begin{equation} (-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2))^3+0+0-[(\dfrac{k}{m})^2((2\dfrac{k}{m}-\omega^2)-(\dfrac{k}{m})^2((2\dfrac{k}{m}-\omega^2)]=0 \end{equation} \begin{equation} (-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2))^3+(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)=0 \end{equation} Factorizando: \begin{equation} (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)[-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)^2+2(\dfrac{k}{m})^2]=0 \end{equation} por lo tanto: \begin{equation} (2\dfrac{k}{m}-\omega^2)=0 \end{equation} o sea: \begin{equation} \omega^2=2\dfrac{k}{m} \end{equation} y también: \begin{equation} [-(2\dfrac{k}{m}-\omega^2)^2+2(\dfrac{k}{m})^2]=0 \end{equation} despejando $\omega^2$ de ecuación (22): \begin{equation} \omega^2=2\dfrac{k}{m}\pm\sqrt{2}\dfrac{k}{m} \end{equation} Para cada una de las $ \omega $, en cada modo de vibración normal, las $ A_i $ deben tener cierta relación entre ellas: MODO 1 $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$, la frecuencia mas baja, sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuación (12),efectuando operaciones y simplificando se llega a: \begin{equation} A_2=\sqrt{2}A_1 \end{equation} Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuación (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a: \begin{equation} A_3=A_1 \end{equation} MODO 2 $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}$, la frecuencia intermedia,sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuación (12), efectuando operaciones y simplificando se llega a: \begin{equation} A_2=0 \end{equation} Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuación (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a: \begin{equation} A_1=-A_3 \end{equation} MODO 3 $ \omega_1^2=2\dfrac{k}{m}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$, la frecuencia mas alta, sustituyendo este valor de la frecuencia en la ecuacion (12),efectuando operaciones y simplificando se llega a: \begin{equation} A_2=-\sqrt{2}A_1 \end{equation} Luego sustituyendo este valor de $A_2$ en la ecuacion (13),efectuando operaciones y simplificando , se llega a: \begin{equation} A_1=A_3 \end{equation} En general, el movimiento que cada masa adopta es la resultante de la suma de vibrar bajo los tres modos normales con las tres frecuencias: la baja $(\omega_1)$,la intermedia $(\omega_2)$ y la alta $(\omega_3)$, por lo tanto el movimiento del sistema de los tres osciladores acoplados es descrito por las siguientes ecuaciones: \begin{equation} X_1=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t \end{equation} \begin{equation} X_2=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t \end{equation} \begin{equation} X_3=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t \end{equation} y tambien debe recordarse que en los modos normales de vibracion se deben cumplir las relaciones entre $ A_1$,$A_2$,$A_3$; sustituyendo estas relaciones, ya calculadas, en las ecuaciones (30) (31) y (32), efectuando operaciones,simplificando se llega a : \begin{equation} X_1=A_1\cos \omega_1 t + A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t \end{equation} \begin{equation} X_2=\sqrt{2}A_1\cos \omega_1 t + 0 -\sqrt{2} A_3\cos \omega_3 t \end{equation} \begin{equation} X_3=A_1\cos \omega_1 t - A_2\cos \omega_2 t + A_3\cos \omega_3 t \end{equation} $A_1$,$A_2$,$A_3$ se obtienen a partir de condiciones iniciales en $t=0$ y conociendo $X_2inicial$,$X_3inicial$,$X_1inicial$ se resuelve simultaneamente el sistema: Segun los datos del enunciado: $X_1inicial=-0.05$,$X_2inicial=-.010$,$X_3inicial=-0.05$, sustituyendo estos datos en ecs. (33),(34) y (35) se obtiene: \begin{equation} A_1+ A_2 + A_3=-0.05 \end{equation} \begin{equation} \sqrt{2}A_1 + 0 -\sqrt{2} A_3=-0.010 \end{equation} \begin{equation} A_1 - A_2\ + A_3=-0.05 \end{equation} Resolviendo simultaneamente (36) (37) y (38) se obtienen los valores: $A_1=-0.061$, $A_2=0$, $ A_3=-0.0107$. Pero si $k=10$, y $m=5$, sustituyendo estos datos en la expresion para $\omega_1$: $ \omega_1^2=2\dfrac{10}{5}(1-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $\omega_1=1.09$ similarmente para $\omega_2$: $ \omega_2^2=2\dfrac{10}{5}$ $\omega_2=1.98$ similarmente para $\omega_3$: $ $ $ \omega_3^2=2\dfrac{10}{5}(1+\frac{\sqrt{2}}{2})$ $\omega_3=2.6$ Entonces las ecuaciones del sistema son: \begin{equation} X_1=-0.061\cos 1.09 t + 0 -0.0107\cos 2.6 t \end{equation} \begin{equation} X_2=-0.061\sqrt{2}\cos 1.09 t + 0 -0.0107\sqrt{2}\cos 2.6 t \end{equation} \begin{equation} X_3=-0.061\cos 1.09 t + 0 -0.0107\cos 2.6 t \end{equation} y para cuando esta activo solamente cada modo normal: MODO 1: $\omega_1=1.09$,$A_2=\sqrt{2}A_1$,$A_3=A_1$ $x_1=-.061\cos 1.09 t$ $x_2=.0854\cos 1.09 t$ $x_3=-.061\cos 1.09 t$ MODO 2: $\omega_2=1.98$,$A_2=0$,$A_1=-A_3$ $x_1=-.061\cos 1.98 t$ $x_2=0$ $x_3=.061\cos 1.98 t$ MODO 3 $\omega_3=2.6$,$A_2=-\sqrt{2}A_1$,$A_3=A_1$ $x_1=-.061\cos 2.6 t$ $x_2=.0854\cos 2.6 t$ $x_3=-.061\cos 2.6 t$ \end{document}