Discusión:Investigacion: RO18O

Introducción

Polarización y sencillez

hay varios tipos de sencillez que son familiares a los estudiantes de óptica. Por ejemplo, la sencillez respecto a la longitud de onda; un haz de luz blanca no es sencillo, pues incluye una gran variedad de longitudes de onda y un prisma puede dispersarlo, separándolo en un abanico de direcciones, cada una de las cuales corresponde a una sola longitud de onda. La sencillez puede ser aún mayor ; un haz puede subdividirse hasta que consista en una sola longitud de onda y una sola forma de polarización.

Fig. 1 Onda Electromagnética. El campo eléctrico (en rojo), del cual depende el fenómeno de la polarización, se mueve linealmente a lo largo del eje $Z$, y el campo magnético (azul) oscila a lo largo del eje $X$, ambos perpendiculares a la dirección de propagación (eje $Y$)

Una de las propiedades físicas de la luz es que puede ser polarizada. Siendo la luz un tipo de radiación electromagnética, posee tanto campo eléctrico como campo magnético; es precisamente su campo eléctrico el que produce el fenómeno de la polarización.

Un hecho notable acerca de las ondas luminosas es que son transversales. Los desplazamientos, de naturaleza electromagnética, no son a lo largo de la línea de propagación, sino perpendiculares a ella. Por ejemplo si la dirección de propagación es hacia el este, las vibraciones eléctricas pueden ser de arriba arriba-abajo, o de norte-sur, o a lo largo de cualquier otra línea perpendicular al eje este-oeste,(Fig.1) oscilando a medida que la luz avanza en el medio o en el vacío. Es debido a esto que a la luz se le considera una onda electromagnética transversal.

La orientación de las oscilaciones del campo eléctrico de la luz en el plano $Xz$ (si se considera al eje $Y$ como el eje de la dirección de propagación) son las que generan el efecto de polarización. Para que la luz sea polarizada, el campo eléctrico debe vibrar principalmente en una dirección.

La mayoría de las fuentes de luz no se encuentran polarizadas, por ejemplo la luz natural, llamada así porque es la proveniente del sol, tiene todas las polarizaciones, esto quiere decir que a todo tiempo la suma de sus vectores de campo eléctrico tienen una cierta magnitud y sentido, la cual no tiene relación con cualquier otra polarización en cualquier tiempo o bien la polarización es aleatoria. Se puede hablar de luz no polarizada cuando ésta no es estrictamente monocromática y no es posible determinar si está polarizada o no. Es en el caso de la luz no polarizada donde no todos los átomos emiten luz en el mismo estado de polarización, por lo que el vector campo eléctrico vibra en todas las direcciones, cancelando el efecto de polarización.

Luz no Polarizada: Representación de cada una de las polarizaciones, la suma de todas ellas dará como resultado una polarización neta

Luz Linealmente Polarizada

Fig. 3 Polarización Lineal

Se dice que la luz es linealmente polarizada (o polarizada plana) cuando la componente-x y la componente-y del vector del campo eléctrico se encuentran en fase. Si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería lineal, o una recta.

Tomando el plano $XZ$ como referencia, podemos considerar a las vibraciones del campo eléctrico ($\mathbf {E}$) en ese plano como una onda armónica simple, la cuál se propaga a lo largo de $Z$. El campo eléctrico va a oscilar en $X$ perpendicularmente a $Z$, a determinada frecuencia.

Análogamente, tomando el plano $YZ$ como referencia, se consideran de igual forma las vibraciones del campo eléctrico en ese plano como una onda armónica simple, que también se propaga a lo largo de $Z$, y cuyas oscilaciones se darán en $Y$ perpendicularmente a $Z$.

Ambas ondas, matemáticamente, pueden se descritas por las siguientes ecuaciones.

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}(z,t)={\hat {i}}E_{0x}cos(kz-\omega t)\qquad (1)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}(z,t)={\hat {j}}E_{0y}cos(kz-\omega t+\varepsilon )\qquad (2)$.

En estas expresiones, $\varepsilon$ es la diferencia de fase entre las ondas, las cuales viajan en dirección de $Z$. La amplitud de estas ondas puede ser diferente, y esta diferencia únicamente determina la dirección de la línea recta , en el caso que las amplitudes de campo sean iguales el anulo pormado sera de ${\frac {\pi }{4}}$(o qué tanto se inclina en el plano $XY$) que traza el vector del campo eléctrico mientras se propaga.

Fig. 4 Representación de la luz (linealmente polarizada), propagándose a lo largo del eje-z, como la suma ($E_{r}$) de dos ondas co-propagantes y ortogonales entre sí: una donde el campo eléctrico oscila a lo largo del eje-x ($E_{x}$), y la otra a lo largo del eje-y ($E_{y}$). La fase (o retraso) entre las dos ondas es $\varepsilon$=0, por lo que el desplazamiento espacial entre ambas ($\varepsilon \lambda /2\pi$) es también cero.

Hablando del campo eléctrico como una perturbación óptica, la suma vectorial de sus componentes produce un ${\vec {\mathbf {E} }}$ resultante.

${\vec {\mathbf {E} }}(z,t)={\vec {E}}_{x}(z,t)+{\vec {E}}_{y}(z,t)\qquad (3)$

Si $\varepsilon$ es cero, o un múltiplo entero de $\pm 2\pi$, ambas componentes se dicen que se encuentran en fase. En ese caso, la suma vectorial de ambas sería.

${\vec {\mathbf {E} }}=({\hat {i}}{\vec {E}}_{0x}+{\hat {j}}{\vec {E}}_{0x})cos(kz-\omega t)\qquad (4)$

Es la superposición de las ondas ${\vec {E}}_{x}$ y ${\vec {E}}_{y}$ (en fase) que resulta en la ecuación (4), con una amplitud fija igual a $({\hat {i}}{\vec {E}}_{0x}+{\hat {j}}{\vec {E}}_{0x})$, lo cuál significa que la suma de ambas genera otra onda que también es linealmente polarizada.

Las magnitudes relativas de las componentes determinarán la orientación de la polarización, es decir:

$\tan \gamma ={\frac {E_{0y}}{E_{0x}}}$

Polarización Lineal. La onda viaja a través de Z, mientras el campo eléctrico oscila linealmente con una inclinación de 45° en el plano $''XY''$

Luz Circularmente Polarizada

Fig. 5 Polarización Circular

Cuando la luz es linealmente polarizada y se encuentran desfasadas por 90°, y cuando la amplitud de ambas es exactamente la misma,hablamos de polarización circular. En este caso, si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería circular.

Bajo esta definición, las ondas en el eje-x y el eje-y que describen a este tipo de polarización pueden representarse matemáticamente por las siguientes ecuaciones

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}(z,t)={\hat {i}}E_{0}cos(kz-\omega t)\qquad (5)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}(z,t)={\hat {j}}E_{0}sen(kz-\omega t)\qquad (6)$

Donde la amplitud de $\displaystyle {{\vec {E}}_{x}}$ y $\displaystyle {{\vec {E}}_{y}}$ es la misma ($\displaystyle {E_{0x}=E_{0y}=E_{0}}$). Por el desfase de 90°, la componente del campo eléctrico en el eje-y cambia de $\displaystyle {E_{0}cos(kz-\omega t+\varepsilon )}$ a $\displaystyle {E_{0}sen(kz-\omega t)}$, por lo que la fase $\varepsilon$ debe ser equivalente a $\varepsilon =-{\frac {\pi }{2}}+2m\pi$ (con $m=0,\pm 1,\pm 2$,...).

Luego, la suma vectorial de las componentes en el eje-x ($\displaystyle {{\vec {E}}_{x}}$) y el eje-y ($\displaystyle {{\vec {E}}_{y}}$) es:

${\vec {\mathbf {E} }}=E_{0}[{\hat {i}}cos(kz-\omega t)+{\hat {j}}sen(kz-\omega t)]\qquad (7)$

La polarización circular puede presentarse como polarización circular derecha y polarización circular izquierda. Los nombres sólo hacen referencia a la dirección en la que el campo eléctrico rota mientras la onda se propaga (dextrógiro, hacia la derecha es en sentido de las manecillas del reloj y levógiro hacia la izquierda en sentido opuesto a las manecillas del reloj).

Una forma de representar la polarización circular derecha es haciendo $t=0$, a un valor arbitrario $z=z_{0}$. En este caso, el vector del campo eléctrico quedaría en un eje de referencia situado en el primer cuadrante del plano $xy$, por lo que las componentes en el eje-x y en el eje-y quedarían así:

${\vec {\mathbf {E} }}_{x}={\hat {i}}E_{0}cos(kz_{0})\qquad (8)$

${\vec {\mathbf {E} }}_{y}={\hat {i}}E_{0}sen(kz_{0})\qquad (9)$

Fig. 5 Representación de la luz (circularmente polarizada), propagándose a lo largo del eje-z, como la suma ($E_{r}$) de dos ondas co-propagantes y ortogonales entre sí: una donde el campo eléctrico oscila a lo largo del eje-x ($E_{x}$), y la otra a lo largo del eje-y ($E_{y}$). La fase (o retraso) entre las dos ondas es $\varepsilon =\pi /2$, por lo que el desplazamiento espacial entre ambas ($\varepsilon \lambda /2\pi$) se representa en el gráfico.

Si avanzamos en el tiempo de tal forma que ahora $t=kz_{0}/\omega$, obtenemos que ${\vec {E}}_{x}={\hat {i}}E_{0}$ y ${\vec {E}}_{y}=0$. Con esto podemos deducir que del eje de referencia, el campo eléctrico rotó de tal forma que ahora se encuentra sobre el eje-x, por lo que su dirección de rotación fue en sentido de las manecillas del reloj.

Para representar su caso opuesto (polarización circular izquierda), basta con tener una onda cuya ecuación corresponda a:

${\vec {\mathbf {E} }}=E_{0}[{\hat {i}}cos(kz-\omega t)-{\hat {j}}sen(kz-\omega t)]\qquad (10)$

donde el signo negativo en el eje-y, a una fase de $\varepsilon =-{\frac {\pi }{2}}+2m\pi$ (con $m=0,\pm 1,\pm 2$,...), genera una rotación en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Si sumamos las ecuaciones de polarización circular izquierda (10) y polarización circular derecha (7), podemos obtener una ecuación que representaría una onda linealmente polarizada:

${\vec {\mathbf {E} }}=2E_{0}{\hat {i}}cos(kz-\omega t)\qquad (7b)$

Luz Elípticamente Polarizada

Fig. 6 Polarización Elíptica

La polarización elíptica se presenta cuando las componentes $\textstyle {E_{x}}$ y $\textstyle {E_{y}}$ se encuentran desfasadas un valor $\varepsilon$ arbitrario, y a su vez presentan una amplitud arbitraria.

$E_{x}(z,t)=E_{0x}\cos(kz-\omega t)$

$E_{y}(z,t)=E_{0y}\cos(kz-\omega t+\epsilon )$

Para encontrar una ecuación independiente del espacio y del tiempo (kz-ωt). Se busca el cociente ${\frac {E_{y}}{E_{0y}}}$ y ocupando la propiedad para el coseno:

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/»:): \frac{E _{y}}{E_{0y}} = \cos(kz − \omega t)\cos \epsilon − \sin(kz − \omega t)\sin \epsilon

ahora sustituyendo Error al representar (error de sintaxis): \frac{E_{x}}{E_{0X}} = \cos(kz − \omega t ) se tiene.

Error al representar (error de sintaxis): \frac{E_{y}}{E_{oy}} − \frac{E_{x}}{E_{0x}} \cos \epsilon = −\sin(kz − \omega t)\sin \epsilon

Con un poco de algebra y elevandoal cuadrado se obtiene.

${\left({\frac {{E}_{y}}{{E}_{oy}}}-{\frac {{E}_{x}}{{E}_{ox}}}cos\varepsilon \right)}^{2}=\left(1-{\left({\frac {{E}_{x}}{{E}_{ox}}}\right)}^{2}\right){sin\epsilon }^{2}$

$({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})^{2}+({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}\cos ^{2}\epsilon -2({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})\cos \epsilon =[1-({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}]\sin ^{2}\epsilon$

Utilizando la identidad Error al representar (error de sintaxis): \sin^{2}\epsilon = 1 − \cos^{2}\epsilon

$({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})^{2}+({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})^{2}-2({\frac {E_{y}}{E_{0y}}})({\frac {E_{x}}{E_{0x}}})\cos \epsilon =\sin ^{2}\epsilon$

Aqui $\epsilon$ representa el angulo que hace uno de los ejes de la elipse con el eje "x" del plano cartesiano.

Si se puede considerar "arbitrario" como cualquier valor, entonces se pueden presentar los casos donde $\varepsilon =0$, $\varepsilon =\pi /2$ (o múltiplos enteros de éste), así como cuando la amplitud de las componentes sea la misma. Es por esto que a la polarización lineal y polarización circular se les considera casos especiales de polarización elíptica, a pesar de que éstos no manifiesten estrictamente un movimiento elíptico.

En este caso, si pudiéramos observar las oscilaciones del campo eléctrico en un haz de luz linealmente polarizada, viniendo de frente (saliendo de la pantalla), entonces el movimiento descrito sería en la mayoría de los casos elíptico.

Pendiente

Luis Manuel Chávez Antonio