Discusión:Ondas: Atenuacion suave

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Rojas Calderón Rafael Alejandro--Kanon1106 20:13 23 mar 2009 (CDT)

En el libro de Iain G. Main que se encuentra en la bibliografía del artículo la ecuación de onda con atenuación está en términos de la primera derivada parcial respecto al tiempo t, esto es:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Sin embargo se da una solución de la forma:

$\psi =\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}$

Es decir, que la amplitud de la onda decrece en función de la distancia z. Debido a esto mismo esta ecuación sólo es solución de la ecuación de onda si ésta se encuentra en términos de la primera derivada parcial respecto a z. Entonces la ecuación de onda que debemos utilizar para ejemplificar la atenuación se expresa así:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Que sigue siendo una ecuación de onda gracias a la equivalencia de espacio-tiempo.--Kanon1106 23:14 4 abr 2009 (CDT)

Me parecieron muy buenas las correcciones que hiciste al artículo, la tabla donde especificas los tres casos de atenuación sirve de mucho y la explicación que aquí está de la dependencia en z (o t) en la primera derivada de la perturbación me parece convincente.

--Belen 00:32 5 abr 2009 (CDT)

Rafael,

Que sucede o a que relaciones llegas si introduces la solución aqui arriba propuesta en las dos ecuaciones diferenciales ya sea primera derivada en z o primera derivada en t?

--Mfg 11:33 5 abr 2009 (CDT)

Ahora estuve viendo tu página de nuevo, está quedando a todo dar!

En tu sección "atenuación de ondas viajeras", ec. (4) tienes una relación entre dos variables (frecuencia y magnitud del vector de onda con coeficientes complejos en la ecuación. Escoges un vector de onda complejo y frecuencia real. ¿Porqué no escojes $\omega$ complejo y $k$ real? ¿Qué pasaría en ese caso?

¿Qué pasaría si ambos $\omega$ y $k$ son complejos?

--Mfg 11:42 5 abr 2009 (CDT)

Resolvamos la ecuación diferencial con primera derivada parcial respecto a t:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Primero utilizando la forma trigonométrica de $\psi \,\!$:

$\psi =e^{-\kappa z}A\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Derivamos:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-A\omega e^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\kappa Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-K^{2}Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)+\kappa ^{2}Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)=\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

Sustituimos en la ecuación diferencial:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma A\omega e^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

La igualdad en la ecuación de onda se cumple si:

$\omega ^{2}=v^{2}\left(-\kappa ^{2}+K^{2}\right)\,\!$

$\Gamma \omega =2v^{2}\kappa K\,\!$

A la primera ecuación le restamos la segunda:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(-\kappa ^{2}+K^{2}\right)-2v^{2}\kappa K\,\!$

Entonces:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(-\kappa ^{2}-2\kappa K+K^{2}\right)\,\!$

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}\left(K-i\kappa \right)^{2}\,\!$

Con $k=K-i\kappa \,\!$:

$\omega ^{2}-\Gamma \omega =v^{2}k^{2}\,\!$

Que es la ecuación (4) con k un número complejo, que es la condición necesaria para que $\psi \,\!$ sea solución de la ecuación diferencial de onda.

Ahora tomemos la ecuación de onda con primera derivada respecto a z:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)$

Utilizando las derivadas obtenidas anteriormente, tenemos:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)=-A\omega ^{2}e^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)+\Gamma KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)-\Gamma \kappa Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+\kappa ^{2}\right)Ae^{-\kappa z}\cos \left(\omega t-Kz+\phi \right)-2v^{2}\kappa KAe^{-\kappa z}\sin \left(\omega t-Kz+\phi \right)\,\!$

En este caso, la igualdad en la ecuación de onda se satisface si:

$\omega ^{2}+\Gamma \kappa =v^{2}K^{2}-v^{2}\kappa ^{2}\,\!$

$\Gamma =-2v^{2}\kappa \,\!$

Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:

$\omega ^{2}-2v^{2}\kappa =v^{2}K^{2}-v^{2}\kappa ^{2}\,\!$

$\omega ^{2}=v^{2}\left(K^{2}+\kappa ^{2}\right)\,\!$

Ahora resolvamos la ecuación de onda en primera derivada respecto a t con:

$\psi =\exp \left(-\kappa z\right)Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Tenemos las siguientes derivadas parciales:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\omega e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=-iKe^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}-Ke^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-iK-K\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-K^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+2i\kappa Ke^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+\kappa ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-K^{2}+2i\kappa K+\kappa ^{2}\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

Sustituimos en la ecuación diferencial:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)=-\omega ^{2}e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}+\Gamma i\omega e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}=\left(-\omega ^{2}+\Gamma i\omega \right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

$v^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=v^{2}\left(-K^{2}+2i\kappa K+\kappa ^{2}\right)e^{-\kappa z}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega t-Kz\right)\right]\right\}\,\!$

La igualdad en la ecuación de onda se satisface con:

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}\left(K^{2}-2i\kappa K-\kappa ^{2}\right)\,\!$

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}\left(K-i\kappa \right)^{2}\,\!$

$\omega ^{2}-i\Gamma \omega =v^{2}k^{2}\,\!$

Y volvemos a llegar a la ecuación (4).

Utilizando la ecuación de onda en términos de primera derivada respecto a z, se llega al mismo resultado que se obtuvo utilizando la forma trigonométrica de $\psi \,\!$

Si en lugar de tomar a $k\,\!$ como un número complejo tomamos a $\omega \,\!$, de acuerdo a lo descrito anteriormente vamos a usar la ecuación de onda de la siguiente forma:

${\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\right)+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}$

Como $\omega \,\!$ es complejo, es de la forma:

$\omega =\omega _{1}+i\omega _{2}\,\!$

Así, $\psi \,\!$ es de la forma:

$\psi =e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Obtenemos las derivadas parciales:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\omega _{1}te^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}-\omega _{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}=\left(i\omega _{1}-\omega _{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial \psi }{\partial z}}=-ike^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Sustituimos en la ecuación diferencial:

${\frac {1}{v^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\right)+\Gamma \left({\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)={\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}-i\Gamma ke^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}=\left[{\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)-i\Gamma k\right]e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-k^{2}e^{-\omega _{2}t}Re\left\{D\exp \left[i\left(\omega _{1}t-kz\right)\right]\right\}\,\!$

Así, para que la igualdad en la ecuación diferencial se cumpla tenemos que:

${\frac {1}{v^{2}}}\left(-\omega _{1}^{2}+2i\omega _{1}\omega _{2}+\omega _{2}^{2}\right)-i\Gamma k=-k^{2}\,\!$

Reescribimos:

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\left(\omega _{1}^{2}-2i\omega _{1}\omega _{2}-\omega _{2}^{2}\right)\,\!$

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\left(\omega _{1}-i\omega _{2}\right)^{2}\,\!$

$k^{2}-i\Gamma k={\frac {1}{v^{2}}}\omega ^{2}\,\!$

Que es la forma análoga a la ecuación (4) para $\omega \,\!$ complejo. En este caso la amplitud de la onda decrece de forma exponencial con el tiempo.

--Kanon1106 22:24 5 abr 2009 (CDT)