Diferencia entre revisiones de «Discusión:Ondas: Atenuacion suave»
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| Línea 40: | Línea 40: | ||
<center><math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) </math></center> | <center><math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) </math></center> | ||
Primero utilizando la forma trigonométrica de <math>\psi</math>: | Primero utilizando la forma trigonométrica de <math>\psi\,\!</math>: | ||
<math>\psi = e^{\kappa z} A \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | <math>\psi = e^{\kappa z} A \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | ||
Derivamos: | Derivamos: | ||
<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = -A \omega e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = -A \omega e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | ||
<math>\frac{\partial \psi}{\partial | <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | ||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = -K^2 A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2\kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) + \kappa^2 A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )= \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2\kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | |||
<math>\frac{\partial \psi}{\partial z} = KA e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - \kappa A e^{-\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | |||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = -K^2 A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2\kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) + \kappa^2 A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )= \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2\kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | |||
Sustituimos en la ecuación diferencial: | Sustituimos en la ecuación diferencial: | ||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma A \omega e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma A \omega e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | ||
<math>v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) = v^2 \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2 v^2 \kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | |||
<math>v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) = v^2 \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2 v^2 \kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | |||
La igualdad en la ecuación de onda se cumple si: | La igualdad en la ecuación de onda se cumple si: | ||
<math>\omega^2 = v^2 \left ( - \kappa^2 + K^2 \right )</math> | <math>\omega^2 = v^2 \left ( - \kappa^2 + K^2 \right )\,\!</math> | ||
<math>\Gamma \omega = 2 v^2 \kappa K</math> | <math>\Gamma \omega = 2 v^2 \kappa K \,\!</math> | ||
A la primera ecuación le restamos la segunda: | A la primera ecuación le restamos la segunda: | ||
<math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( - \kappa^2 + K^2 \right ) - 2 v^2 \kappa K</math> | <math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( - \kappa^2 + K^2 \right ) - 2 v^2 \kappa K\,\!</math> | ||
Entonces: | Entonces: | ||
<math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( - \kappa^2 - 2 \kappa K + K^2 \right )</math> | <math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( - \kappa^2 - 2 \kappa K + K^2 \right )\,\!</math> | ||
<math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( K - i \kappa \right )^2</math> | <math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 \left ( K - i \kappa \right )^2\,\!</math> | ||
Con <math>k = K - i \kappa</math>: | Con <math>k = K - i \kappa\,\!</math>: | ||
<math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 k^2</math> | |||
<math>\omega^2 - \Gamma \omega = v^2 k^2\,\!</math> | |||
Que es la ecuación '''(4)''' con k un número complejo, que es la condición necesaria para que <math>\psi</math> sea solución de la ecuación diferencial de onda. | Que es la ecuación '''(4)''' con k un número complejo, que es la condición necesaria para que <math>\psi</math> sea solución de la ecuación diferencial de onda. | ||
| Línea 84: | Línea 91: | ||
Ahora tomemos la ecuación de onda con primera derivada respecto a z: | Ahora tomemos la ecuación de onda con primera derivada respecto a z: | ||
<center><math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right ) = v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) </math></center> | <center><math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right ) = v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) </math>\,\!</center> | ||
Utilizando las derivadas obtenidas anteriormente, tenemos: | Utilizando las derivadas obtenidas anteriormente, tenemos: | ||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) + \Gamma KA e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma \kappa A e^{-\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )</math> | <math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) + \Gamma KA e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma \kappa A e^{-\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | ||
<math>v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) = v^2 \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2 v^2 \kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!</math> | |||
En este caso, la igualdad en la ecuación de onda se satisface si: | En este caso, la igualdad en la ecuación de onda se satisface si: | ||
<math>\Gamma = -2 v^2 \kappa</math> | <math>\omega^2 + \Gamma \kappa = v^2 K^2 - v^2 \kappa^2\,\!</math> | ||
<math>\Gamma = -2 v^2 \kappa\,\!</math> | |||
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: | Sustituyendo la segunda ecuación en la primera: | ||
<math>\omega^2 -2 v^2 \kappa = v^2 K^2 - v^2 \kappa^2</math> | <math>\omega^2 -2 v^2 \kappa = v^2 K^2 - v^2 \kappa^2\,\!</math> | ||
<math>\omega^2 = v^2 \left ( K^2 + \kappa^2 \right )\,\!</math> | |||
Ahora resolvamos la ecuación de onda en primera derivada respecto a t con: | Ahora resolvamos la ecuación de onda en primera derivada respecto a t con: | ||
<math>\psi = \exp \left ( - \kappa z \right ) Re \left \{ D \exp \left [ i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ] \right \}</math> | <math>\psi = \exp \left ( - \kappa z \right ) Re \left \{ D \exp \left [ i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ] \right \}\,\!</math> | ||
Tenemos las siguientes derivadas parciales: | Tenemos las siguientes derivadas parciales: | ||
<math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}</math> | <math>\frac{\partial \psi}{\partial t} = i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | ||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\omega^2 e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | |||
<math>\frac{\partial | <math>\frac{\partial \psi}{\partial z} = -iKe^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} - Ke^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left (-iK - K \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | ||
<math>\frac{\partial^2}{\partial z^2} = -K^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + 2i\kappa K e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \kappa^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}</math> | <math>\frac{\partial^2}{\partial z^2} = -K^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + 2i\kappa K e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \kappa^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | ||
Sustituimos en la ecuación diferencial: | Sustituimos en la ecuación diferencial: | ||
<math>\frac{\partial^2 \psi}{t^2} + \Gamma \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\omega^2 e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \Gamma i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -\omega^2 + \Gamma i \omega \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}</math> | <math>\frac{\partial^2 \psi}{t^2} + \Gamma \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\omega^2 e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \Gamma i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -\omega^2 + \Gamma i \omega \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | ||
<math>v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = v^2 \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}</math> | |||
<math>v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = v^2 \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!</math> | |||
La igualdad en la ecuación de onda se satisface con: | La igualdad en la ecuación de onda se satisface con: | ||
<math>\omega^2 - i \Gamma \omega = v^2 \left ( K^2 -2i \kappa K - \kappa^2 \right )</math> | <math>\omega^2 - i \Gamma \omega = v^2 \left ( K^2 -2i \kappa K - \kappa^2 \right )\,\!</math> | ||
<math>\omega^2 - i \Gamma \omega = v^2 \left ( K - i \kappa \right )^2\,\!</math> | |||
<math>\omega^2 - i \Gamma \omega = v^2 k^2</math> | <math>\omega^2 - i \Gamma \omega = v^2 k^2\,\!</math> | ||
Y volvemos a llegar a la ecuación '''(4)'''. | Y volvemos a llegar a la ecuación '''(4)'''. | ||
Revisión del 21:10 5 abr 2009
Editado por:
Rojas Calderón Rafael Alejandro--Kanon1106 20:13 23 mar 2009 (CDT)
En el libro de Iain G. Main que se encuentra en la bibliografía del artículo la ecuación de onda con atenuación está en términos de la primera derivada parcial respecto al tiempo t, esto es:
Sin embargo se da una solución de la forma:
![\psi = \exp \left ( - \kappa z \right ) Re \left \{ D \exp \left [ i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ] \right \}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c9e6e51c8e58d0e87367d249b6e1ea31757b44c)
Es decir, que la amplitud de la onda decrece en función de la distancia z. Debido a esto mismo esta ecuación sólo es solución de la ecuación de onda si ésta se encuentra en términos de la primera derivada parcial respecto a z. Entonces la ecuación de onda que debemos utilizar para ejemplificar la atenuación se expresa así:
Que sigue siendo una ecuación de onda gracias a la equivalencia de espacio-tiempo.--Kanon1106 23:14 4 abr 2009 (CDT)
Me parecieron muy buenas las correcciones que hiciste al artículo, la tabla donde especificas los tres casos de atenuación sirve de mucho y la explicación que aquí está de la dependencia en z (o t) en la primera derivada de la perturbación me parece convincente.
--Belen 00:32 5 abr 2009 (CDT)
Rafael,
Que sucede o a que relaciones llegas si introduces la solución aqui arriba propuesta en las dos ecuaciones diferenciales ya sea primera derivada en z o primera derivada en t?
--Mfg 11:33 5 abr 2009 (CDT)
Ahora estuve viendo tu página de nuevo, está quedando a todo dar!
En tu sección "atenuación de ondas viajeras", ec. (4) tienes una relación entre dos variables (frecuencia y magnitud del vector de onda con coeficientes complejos en la ecuación. Escoges un vector de onda complejo y frecuencia real. ¿Porqué no escojes complejo y real? ¿Qué pasaría en ese caso?
¿Qué pasaría si ambos y son complejos?
--Mfg 11:42 5 abr 2009 (CDT)
Resolvamos la ecuación diferencial con primera derivada parcial respecto a t:
Primero utilizando la forma trigonométrica de :
Derivamos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial \psi}{\partial z} = KA e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - \kappa A e^{-\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!
Sustituimos en la ecuación diferencial:
Error al representar (Error de conversión. El servidor ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") informó: "Cannot get mml. upstream connect error or disconnect/reset before headers. reset reason: connection termination"): \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial t} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma A \omega e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!
La igualdad en la ecuación de onda se cumple si:
A la primera ecuación le restamos la segunda:
Entonces:
Con :
Que es la ecuación (4) con k un número complejo, que es la condición necesaria para que sea solución de la ecuación diferencial de onda.
Ahora tomemos la ecuación de onda con primera derivada respecto a z:
Utilizando las derivadas obtenidas anteriormente, tenemos:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \Gamma \left ( \frac{\partial \psi}{\partial z} \right ) = -A \omega^2 e^{-\kappa z} \cos \left (\omega t - K z + \phi \right ) + \Gamma KA e^{\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - \Gamma \kappa A e^{-\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): v^2 \left ( \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} \right ) = v^2 \left ( -K^2 + \kappa^2 \right ) A e^{\kappa z} \cos \left ( \omega t - K z + \phi \right ) - 2 v^2 \kappa K A e^{-\kappa z} \sin \left ( \omega t - K z + \phi \right )\,\!
En este caso, la igualdad en la ecuación de onda se satisface si:
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \omega^2 -2 v^2 \kappa = v^2 K^2 - v^2 \kappa^2\,\!
Ahora resolvamos la ecuación de onda en primera derivada respecto a t con:
![\psi = \exp \left ( - \kappa z \right ) Re \left \{ D \exp \left [ i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ] \right \}\,\!](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12ff8ad917425cfb5b0e4dfbc8e56f2c3c6600d6)
Tenemos las siguientes derivadas parciales:
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial \psi}{\partial t} = i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = -\omega^2 e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!
![\frac{\partial \psi}{\partial z} = -iKe^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} - Ke^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left (-iK - K \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904b206145304addff058ebbe1cb1cef9248ce6e)
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{\partial^2}{\partial z^2} = -K^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + 2i\kappa K e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \kappa^2e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!
Sustituimos en la ecuación diferencial:
![\frac{\partial^2 \psi}{t^2} + \Gamma \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\omega^2 e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} + \Gamma i\omega e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]} = \left ( -\omega^2 + \Gamma i \omega \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d499905f6c892bb05c9654dbb83249cfcad2a3e9)
![v^2 \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = v^2 \left ( -K^2 + 2i \kappa K + \kappa^2 \right ) e^{-\kappa z} Re { D \exp \left [i \left ( \omega t - Kz \right ) \right ]}\,\!](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddcf0c93c7d23b2e29f8858743845c37afb1ffe)
La igualdad en la ecuación de onda se satisface con:
Y volvemos a llegar a la ecuación (4).
